同济大学 高等数学 -课件 1.8

一、函数的连续性
1.函数在一点的连续性 自然界中的很多现象都是连续变化的. 例如气温的变 化就是一个很明显的例子. 所谓的连续变化指的是: 当
时间变化很小时, 气温的变化也很小. 具体地说，若以
T (t ) 表示时刻 t时的温度，当时间变化很小时，即 t
很小时，温度的变化 T (t t ) T (t ) 也很小. 这就是 连续函数的本质特征.
4.初等函数的连续性 由前面的讨论，我们得到 定理 一切初等函数在定义区间内都是连续的.
此定理的重要价值是: 利用函数的连续性反过来可以 求出复杂函数的极限.
例9 求极限 limln 1 cos x .
x 0
解
因函数 ln u 在 u 2 处连续, 又 lim 1 cos x 2,
x0 的某去心邻域中有定义，若 x0 不是 f ( x) 的连续点，则称 x0 是 f ( x) 的间断点.即只要不满足
设函数 f ( x)在
或⑵ f ( x) 在 x0 处有定义，但 lim f ( x) 不存在；
x x0
或⑶ f ( x) 在 x0 处有定义且 lim f ( x) 存在，但
3.区间上的连续函数 在区间上每一点都连续的函数称为区间上的连续函 数。当点是区间的端点时，相应的连续为单侧连续. 即 若 f ( x) 是区间
f ( x) 在 x a 处是右连续、在 x b 处是左连续的.
则称 f ( x) 是区间
a, b上的函数，f ( x) 在 a, b 上连续，且 a, b 上的连续函数.
定义 若 lim
x x0
设函数
y f ( x)在点 x0 的某一邻域内有定义，
f ( x) 存在，且等于 f ( x0 ) ，即
x x0
lim f ( x) f ( x0 ),
或
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) 0,
则称函数 f ( x) 在点 x0 是连续的，此时又称点 x0 是函 数y
x x0
lim f ( x) f ( x0 ).
x x0
那么 x0 是间断点。
ex 1 例3 设函数 f ( x) ，则函数在 x 0 处不连续， x
但在 x 0 处补充定义后
ex 1 x0 f ( x) x , 1 x0 则函数 f ( x) 在 x 0 连续.
则称函数在点
x0 是右连续的.
x 1 例1 设函数 f ( x) x 1
x0 , 则函数在 x 0 处 x0
是左连续而非右连续的. f ( x)的图形如图所示。
y
o
x
定理：函数 f ( x) 在点 x0 处连续的 充分必要条件是函数 f ( x) 在该点 既是左连续又是右连续.
故当 x 0, 有 y 0, 由此证明了函数
y sin x 在区间 , 上的连续性.
注 若 f ( x) 是区间 I 上的连续函数，则记为
f C ( I ).
即：
C ( I ) f f 为 I 上的连续函数.
二、函数的间断点
连续点定义的要求的点就是间断点。也就是当 ⑴ f ( x) 在 x0 处无定义；
x2 1 x 1 例4 设函数 f ( x) 1 2
连续，但若重新定义
x 1
，则函数在 x 1 处不
x 1
x2 1 f ( x) x 1 2
则函数 f ( x) 在 x 1 处连续.
x 1 , x 1
在例3和例4中可以看到，这两个函数的共同特征为: 函数在该点的极限存在, 但函数在该点不连续. 我们把 这一类间断点称为可去间断点. 其具体意义是: 我们可 以通过补充这一点的定义或则修改这一点函数的定义
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值, 使其成为连续函数.
x2 1 例5 设函数 f ( x ) x 1
则当 x 0 时，有
x0 x0
，
x 0
lim f ( x) lim x 1 1,
x 0
x 0
lim f ( x) lim x 2 1 1,
x 0
即：函数在 x 0 处的左右极限 存在但不相等.
f ( x) 的连续点.
由极限的定义，对任意给定的正数 ，总存在 正数 ，对于适合不等式
x x0
的一切 x ，所对应的函数值
f ( x) 都有
f ( x) f ( x0 ) .
函数 f ( x) 在点 记 x
x0 连续的几何意义：
称之为自变量的增量，则 x
1,1 1, 上，函数
f ( x) 是连续的；因
x 1
lim f ( x) lim f ( x) f ( 1) 0,
x 1
即函数在 x 1处是连续的；又因
x 1
lim f ( x) f 1 0, lim f ( x) 1,
x 1
3 在 x , , 2 2
x x0

处。
y
y tan x

3 2


2
O

2
3 2
x
1 例6 函数 f ( x ) sin 当 x 0 时极限不存在，从图 x 形中可以看到，当 x 0 时，函数值在 1与 1之间无
限次地变动.
y
1
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
一般地说，若当 x x0 时，函数值 f ( x) 无限次地在 两个不同的数之间变动，则把点 x0 称为函数 f ( x) 的振 荡间断点.
g x
f x
g ( x0 ) 0 都在点 x0 处连续.
例8 设函数 f ( x), g ( x) 在点 x0 处连续，则函数
( x) max{ f ( x), g ( x)}, ( x) min{ f ( x), g ( x)},
在点 证
x0 处连续. 因 ( x) max{ f ( x), g ( x)}
y
x0 处连
y max{ f ( x), g ( x)}
y f x y g x
y min{ f ( x), g ( x)}
O
x
2.复合函数的连续性 定理2 若函数 y f (u ) 在点 u 在点 x0 处连续.
u u ( x) 在点 x x0 处连续，则复合函数 y f u( x)
x2 1
1
o
y
1
x 1
x
从图形中可以看到，这类函数的几何图形在间断点上 有一个跳跃现象，因而把这一类间断点称为跳跃间断 点. 从图中可以看出，这类函数是不可能通过修改一点 的函数值使之成为连续函数的.
如果 lim f x ， 则称 x0 为无穷间断点。例如 y tan x
o
x
x0
x
x
x
x
2.单侧连续函数 若函数 f ( x) 在点 x0 处的单侧极限存在且等于该点的 函数值 f ( x0 ) ，则称函数在该点是单侧连续的. 即若
x x0
lim f ( x) f ( x0 ),
则称函数在点
x0 是左连续的；相仿，若
x x0
lim f ( x) f ( x0 ),
第八节 函数的连续性与连续函数的运算
在讨论函数极限中，我们看到函数在某一点是否存 在极限与函数在该点是否有定义无关；与该点的函数 值无关. 但很多情况下，函数在一点的极限值与函数 在这一点的函数值是密切相关的. 本节将讨论具有这
种特性的函数——连续函数.
本节要点
一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、连续函数的运算
x x0 ,
x0 x,
记 y y y0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ), 称之为函数的增量。
y
y y y
y
y f x
当x x0 , 即 x 0 时，
则连续性的含义为
y0
x 0, y 0.
limln 1 cos x ln 2.
x 0
x 0
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得相应函数的增量为

2
cos

2
x x y sin x x sin x 2sin cos x , 2 2 因 cos x 1 ，故
x x x x y 2sin cos x 2 x , 2 sin 2 2 2 2
可去间断点与跳跃间断点的特征是, 函数在这一点的
左右极限均存在. 通常把这一类间断点称为第一类间断 点，除此之外的间断点称为第二类间断点.
例7 讨论函数
x 2 1 x 1 f ( x) 0 1 x 1, x x 1
的连续性.
解 显然，在集合 , 1
由复合函数的极限运算法则及连续函数的定义, 不难
得到该定理的证明.
u0 处连续，函数
3.反函数的连续性 定理3 设定义在区间 I x 上的 函数 y f ( x) 在该区间
1 x f ( y) 存 上单调增加(减少)且连续，则它的反函数