中职二项式定理第一课时PPT课件
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二项式定理第一课
0 n n
1 n1 n
k n k k n
二项式
（2）说明: ①上述公式中的
如 a 1, b 2 x 则有
二项展开式
a , b具有任意性
n
0 1 2 2 k k n n 1 x C C x C x C x C a 1, b x 如 则有 n n n n nx
a b
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C a C a b C a b C b
0 n n
7
3
1 n1 n
k n k k n
n n n
④项的系数与项的二项式系数是有区分的，如
1 2 x 的第四项为C
3 7
3 7
1
7 3
2 x ，第四项的二项式系
.
3 3 数为 C 35 ，而第四项的系数为 C7 2 280
例3.求
12
它的第10项.展开式的第10项是:
T10 C x
9 129 12
a C x a 220x a
9 3 3 9 12
3 9
x 3 9 ( ) 例4.求： 3 x
①展开式中间项 ②展开式中的常数项
③展开式中的有理项
x 9 r 3 r r 2 r 9 Tr 1 C ( ) ( ) C9 3 x 3 x
100 100
r 100r 100
C 7 C 7
99 1 100
0
∴8
被7除的余数是1，因此 8 一天是星期六.
100
100
天后的这
小结:
(1) 基础知识及其简单应用:
二项式定理
第 k 1 项的二项式系数 通项
1 n1 n
k n k k n
二项式
（2）说明: ①上述公式中的
如 a 1, b 2 x 则有
二项展开式
a , b具有任意性
n
0 1 2 2 k k n n 1 x C C x C x C x C a 1, b x 如 则有 n n n n nx
a b
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C a C a b C a b C b
0 n n
7
3
1 n1 n
k n k k n
n n n
④项的系数与项的二项式系数是有区分的，如
1 2 x 的第四项为C
3 7
3 7
1
7 3
2 x ，第四项的二项式系
.
3 3 数为 C 35 ，而第四项的系数为 C7 2 280
例3.求
12
它的第10项.展开式的第10项是:
T10 C x
9 129 12
a C x a 220x a
9 3 3 9 12
3 9
x 3 9 ( ) 例4.求： 3 x
①展开式中间项 ②展开式中的常数项
③展开式中的有理项
x 9 r 3 r r 2 r 9 Tr 1 C ( ) ( ) C9 3 x 3 x
100 100
r 100r 100
C 7 C 7
99 1 100
0
∴8
被7除的余数是1，因此 8 一天是星期六.
100
100
天后的这
小结:
(1) 基础知识及其简单应用:
二项式定理
第 k 1 项的二项式系数 通项
二项式定理ppt课件
$(a+b)^4$ 的中间项是 什么？
$(a-b)^5$ 的展开式中 ，$a^4$ 的系数是多少
？
深化习题
01
02
03
04
深化习题1
利用二项式定理展开 $(a+b)^5$，并找出所有项
的系数。
深化习题2
求 $(a+b+c)^3$ 的展开式中 $a^2b$ 的系数。
深化习题3
利用二项式定理证明 $(a+b)^n$ 的展开式中，中
组合数学是研究组合问题的一 门数学分支，与二项式定理密 切相关。
在二项式定理的推导过程中， 组合数学原理提供了组合数的 计算方法和组合公式的应用。
通过组合数的计算，我们可以 得到二项式展开的各项系数， 进一步验证二项式定理的正确 性。
幂级数的展开与收敛
幂级数是数学分析中的重要概念 ，与二项式定理的推导密切相关
微积分中的应用
二项式定理在微积分中有着广泛的应用，如在求极限、求导和积分等运算中。
概率论中的应用
在概率论中，二项式定理可以用于计算组合数学中的一些概率分布，如二项分 布和超几何分布等。
05
习题与思考题
基础习题
基础习题1
基础习题2
基础习题3
基础习题4
$(a+b)^2$ 的展开式是 什么？
$(a-b)^3$ 的展开式是 什么？
概率分布
利用二项式定理，可以推 导二项分布的概率分布函 数和概率密度函数。
概率推断
在贝叶斯推断中，二项式 定理可以用于计算后验概 率和预测概率。Leabharlann 二项式定理在组合数学中的应用
01
组合数的计算
利用二项式定理，可以计算组合数$C(n, k)$，即从n个不同元素中取出
中职数学课件8.3二项式定理
8.3.1 二项式定理
情境导入
探索新知
典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 （1）求写出(2x-1)7的展开式的第4项的系数；
1 5
（2）求的 x+
展开式中含x³项的二项式系数．
x
解（1） (2x-1)7的展开式的第4项是
T4= T3+1= C37 ×(2x) 7−3×(-1)3 = C37 ×24×(-1)3·x4 =35×(-16) ·x4=-560x4．
8.3.1 二项式定理
例3
求写出
情境导入
探索新知
典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
2 8
x−
的二项展开式的常数项．
x
2 8
解
x−
的展开式的通项是
x
8−
8−k
2
−
Tk+1=C8 x
−
= C8 · 2 · (-2)k · 2 = C8 · (−2)k ·
x
x4−k ．
依题意，得
解得
所以，展开式第4项的系数是-560．
1 5
（2） x+
的展开式的通项是
x
5-k 1 k
Tk+1=C5 x ( ) =C5 x5−2k．
x
依题意，得 5-2k=3．解得k=1．
即二项展开式中含x³的项为第2项，此项的二项式系数为C1 =5．
8.3.1 二项式定理
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
母a的次数降幂排列为
a4，a3b，a2b2，ab3，b4 ．
4 个(a+b)中都不选b的选法有 种，得到a4的系数为 种；4 个(a+b)中有
1.5二项式定理PPT优秀课件1
T 4C 7 3a4b3 系数最小
TCab 4 3 4
5
7
系数最大
三、例题讲解：
例1 ⑴在(1x3)1(x)10的展开式中， x 5 的系数
是多少？
⑵求 (1xx2)6展开式中含 x 5 的项. 解：⑴原式= (1x)10x3(1x)10
可知 x 5 的系数是(1 x)10的第六项系数与 x3(1x)10
解：设最大项为T
k
1
，则：
Tk 1 Tk Tk 1 Tk
2
C C 1 1 k k(0 (0 3 3x x))k k2 21 1 0 0k k C C k k1 1 1 1(0 (0 3 3x x))k k 1 12 21 9 1 k k
k
11,k 3
3
3
则展开式中最大项为 T4T3127C130.
六、作业布置：
1 、 求 ( 1 x ) ( 1 2 x ) ( 1 3 x )( 1 n x ) 的 展 开 式 中 x 项 的 系 数 .
2 、 设 x 1 ， n N * 且 n 2 ， 求 证 ： x n n 2 (x -1 )2 4
C1 2,5C1 6,5C1 15 ,1C1 15 2 C 1 1 5 1 C 1 4,C 5 1 1 5 2 C 1 35 又 C 1 2 5 C 1 3 5 C 1 4 5 C 1 65
C 1 2 5C 1 1 5 2C 1 1 5 1C 1 65
例四、已知a,b∈N，m,n ∈Z ，且2m + n = 0，如果二项式 ( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项， 求 a : b 的取值范围。
TCab 4 3 4
5
7
系数最大
三、例题讲解：
例1 ⑴在(1x3)1(x)10的展开式中， x 5 的系数
是多少？
⑵求 (1xx2)6展开式中含 x 5 的项. 解：⑴原式= (1x)10x3(1x)10
可知 x 5 的系数是(1 x)10的第六项系数与 x3(1x)10
解：设最大项为T
k
1
，则：
Tk 1 Tk Tk 1 Tk
2
C C 1 1 k k(0 (0 3 3x x))k k2 21 1 0 0k k C C k k1 1 1 1(0 (0 3 3x x))k k 1 12 21 9 1 k k
k
11,k 3
3
3
则展开式中最大项为 T4T3127C130.
六、作业布置：
1 、 求 ( 1 x ) ( 1 2 x ) ( 1 3 x )( 1 n x ) 的 展 开 式 中 x 项 的 系 数 .
2 、 设 x 1 ， n N * 且 n 2 ， 求 证 ： x n n 2 (x -1 )2 4
C1 2,5C1 6,5C1 15 ,1C1 15 2 C 1 1 5 1 C 1 4,C 5 1 1 5 2 C 1 35 又 C 1 2 5 C 1 3 5 C 1 4 5 C 1 65
C 1 2 5C 1 1 5 2C 1 1 5 1C 1 65
例四、已知a,b∈N，m,n ∈Z ，且2m + n = 0，如果二项式 ( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项， 求 a : b 的取值范围。
二项式定理(一)课件
03 二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
01
02
03
04
二项式定理的扩展形式包括二 项式定理的逆用、二项式定理 的变形以及二项式定理的推广
。
二项式定理的逆用是指将二项 式定理中的幂次和系数互换，
从而得到新的等式。
二项式定理的变形是指通过改 变二项式定理中的幂次或系数
，从而得到新的等式。
二项式定理的推广是指将二项 式定理应用到更广泛的情况， 例如应用到多项式、分式等。
解析
根据二项式定理，$(a + b)^{2}$ 可以展开为 $a^{2} + 2ab + b^{2}$，与给定的等式一致。
习题二：证明题
题目
证明 $(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$。
解析
首先展开 $(a - b)(a + b)$，得到 $a^{2} - b^{2}$，与给定的等式一致。
习题三：综合应用题
题目
计算 $(a + b + c)^{3}$ 的展开式。
解析
根据二项式定理，$(a + b + c)^{3}$ 可以展开为 $a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} + c^{3} + 3ac^{2} + 3bc^{2} + 3ab^{2}c + 3ac^{2}b$。
利用组合数的性质和二项式展开式的 性质来推导公式。
公式证明的过程
基础步骤
当$n=0$和$n=1$时，公式成立。
归纳步骤
假设当$n=k$时公式成立，证明当$n=k+1$时公式也成立。
二项式定理(一)课件
二项式定理可以简化解决二项式相关问题的计 算过程。
概率统计
二项分布可以通过二项式定理得到，应用于概 率和统计学中的相关计算。
组合数学
二项式系数与组合数密切相关，可用于求解排 列组合问题。
数学建模
二项式定理可以应用于数学建模中的各类排列 组合问题求解。
二项式定理的证明
1
几何证明
通过几何方法，如组合图形等，可以证明二项式定理的几何意义。
二项式定理(一)课件
本课件将详细介绍二项式定理及其应用。
二项式定理的定义
1 简介
二项式定理是描述二项式的求解过程的数学公式。
2 公式
二项式定理的公式表达为(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
3 含义
二项式定理告诉我们，当一个二项式被提升到一个非负整数次幂时，它展开后的每一项 的系数可以通过组合数C(n, k)来计算。
二项式系数的求解
1
计算公式
二项式系数可以使用组合数公式计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)。
2
性质
二项式系数具有对称性，即C(n, k) = C(n, n-k)。
3
例题演练
通过实例演示如何计算二项式系数，加深理解和培养计算能力。
二项式的展开
公式展开
二项式定理提供了展开二项式的 公式，可以将二项式展开为一系 列项的加和。
计算方法
通过依次计算每一项的系数，可 以逐步展开二项式。
常见模式
展开后的二项式常见模式有等差 数列模式、幂函数模式等。
概率统计
二项分布可以通过二项式定理得到，应用于概 率和统计学中的相关计算。
组合数学
二项式系数与组合数密切相关，可用于求解排 列组合问题。
数学建模
二项式定理可以应用于数学建模中的各类排列 组合问题求解。
二项式定理的证明
1
几何证明
通过几何方法，如组合图形等，可以证明二项式定理的几何意义。
二项式定理(一)课件
本课件将详细介绍二项式定理及其应用。
二项式定理的定义
1 简介
二项式定理是描述二项式的求解过程的数学公式。
2 公式
二项式定理的公式表达为(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
3 含义
二项式定理告诉我们，当一个二项式被提升到一个非负整数次幂时，它展开后的每一项 的系数可以通过组合数C(n, k)来计算。
二项式系数的求解
1
计算公式
二项式系数可以使用组合数公式计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)。
2
性质
二项式系数具有对称性，即C(n, k) = C(n, n-k)。
3
例题演练
通过实例演示如何计算二项式系数，加深理解和培养计算能力。
二项式的展开
公式展开
二项式定理提供了展开二项式的 公式，可以将二项式展开为一系 列项的加和。
计算方法
通过依次计算每一项的系数，可 以逐步展开二项式。
常见模式
展开后的二项式常见模式有等差 数列模式、幂函数模式等。
二项式定理-PPT课件
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
语文版中职数学拓展模块3.2《二项式定理》ppt课件1
1 7 21 35 35 21 7 1
问题探究
对给定的正整数n，设函数
当f (nr＝) 6=时C，nr函，数r∈f({r0)，的1图，象2，是…什，么n？}，
f(r) 20 15 10 5
O 1234 5 6 r
问题探究
一般地，函数f (r )
=
C
r n
，
r∈{0，1，2，…，n}的图象是什么？
例5 用二项式定理求233除以9的余数.
余数为8
应用举例
例6 求1.028精确到0.001的近似值. 1.028≈1.171
例7 求证：
C
0 n
+
1 2
C
1 n
+
1 3
C
2 n
+
L
+
n
1 +
1
C
n n
=
2n + 1 - 1 n+1
应用举例
例8 设n∈N*，求证：
（1）2n > 2n + 1(n ? 3) ；
•
认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
问题探究
对给定的正整数n，设函数
当f (nr＝) 6=时C，nr函，数r∈f({r0)，的1图，象2，是…什，么n？}，
f(r) 20 15 10 5
O 1234 5 6 r
问题探究
一般地，函数f (r )
=
C
r n
，
r∈{0，1，2，…，n}的图象是什么？
例5 用二项式定理求233除以9的余数.
余数为8
应用举例
例6 求1.028精确到0.001的近似值. 1.028≈1.171
例7 求证：
C
0 n
+
1 2
C
1 n
+
1 3
C
2 n
+
L
+
n
1 +
1
C
n n
=
2n + 1 - 1 n+1
应用举例
例8 设n∈N*，求证：
（1）2n > 2n + 1(n ? 3) ；
•
认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文
展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
二项式定理课件
展开式的性质
二项式定理的展开式具有一些重要的性质，这些性质在后续 的应用中非常重要。
例如，二项式定理的展开式中的每一项都是正整数幂次的乘 积，而且每一项的系数都是组合数。此外，二项式定理的展 开式具有对称性，即第i+1项和第n-i+1项是相等的。
03
二项式定理的扩展
二项式定理的推广
推广到多项式
详细描述
通过二项式定理，可以计算出多个独立事件的概率和期望值，这在概率论中非常重要，如计算彩票中奖概率、股 票投资风险评估等领域都有应用。
微积分中的二项式定理应用
总结词
在微积分中，二项式定理常用于求幂级数的展开式。
详细描述
利用二项式定理，可以求出幂级数的展开式，这在微积分中非常重要，如求解微分方程、积分变换等 领域都有应用。
04
二项式定理的应用实例
组合数学中的二项式定理应用
总结词
在组合数学中，二项式定理常用于计 算组合数和排列数。
详细描述
利用二项式定理，可以快速计算出给 定集合的组合数或排列数，这些计算 在组合数学中非常重要，如排列组合 问题、概率论等领域都有广泛应用。
概率论中的二项式定理应用
总结词
在概率论中，二项式定理常用于计算概率和期望值。
二项式定理在组合数学、概率论和统计学 等领域有广泛的应用。
二项式定理的定义
01
二项式定理描述了一个二项式展 开后的系数规律，即$(a+b)^n$ 的展开式中的每一项系数。
02
二项式定理的系数可以用组合数 表示，即$C(n, k)$，表示从n个 不同项中选取k个的组合方式数目 。
二项式定理的应用场景
组合数的性质
二项式定理中的组合数具有一些重要的性质，如对称性、递推关系等，这些性 质在解决数学问题时非常有用。
【优质课件】高教版中职数学拓展模块3.2二项式定理1优秀课件.ppt
趣 导 入
情况有
C
3 4
种，所以
a
b3的系数是C34；恰有4个取b的情况有
C
4 4
种，
所以 b4的系数是C44．
因此
（a b)4 C04a4 C14a3b C24a2b2 C34ab3 C44b4．
利用这种方法可以得到二项式定理：
设a , b是任意实数，n是任意给定的正整数，则
巩 固
Tm1 C9m x9m (2)二 系m 数项C是式9m 指系(1数x)6m的是2C系m39数x9C8m439；(而2第)3 =4项-6的72．
知
由9－m=6,得m＝3．
识
即二项展开式中含 x 6的项为第4项．
典
故这一项的系数是
型 例
C39
(1)3
23
987 3 21
知 识
略．
强
2．求 (a 3b)7 的展开式的第4项及含有 a2b5的项．
化
练 习
T4 945a4b3；T6 5103a2b5．
二项式定理的内容是什么？
理
论
(a b)n C0nan C1nan1b Cmn a b求(x 2 y)10 的展开式中二项式系数最大的项．并指出这项的
动 脑
(a b)n C0nan C1nan1b Cmn a b nm m Cnnbn 公式右边的多项式叫(a b)n的二项展开式，共有n+1项，其中
思 每一项的系数 Cmn（m=0，1，2…n）叫该项的二项式系数，第m+1项
考 Cmn anmbm叫做二项式的通项．记作 Tm1，由公式可以看出，二项展开
索
职中二项式定理ppt课件
二项式定理的应用场景
总结词
二项式定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
详细描述
在数学中，二项式定理常用于解决一些代数问题，如因式分解、求根公式等。在物理中，二项式定理可以用于计 算一些物理量的近似值，如光的波长、电子的能量等。在工程中，二项式定理可以用于解决一些优化问题，如线 性规划、组合优化等。
03
二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
二项式定理的通项公式
通过组合数和幂运算，推导出二项式定理的通项公式，用于 计算特定项的值。
二项式定理的推广
将二项式定理的适用范围从两项扩展到多项，并推导出相应 的展开式。
二项式定理的几何意义
二项式定理与几何图形的关系
通过图形解释二项式定理的原理，如利用三角形和组合数的关系解释二项式系 数。
习题二及答案
习题二
$(a+b+c)^2$的展开式中，$a^2$的 系数是多少？
答案
根据二项式定理，$(a+b+c)^2$的展 开式中$a^2$的系数是 $C_2^1b^1c^0+C_2^0b^0c^2=2 c+2b$。
习题三及答案
习题三
$(a+b)^5$的展开式中，常数项是多少？
答案
根据二项式定理，$(a+b)^5$的展开式中常 数项是$C_5^4a^1b^4=5b定理简介 • 二项式定理的公式与证明 • 二项式定理的扩展与推广 • 二项式定理的实际应用 • 习题与解答
01
二项式定理简介
二项式定理的定义
总结词
二项式定理是数学中的一个基本定理 ，它描述了两个数的乘积的展开式的 特定规律。
详细描述
二项式定理指出，对于任何两个数a和 b（其中b不为0），它们的乘积可以 展开为(a+b)，(a+b)^2，(a+b)^3等 幂次的各项，这些项的系数遵循特定 的规律。
《二项式定理》课件
二项式系数是组合数的一种形式，记 为$C(n, k)$，表示从n个不同元素中 选取k个元素的组合数。
二项式定理的应用场景
01
02
03
04
在数学领域，二项式定理常用 于解决组合数学问题，如排列
、组合、概率等。
在物理领域，二项式定理可以 用于计算各种物理量的展开式 ，如力学、电磁学、光学等领
域。
在计算机科学领域，二项式定 理可以用于快速算法设计、数
详细描述
切比雪夫二项式定理是由切比雪夫发现的一种数学定理，它适用于解决与切比雪 夫多项式相关的问题。该定理可以用来计算切比雪夫多项式的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
贝塞尔二项式定理
总结词
贝塞尔二项式定理是二项式定理的一 种特殊形式，它适用于解决与贝塞尔 函数相关的问题。
详细描述
贝塞尔二项式定理是由贝塞尔发现的 一种数学定理，它适用于解决与贝塞 尔函数相关的问题。该定理可以用来 计算贝塞尔函数的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
总结词
牛顿二项式定理是二项式定理的一种特殊形式，它适用于解决特定的问题，如 无穷级数求和等。
详细描述
牛顿二项式定理是由牛顿发现的一种数学定理，它适用于解决一些特定的问题 ，如无穷级数求和等。该定理可以用来计算二项式展开式的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
切比雪夫二项式定理
总结词
切比雪夫二项式定理是二项式定理的一种特殊形式，它适用于解决与切比雪夫多 项式相关的问题。
04
二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
扩展到多于两项的乘积
扩展到无穷级数
二项式定理可以扩展到多项式乘积的 形式，即$(a+b+c)^n$的展开形式。
二项式定理的应用场景
01
02
03
04
在数学领域，二项式定理常用 于解决组合数学问题，如排列
、组合、概率等。
在物理领域，二项式定理可以 用于计算各种物理量的展开式 ，如力学、电磁学、光学等领
域。
在计算机科学领域，二项式定 理可以用于快速算法设计、数
详细描述
切比雪夫二项式定理是由切比雪夫发现的一种数学定理，它适用于解决与切比雪 夫多项式相关的问题。该定理可以用来计算切比雪夫多项式的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
贝塞尔二项式定理
总结词
贝塞尔二项式定理是二项式定理的一 种特殊形式，它适用于解决与贝塞尔 函数相关的问题。
详细描述
贝塞尔二项式定理是由贝塞尔发现的 一种数学定理，它适用于解决与贝塞 尔函数相关的问题。该定理可以用来 计算贝塞尔函数的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
总结词
牛顿二项式定理是二项式定理的一种特殊形式，它适用于解决特定的问题，如 无穷级数求和等。
详细描述
牛顿二项式定理是由牛顿发现的一种数学定理，它适用于解决一些特定的问题 ，如无穷级数求和等。该定理可以用来计算二项式展开式的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
切比雪夫二项式定理
总结词
切比雪夫二项式定理是二项式定理的一种特殊形式，它适用于解决与切比雪夫多 项式相关的问题。
04
二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
扩展到多于两项的乘积
扩展到无穷级数
二项式定理可以扩展到多项式乘积的 形式，即$(a+b+c)^n$的展开形式。
2022-2023学年高二上学期中职数学高教版(二项式定理课件)
例2 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项
(2)求 x 1 9的展开式中x3的系数 x
分析: 先求出x3是展开式的哪一项,再求它的系数
2 解： x 1 9的展开式的通项是
Tm1
x C9m
x9m
1 x
m
1 m C9m x92m
由 9-2m =3得：m =3
x3系数是 (-1)3C93=-84
（3） (2a b)5 ；
（4） ( x 2 )4 ． 2x
2．求 (a 3b)7 的展开式的第4项及含有 a2b5的项．
T4 945a4b3；T6 5103a2b5．
二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnmanmbm Cnnbn (n N *)
例3 求 x 1 10的二项展开式的常数项
x
解： Tm1 C1m0 (
x )10m ( 1 )m x
C1m0
10m
x2
m 2
C1m0 x5m
由5 m 0得：m 5
常数项为 C150 252
练习
1． 用二项式定理展开下列各式：
（1） (1 x)8 ；
（2） (x 1)6 ； x
(a b)10 ?
(a b)n ?
……
探究1 推导 (a b)4的展开式.
学习视频
探究2 仿照上述过程,推导 (a b)的3 展开式.
(a
b)2
C
0 2
a
2
C
1 2
ab C22b2
(a b)3
C30a3
C
1 3
a
2b
C
2 3
ab2
C33 b3
(a
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1
从本节课的课题来看，你能否猜想一 下这节课我们研究什么问题？
根据以前的经验，研究定理有哪些步骤 或者从哪些角度来研究？
1、定理研究什么问题 2、定理怎么来的 3、定理的内容是什么 4、定理有哪些应用
2
二项式定理研究的是
的展开式.
(a b)2 a?2 2ab b2 (a b)3 ?(a b)2(a b) (a b)4 (?a b)3(a b)
解: (1)T31 C73 173 (2x)3 280x3 第四项系数为280.
(2)Tr 1
C9r
x9r
(
1 x
)r
(1)r C9r x92r .
由9 2r 3, 得r=3.故x3的系数为(-1)3C93 84.
中间一项是第5项,T41
C94 x94 (
1 )4 x
126x.
17
练习7：(1)求
的展开式常数项
解:
Tr 1
C9r
(
x 3
)9r
(
3 )r x
C9r
(1)9r 3
3r
9r
x
1r 2
由9-r-
1 2
r
0得r
6.
T7
C96
(
1)96 3
36
2268
(2)、求展开式的中间两项
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41
C94
(
x 3
)94
(
3 )4 42x3 x
T6
T51
③二项式系数: ④二项展开式的通项:
8
课堂练习
9
‹#›
‹#›
例：求
的展开式．
(2
x
1 x
)6
64 x 3
192x2
240x
160
60 x
12 x2
1 x3
思考1：展开式的第2项的系数是多少？
思考2：展开式的第2项的二项式系数是多少？
思考3：你能否直接求出展开式的第2项？ 思考4：你能否直接求出展开式常数项？
240x
160
60 x
12 x2
1 x3
16
例2、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
解: (x a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项.
T91 C192 x129a9 220x3a9.
例3、(1)求（1+2x)7的展开式的第4项的系数
(2)求（x 1 )9的展开式中x3的系数和中间项 x
b)3
C30a 3
C31a 2b
C 32 ab 2
C3 53
b
3
探究2 仿照上述过程,推导
的展开式.
(a b)2 a2 2 ab b2 (a b)3 a3 a2b ab2 b3
(a b)4 a4 a3b a2b2 ab3 b4
(a b)n ?
6
探究3：请分析
的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)( ab )(ab)
n
①项： a n a n1b ankbk bn
②系数：C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
个(a b)相乘
③展开式：
个(a b)中选b 个(a b)中选a
C
k n
7
二项式定理
根①据项这数个：公共式有n，＋你1项可以得到哪些结论？ ②次数： 各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0 , 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
星期几？
15
例：求 (2 x 1 )6的展开式．
x
解: 直接展开
(2
x
1 x
)6
C60 (2
x
)6
C
1 6
(2
x )5(
1) x
C62(2
x
)4
(
2
1
x
)2
C
3 6
(2
x )3( 1 )3 2x
C64(2
பைடு நூலகம்
x )2(
1 x
)4
C
5 6
(2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64 x 3
192x2
12
1、求(2x 3y)6的展开式的第三项 .
课
堂
2、求(3y 2x)6的展开式的第三项 .
练 习
3、求(2a - 3b)6的展开式的倒数第 3项.
13
课堂小结: 本堂课你有哪些收获？
(1)注意二项式定理 中二项展开式的特征 (2)区别二项式系数，项的系数 (3)掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
4
探究1 推导
的展开式.
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
① 项： a 3 a 2b ab2 b3
②
系数：C1
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
分析a2b (a b)(a b)(a b)
(a b)(a b)(a b)
C
1 3
(a b)(a b)(a b)
③
展开式：(a
……
(a b)100 ?
(a b)n ?
3
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 a2 )(b1 b2 ) 的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
规律: 每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项.
C95
(
x 3
)95
(
3
3
)5 42x 2
x
18
个人观点供参考，欢迎讨论
①项数：共n+1项,每项次数都为n；
②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；
b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
T C (4) (a b)n的展开式通项
r 1
r a nrbr
n
14
1、必做题
课本36页 习题1.3 A组 1、2、3
选做题 用数学归纳法证明二项式定理
探究作业：
今天是星期四，那么82012 后的一天是
从本节课的课题来看，你能否猜想一 下这节课我们研究什么问题？
根据以前的经验，研究定理有哪些步骤 或者从哪些角度来研究？
1、定理研究什么问题 2、定理怎么来的 3、定理的内容是什么 4、定理有哪些应用
2
二项式定理研究的是
的展开式.
(a b)2 a?2 2ab b2 (a b)3 ?(a b)2(a b) (a b)4 (?a b)3(a b)
解: (1)T31 C73 173 (2x)3 280x3 第四项系数为280.
(2)Tr 1
C9r
x9r
(
1 x
)r
(1)r C9r x92r .
由9 2r 3, 得r=3.故x3的系数为(-1)3C93 84.
中间一项是第5项,T41
C94 x94 (
1 )4 x
126x.
17
练习7：(1)求
的展开式常数项
解:
Tr 1
C9r
(
x 3
)9r
(
3 )r x
C9r
(1)9r 3
3r
9r
x
1r 2
由9-r-
1 2
r
0得r
6.
T7
C96
(
1)96 3
36
2268
(2)、求展开式的中间两项
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41
C94
(
x 3
)94
(
3 )4 42x3 x
T6
T51
③二项式系数: ④二项展开式的通项:
8
课堂练习
9
‹#›
‹#›
例：求
的展开式．
(2
x
1 x
)6
64 x 3
192x2
240x
160
60 x
12 x2
1 x3
思考1：展开式的第2项的系数是多少？
思考2：展开式的第2项的二项式系数是多少？
思考3：你能否直接求出展开式的第2项？ 思考4：你能否直接求出展开式常数项？
240x
160
60 x
12 x2
1 x3
16
例2、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
解: (x a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项.
T91 C192 x129a9 220x3a9.
例3、(1)求（1+2x)7的展开式的第4项的系数
(2)求（x 1 )9的展开式中x3的系数和中间项 x
b)3
C30a 3
C31a 2b
C 32 ab 2
C3 53
b
3
探究2 仿照上述过程,推导
的展开式.
(a b)2 a2 2 ab b2 (a b)3 a3 a2b ab2 b3
(a b)4 a4 a3b a2b2 ab3 b4
(a b)n ?
6
探究3：请分析
的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)( ab )(ab)
n
①项： a n a n1b ankbk bn
②系数：C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
个(a b)相乘
③展开式：
个(a b)中选b 个(a b)中选a
C
k n
7
二项式定理
根①据项这数个：公共式有n，＋你1项可以得到哪些结论？ ②次数： 各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0 , 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
星期几？
15
例：求 (2 x 1 )6的展开式．
x
解: 直接展开
(2
x
1 x
)6
C60 (2
x
)6
C
1 6
(2
x )5(
1) x
C62(2
x
)4
(
2
1
x
)2
C
3 6
(2
x )3( 1 )3 2x
C64(2
பைடு நூலகம்
x )2(
1 x
)4
C
5 6
(2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64 x 3
192x2
12
1、求(2x 3y)6的展开式的第三项 .
课
堂
2、求(3y 2x)6的展开式的第三项 .
练 习
3、求(2a - 3b)6的展开式的倒数第 3项.
13
课堂小结: 本堂课你有哪些收获？
(1)注意二项式定理 中二项展开式的特征 (2)区别二项式系数，项的系数 (3)掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
4
探究1 推导
的展开式.
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
① 项： a 3 a 2b ab2 b3
②
系数：C1
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
分析a2b (a b)(a b)(a b)
(a b)(a b)(a b)
C
1 3
(a b)(a b)(a b)
③
展开式：(a
……
(a b)100 ?
(a b)n ?
3
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 a2 )(b1 b2 ) 的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
规律: 每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项.
C95
(
x 3
)95
(
3
3
)5 42x 2
x
18
个人观点供参考，欢迎讨论
①项数：共n+1项,每项次数都为n；
②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；
b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
T C (4) (a b)n的展开式通项
r 1
r a nrbr
n
14
1、必做题
课本36页 习题1.3 A组 1、2、3
选做题 用数学归纳法证明二项式定理
探究作业：
今天是星期四，那么82012 后的一天是