几种常见小波的应用性能分析

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图７ Ｓｙｍｌｅｔｓ小波
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２几种小波的应用性能分析
表１几种小波的应用性能分析
小渡函数
Ｈａａｒ
Ｄａｕｂｅｃｈｌｅｓ
ＢｉｏｒＩｂｏｇｏｎａ］
ＣＯｊｎｅｔｓ
Ｓｙｍｌｅｔｓ
Ｍｏｒ】ｃｔ
Ｍｅｘｉｃａｎｈａｔ
小波缩写名 表示形式
举傍 正交性 双正空性 紧支性 连续小被变换 离鼓小坎变换
ｈａｍ＂ ｈｓａｒ ｈａａｒ
·３８２·
０。∞ｍ阱＾ｂｑ蝎¨叼ｆ＿’ｄｈ＾＿叫
Ｄ剃ｍｐ矗ｔｂｎｗ跗ｈ ｒ＿’ｄｂｎ辟ｉ
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（ｂ）ｂｌｏｔ４．４小坡的尺度函数、小渡函数的图形
图５ Ｂｉｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ小波
１．６ Ｃｏｌｆｌｅｔ（ｃｏｉｆＮ）小波系
Ｂｉｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ函数系通常表示为ｂｉｏｒＮｒ．Ｎｄ的形式：
Ｎｒ＝ｌ
Ｎｄｆｆｉｌ．３，５
Ｎｒ＝２
Ｎｄ＝２，４，６．８
Ｎｒ＝３
Ｎｄ＝ｌ，３，５，７，９
Ｎｒ＝－４
Ｎｄ＝４
Ｎｒ＝５
Ｎｄ＝５
Ｎｒ＝６
Ｎｄ＝８
其中ｒ表示重构，ｄ表示分解。
双正交小波系没有具体的表达式和小渡基．其具体算法参见【５，６】。
这里给出ｂｉｏｒ２．４和ｂｉｏｒ４．４小波（分别用于分解与重构）的尺度函数、小波函数、 分解滤波器和重构滤波器的图形（如图５）。
州嘲洲＝％ 墓引
（３）
那么Ｈａａｒ小渡ｙ日（ｒＪ就可以用特征函数ｚ（，）表示如下：
Ⅲ一－｜ｎ－｜∥ｎ一＿笄）（ｆ）－ “２咕１越
‘４’
对于一维离散采样信号，小波可以看成是完成差分运算．即给出与观测结果的平均值 不相等部分的差值。Ｈａａｒ小波不是连续可微的，应用有限．一般多作为原理示意或 说明之用。
１．２ １４ｅｘｉｃｏ草帽小波川
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实值小波．它的普遍形式是由Ｇａｕｓｓ分布的ｍ阶导数给出
哪）叫）”筹一＿１２）
（６）
其相应的谱为
妒。（∞）＝ｍ（ｉＯＪ）ｅ１叫。２
（７）
显然使用最广泛的Ｍｅｘｉｃｏ小波相当于式（６）中ｍ＝２的情形 它的１１维形式是各向同
性的，因而不能检测信号的不同方向。
用Ｇａｕｓｓ分布的差形成的ＤＯＧ小渡是Ｍｅｘｉｃｏ小波的良好近似．其表达式为：
有 有 有 可以 可以
支撑长度
ｌ
ｄｂ ｄｂＮ ｄｂ３
有 有 有 可以 可以
２Ｎ．１
ｂｉｏｒ ｂｌｏｒＮｒ．Ｎｄ
ｂｌｏｔ２．４
无 有 有 可以 可以 重构：２Ｎｒ＋１ 分解：２Ｎｄ＋ｌ
ｃｏｉｆ ｃｏｌｆＮ ｃｏｌｆ２
有 有 有 可以 可以
ｓｙｍ ｓｙｍＮ ｓｙｍ２，ｓｙｍ４
有 有 有 可以 可以
ｍｏｒ［ ｍＯＥｌ ｍｏｔ】
第一作者简介：费佩燕，女，１９７４年１２月生，陕西省西安市人．２００１年３月 毕业于西安工程科技学院测控技术与仪器专业．获硕士学位，现正在西安电子科技大 学攻读博士学位。主要从事计算机视觉与模式识别的研究，已发表论文１０余篇。
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几种常见小波的应用性能分析
作者： 作者单位：
费佩燕， 刘曙光 西安工程科技学院(西安)
‰ｈ ｒ＿ｎｉｎｌｅ，ｉ
（ａ）ｄｂ４小波的尺度函数、小波函数的图形
０目‘咐ｈ味ｉ啊－ｍ¨目Ｈ■ｆｕ·ｄｂ’ｗ，ｉ
１
Ｗ一 —刊 ｎ ０ｊ ０
·０Ｓ
（ｂ）ｄｂ８小渡的尺度函数、小渡函数的图形
圈４ Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ小波
１．５ Ｂｉｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ（ｂｉｏｒＮｒ．Ｎｄ）小波系
Ｂｉｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ函数的主要特征表现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像 的重构中。通常的用法是采用一个小波函数进行分解，用另外一个小渡函数进行重构。
１．１ Ｈａａｒ小波Ｉｔｌ
Ｈａａｒ小波是一种正交函数系，它是所有已知子波中最简单的小波，其表达式为：
ｆ１·
０ｓｆ＜１１２
ｙＨ（ｆ）＝｛一１，
１１２ｓｔ＜１
１０．其它
对于ｔ的平移，Ｈａａｒ小波是正交的，即
Ｅ＿！Ｉ］Ｈ（ｔ）ｇＨ（ｔ－－Ｈ）ｄｒ＝０．
ｎ＝啦！越…
（２）
如果引人一个简单的具有正交性的特征函数ｚ（ｆ），其定义域为【ｏＪ）区间 即，＝【０Ｊ），
Ｃｏｉｆｌｅｔ函数是由Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ构造的小波函数，它具有ＣｏｉｆＮ（Ｎ＝Ｉ，２．３，４， ５）一系列小波函数。Ｃｏｉｆｌｅｔ具有比ｄｂＮ更好的对称性。从支撑长度的角度看，ｃｏｉｆＮ 具有和ｄｂ３Ｎ和ｓｙｍ３Ｎ相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，ｃｏｉｆＮ具有和ｓｙｍ２Ｎ 相同的消失矩数目。
Ｃｏｉｆｌｅｔ小波系没有具体的表达式和小波基．其具体算法参见【７］。 这里给出ｃｏｉｌ３和ｃｏｉｆｓ小波的尺度函数，小波函数的图形（如图６）。
无 无 无 可以 不可以
ｒｇｌｅｘｂ
ｍｃｘｈ ｍｃｘｈ
无 无 无 可以 不可以
６Ｎ．１
２Ｎ－ｌ
有限长度
有限长度
滤披器长度
２
对事｝：性
对称
２Ｎ
近似对称
６Ｎ （２Ｎｒ十２Ｎｄ）＋２
不对称
近似对称
２Ｎ
近似对称
Ｉ－４．４１
对称
［－５，卸 对称
参考文献 １胡昌华，张军渡，夏军等．基于ＭＡＴＬＡＢ的系统分析与设计——小披分析．西安：西安电
的一种改进。Ｓｙｍｌｅｔｓ函数系通常表示为ｓｙｍＮ（Ｎ＝２，３～．，８）的形式。
与Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ相同．Ｓｙｍｌｅｔｓ小渡系设有具体的表达式和小波基，其具体算法 参见［８】。这里给出ｓｙｍ４和ｓｙｍ８小波的尺度函数、小波函数的图形：
【ａ）
（ｂ）
（ａ）ｓｙｍ４小渡的尺度函数、小波函数的图形 Ｃｏ）ｓｙｍ８小渡的尺度函数、小渡函数的图形
的尺度函数不存在．且不具有正交性。Ｍｏｒｌｅｔ小波是地球物理过程和流体湍流的分析
研究中经常使用的小波。ຫໍສະໝຸດ Baidu
１．４ Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ（ｄｂＮ）小波
Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ函数是由世界著名的小波分析学者Ｉｎｒｉｄ Ｄａｎｂｅｅｌｌｉｅｓ构造的小波函数，
除了ｄｂｌ（即Ｈａａｒ小波）外．其它小渡没有明确的表达式，但转换函数ｈ的平方模
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ｊ
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Ｖ
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Ｏ
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（ａ）
“）ｃｏｉｔ３小波的尺度函数、小渡函数的图形
（ｂ）ｃｏｉｆｓ小波的尺度函数、小波函数的图形
图６ Ｃｏｉｆｌｅｔ小波
１．７ Ｓｙｍｌｅｔｓ小波系 Ｓｙｍｌｅｔｓ函数系是由Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ提出的，它近似对称的小渡函数，是对ｄｂ函数
是很明确的。
·假设尸（ｙ）＝。辩＿１＋‘ｙ‘。其中ｃ，＿１“为二项式的系数．则有 ｋ＝０
Ｉｍｏ油）１２＝（ｃｏｓ２ ｉｏ．ｉ）ＮＰ（ｓｉｎ２等）
（１２）
１ ２Ｎ－１
其中ｍｏ（∞）＝÷∑＾ｌｅ撕 Ｖｚ Ｉ；０
·小波函数与尺度函数的有效支撑长度为２Ｎ．１，小渡函数的消失矩阶数为Ｎ；
·ｄｂＮ大多数不具有对称性；对于有些小波函数．不对称性是非常明显的：
子科技大学出版社，１９９９ ２ Ｍａｌｌａｔ Ｓ．Ｗａｖｅｌｅｔ ｆｏｒ ａ ｖｉｓｉｏｎ．ＩＥＥＥ ＰＴＯＣ．１９９６，８４（４）：６０４－６１４
３杨福生巾渡变换的工程分析与应用【Ｍ】．北京：科学出版社．１９９９
４赵松年，熊小差．子渡分析与子渡变换【Ｍ１．北京：电子工业出版社．１９９６ ５程正兴．小渡分折算法与应用【Ｍ】．西安：西安交通大学出版社．１９９８
几种常见小波的应用性能分析
费佩燕 刘曙光 （西安工程科技学院１９４信箱西安市金花南路１９号７１０ ０４ ８）
Ｅｍａｉｌ：Ｌ—ｓｈｕｇｕａｎｇｅｙａｈ００．ｃｏｉｌ］
摘要本文给出了小渡分析中几种常见小渡函数．并对它们的性质进行了比较。 关键词 小波分析小渡基函数
１几种常见小波
小波选择的灵活性很大．许多函数都可以作为小波，这里介绍具有代表性的几种 小波。
·正则性随序号Ｎ的增加而增加｛
·函数具有正交性；
Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ小波函数提供了比Ｈａａｒ函数更有效的分析和综合。Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ系数
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中的小波基为ｄｂＮ，Ｎ为序号．且Ｎ＝１…１０。
Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ小波函数具体计算过程见【４】。
ｄｂ４和ｄｂ８小波的尺度函数、小波函数的图形如下：
。口ｌ啕ｆⅢｔｉｏｑ＿ｍ
Ｍｅｘｉｃｏ小波是Ｇａｕｓｓ函数ｅ１叫２的二阶导数，即
ｙ（ｒ）＝—芸石－１，４（１一ｆ２扣叫‘７２
（５）
一ｊ
系数的选择主要是保证ｙ（ｆ）的归一化，即Ｍ‘＝１。这个小波作为广泛使用的Ｇａｕｓｓ
平滑函数的二阶导数．由于其波形与墨西哥草帽剖面轮廓线相似而得名。在视觉信息
加工研究与边缘检测方面获得了较多得应用．因而也称作Ｍａｒｔ小波。Ｍｅｘｉｃｏ小波是
６ Ａ．Ｃｏｈｅｎ，］ｎｇｒｉｄ Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ ａｎｄ Ｊ．Ｃ．Ｆｅａｕｖｅａｕ．Ｂｉｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ Ｂａｓｅｓ ｏｆ Ｃｏｍｐａｃｔｌｙ Ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ
Ｗａｖｅｌｅｔｓ．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｏｎ Ｐｕｃｅ ８ｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１９９２，１０（５）：４８５－５６０ ７ Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ Ｉ，Ｔｅｎ ｌｅｃｔｕｒｅｓ ｏｎ ｗａｖｅｌｅｔｓ．ＣＢＭＳ．ＳＩＡＭ，１９９４，６１：２５８—２６１ ８ Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ Ｉ．Ｔｅｎ ｌｅｃｔｕｒｅｓ ｏｎ ｗａｖｅｌｅｔｓ．ＣＢＭＳ．ＳＩＡＭ，１９９４，６１：１９４－２０２
卅ｃ竹２÷扣Ｂ
（８）
其频谱表达式为：
帅）＝去（ｅ－ｔ＝ｌ＇ｔ２＿ｅ－２｜＝ｌ＇）
（９）
１．３ Ｍｏｒｌｅｔ小波…
Ｍｏｒｌｅｔ小波是最常用到的复值小渡，由下式给出
ｌｆ，Ｏ）：４—１／４（ｅ＿ｌ哪一ｅ－４ ７２ｋ。２／２
（１０）
通常可近似表示为
Ｗｆ）＝口－１ｔ４ｅ－ｉＯ噼ｅ一一圯ｔＯｏ≥５
（１１）
因为它是复值小波．所以能提取被分析的时间过程或信号的幅值与相位信息。它