log算子的基本原理

基于双边滤波的LOG边缘检测算法
摘要：传统LOG边缘检测算法采用高斯函数滤波时，尽管抑制了噪声，但同时也损坏了部分低强度边缘。

针对这一问题，本文提出了结合双边滤波的LOG边缘检测算法，首先采用双边滤波来替代传统LOG算子中的高斯滤波，然后计算平滑后图像的拉普拉斯，最后提取运算后的零交叉点作为图像的边缘。

实验表明，改进后的LOG算法能有效抑制噪声，较好地保护边缘，提高了检测精度，减少伪边缘数，相对传统LOG算法具有更好的检测效果。

关键字：LOG算子；双边滤波；边缘保护；边缘检测
1.引言
边缘是指图像局部强度变化最显著的部分，反映了图像中物体最基本的特征，是对图像进行分割、理解以及检索的重要依据。

边缘检测一直是图像处理中的热点和难点[]1。

由于数字图像中可能包含不同程度的噪声,使得边缘检测在图像处理中比较困难。

经典的边缘检测算子，如Robert、Prewitt、Sobel等[]2，简单、易于实现，但对噪声敏感、抗干扰性能差。

Marr边缘检测算法[]3克服了一般微分运算对噪声敏感的缺点，利用能够反映人眼视觉特性的LOG算子对图像的边缘进行检测。

该方法在图像边缘检测中具有一定的优势，然而在实际应用中，边缘检测算法仍然存在着一定的问题。

比如尺度因子无法自适应调整、模板的尺寸对检测结果影响比较大、零穿越结果无法区分像素反差的大小等。

使得噪声对图像仍有较大的影响，众多学者对其进行了研究。

杨振亚等人[]4针对LOG算子的缺陷，提出了选择性平滑方式清除图像中的椒盐噪声；提出了依据图像灰度的一阶导数极大值和二阶导数零穿相结合的边缘检测方法,抑制了图像中的大部分其它噪声,并保持了边缘定位精度；还通过用图像灰度共生矩阵的惯性矩特征值，自适应调整高斯空间系数和边缘检测阈值,实现了图像边缘的自动提取。

李小红等人[]5分析LOG滤波器边缘检测方法及多尺度特性的理论基础上,提出了一种LOG边缘检测的改进算法。

该算法对滤波后的梯度图像选取一个阈值T以提高边缘检测的精度。

杨东华等人[6]根据实际应用中LOG模板的设计要求,提出了不等间隔采样和
非均匀量化相结合的数字化方法。

该方法设计的模板能够获得更加丰富的图像边缘,并且边缘的连续性较好。

严国萍等人[]7对经典LOG 边缘检测算子引入了角度信息参量进行推导,使以圆为对称的经典的LOG 边缘检测算子变成为以椭圆对称,并且可以在坐标轴旋转任意角度时增强其边缘检测的能力,使之能对不同方向的边缘更加有效地进行检测。

但上述边缘检测方法实际操作都较为复杂，且大多不能很好的去除噪声且保留图像更多的细节信息。

双边滤波是一种非线性滤波方法，较一般的线性滤波方法（如高斯滤波）在去除噪声的同时也能避免边缘模糊，因此本文采用双边滤波来替代LOG 算子中原有的高斯滤波，能够有效地保护边缘，从而实现图像去噪和细节保留。

因此本文在分析基于零交叉的LOG 算子的基础上，针对图像噪声和边缘信息的特点，提出一种引入双边滤波的LOG 边缘检测算法。

2.传统的LOG 边缘检测算法
LOG 算子来源于Marr 视觉理论中提出的边缘提取思想,即先对原始图像进行平滑处理,从而实现对噪声最大程度的抑制,再对平滑后的图像提取边缘。

LOG 算子被誉为最佳边缘检测算子之一[]8。

LOG 算子的基本步骤如下：
（1） 采用二维高斯滤波器平滑滤波；
（2） 采用二维拉普算子进行图像增强；
（3） 依据二阶导数零交叉进行边缘检测。

二维高斯滤波器的函数(,)G x y )2ex p(21),(22
22σπσy x y x G +-= （1）
用(,)G x y 与原始图像),(y x f 进行卷积，得到平滑图像(),I x y
()()(),,,I x y G x y f x y =* （2）
其中*是卷积运算符，再用拉普拉斯算子()2∇来获取平滑图像(),I x y 的二阶方向导数图像(),M x y 。

由线性系统中卷积和微分的可交换性可得：
()(){}222,,[(,)(,)][(,)](,)M x y I x y G x y f x y G x y f x y =∇=∇*=∇* （3）
对图像的高斯平滑滤波与拉普拉斯微分运算可以结合成一个卷积算子： )2ex p()2(21
),(22222242σσπσy x y x y x G +--+=∇ （4）
式中),(2y x G ∇即为LOG 算子，又称为高斯拉普拉斯算子。

求取(),M x y 的零穿点轨迹即可得到图像),(y x f 的边缘。

以),(2y x G ∇对原始灰度图像进行卷积运算后提取的零交叉点作为边缘点。

然而在实际应用中，LOG 算子仍存在对噪声敏感，噪声平滑能力与边缘定位能力相矛盾等缺点。

这些问题影响了LOG 算子的应用效果,对此本文提出了这种改进方案。

3.改进的LOG 边缘检测算法
3.1双边滤波
Tomasi 和Manduchi 于1998年提出了双边滤波算法[]9。

该算法加权系数不仅考虑了像素间的距离，同时也考虑了灰度相似性[]10。

双边滤波方法可用如下公式表示：
()()()
()()(),,,,,,s i j s i j w i j I i j f x y w i j ∈Ω∈Ω=∑∑
（5） 其中(),f x y 为去噪后图像,(),s w i j 为空间域权值,(),I i j 为原图像,Ω为像素(),x y 处的邻域范围。

同理,在灰度范围内进行滤波与空间范围内滤波的方法相似。

它可表示为:
()()()
()()(),,,,,,r i j r i j w i j I i j f x y w i j ∈Ω∈Ω=∑∑
（6） 其中(),r w i j 为灰度域权值，将空间邻近度与灰度相似度相结合进行滤波,就得到双边滤波为：
()()()
()()(),,,,,,i j i j w i j I i j f x y w i j ∈Ω∈Ω=∑∑ (7)
()()(),,,s r w i j w i j w i j = (8)
在图像变化较为平缓的区域,其邻域内像素灰度值相差不大,双边滤波转化为高斯低通滤波器；在图像变化剧烈的区域,滤波器用边缘点邻域内灰度相似的像素点的灰度平均值代替原灰度值。

因此,双边滤波器既平滑了图像,又保护了图像边缘[]11。

3.2算法描述
双边滤波既可以较好地去除图像噪声，又可以保护图像的边缘信息，解决了LOG 算子使用高斯滤波后图像模糊和边缘丢失问题。

()()()()()()()
(),,,,,,,,s r i j p s r i j w i j w i j I i j f x y w w i j w i j ∈Ω==∑∑ （9）
一般情况下，它的空间邻近度函数(),s w i j 和灰度相似度函数(),r w i j 都取为参数为欧几里得距离的高斯函数,通常定义为:
()222,exp 2s s i x j y w i j σ⎡⎤-+-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （10）
()22(,)(,),exp 2r r I i j I x y w i j σ⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （11）
其中，s σ为基于高斯函数的空间标准差，r σ为基于高斯函数的灰度标准差。

将原始图像(,)f x y 与(),f x y 进行卷积运算，得出平滑后的图像(),I x y ，即：
()()(),,,I x y f x y f x y =* （13）
这样既平滑了图像又降低了噪声，孤立的噪声点和一些较小的结构组织将被滤除，同时保护了图像边缘。

图像增强仍采用二维拉普算子进行处理。

得出：
()(){}()(){}22,,,,M x y I x y f x y f x y =∇=∇* （14） 拉普拉斯算子是一个二阶微分算子，它可在边缘处产生一个陡峭的零交叉，即一个由正到负的过零点，最后依据零交叉点进行边缘检测。

4．实验结果与比较
本实验以MATLAB(R2010a)为实验平台，采用传统LOG 边缘检测算法和改进后的算法分别对Lena 图像和Cameraman 图像进行边缘检测。

（a）Lena图像（b）传统LOG算法（c）本文方法
（d）Cameraman图像（e）传统LOG算法（f）本文方法
图1实验结果
图1中（b）与（c）对边可以发现，传统的LOG边缘检测算法对图像的边缘检测出很多漏检，图像边缘定位不够精确，轮廓不够清楚，提取的边缘信息过于冗杂，不能较好地显示图像的主要轮廓特征，不利于进一步的图像分析。

而改进后的LOG算法检测出了更多的边缘细节，可清楚的看出图像的轮廓边缘。

其精度要高于传统的LOG边缘检测算法。

从（e）与（f）对比同样可以发现，许多没有被传统LOG检测算法检测出来的真边缘出现在改进后的算法提取的边缘图像(f)中，从中可看出，图像去除了许多噪声，又避免丢失很多真边缘，而且边缘轮廓明显、清晰，连续性较好。

说明本文算法对图像的去噪和边缘检测效果均优于传统的LOG算法，能够获得更好的边缘检测图像。

5．结论
本文对传统LOG边缘检测算法进行了分析，提出了结合双边滤波的LOG边缘检测算法。

实验表明，此算法能较好地滤除图像噪声，同时能很好的保持图像细
节信息，简单实用，复杂度低，具备更好的推广应用价值。

参考文献
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