函数f(x)一致连续的条件及应用

函数f (x)一致连续的条件及应用
（数学与应用数学2003级 张志华 指导教师 刘敏思）
内容摘要：本文比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，还将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去．
关 键 词：一致连续 拟可导函数 基本初等函数 二元函数
Abstract ：This paper is more completely to summarize the methods of judging uniform continuity of functions, and apply them to analyze some examples, moreover, we discuss uniform continuity of fundamental primary functions in detail, and extend these methods to the case of functions of two variables.
Key words: uniform continuity perederivatable functions fundamental primary functions functions of two variables 1．引言
函数的一致连续性是数学分析课程的重要理论，弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键．一般的数学分析教材中只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的.G 康托定理，内容篇幅较少，不够全面和深入；虽然有些论文对函数一致连续性的判断作了一些拓展和补充，但是显得不够系统和应用得不够广泛．因此，对一般数学分析教材中这一部分内容并结合一部分论文资料，作一个比较系统和全面的总结，并作适当的拓展，如将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，无疑这一工作是十分必要和具有现实意义的． 2．预备知识
2.1一致连续和非一致连续的定义
一致连续：设()f x 为定义在区间I 上的函数.若对任给的0ε>，存在()0δδε=>，使得对任何,x x I '''∈，只要x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<,则称
函数()f x 在区间I 上一致连续.
非一致连续：存在00ε>，对任何正数δ（无论δ多么小），总存在两点 ,x x I '''∈，尽管
x x δ'''-<，但有'''0()()f x f x ε-≥.则称函数()f x 在区间I 上非一致连续.
2.2 .G 康托定理
.G 康托定理[1]：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上一致连续.
这个定理的证明可应用实数连续性命题中有限覆盖定理或致密性定理来证明．
但是.G 康托定理只能用来判断有限闭区间上函数的一致连续性，应用不是十分广泛．下面再介绍几种比较常见的判断函数一致连续性的方法． 2.3 几种常见的判断函数一致连续性的方法
方法1：利用李普希茨条件
若()f x 在区间I 上满足李普希茨条件，即任给,x y I ∈，有()()f x f y kx y -<-（其中k
为常数），则()f x 在区间I 上一致连续.
方法2：有限开区间上一致连续的判别法
若()f x 在有限开区间(,)a b 上连续，且(0)f a +与(0)f b -都存在且有限⇔函数()f x 在
(,)a b 上一致连续.
类似的有：有限半开半闭区间上一致连续的判别法
若()f x 在区间(,]a b （或[,)a b ）上连续，且(0)f a +（或(0)f b -）存在且有限⇔函数()f x 在(,]a b （或[,)a b ）上一致连续.
方法3：无穷区间上一致连续的判别法
若()f x 在(,)-∞+∞上连续，且lim ()x f x A →-∞
=及lim ()x f x B →+∞
=极限存在，则()f x 在
(,)-∞+∞上一致连续.
类似的还有：
若()f x 在[,)a +∞(或(,]b -∞)上连续，且lim ()x f x →+∞
(或lim ()x f x →-∞
)极限存在，则()f x 在
[,)a +∞(或(,]b -∞)上一致连续.
若()f x 在 (,)a +∞(或(,)b -∞)上连续，且lim ()x f x →+∞
及lim ()x a
f x +→(或lim ()x f x →-∞
及lim ()x b
f x -
→)极限存在，则()f x 在(,)a +∞(或(,)b -∞)上一致连续. 3. 方法的归纳和应用 3.1方法的归纳及方法的应用
方法1：用连续模数来刻画一致连续性
若()f x 在区间I 上有定义,则称'''''''''
,()sup ()()x x f x x I
f x f x δ
ωδ-<∈=-为函数()f x 的连续
模数.
定理[5] 若()f x 在区间I 上有定义,则()f x 在I 上一致连续的充要条件是
0lim ()0f δωδ+
→=.
推论 若()f x 在区间I 上连续,若'''''''''
,()sup ()()()x x f x x I
f x f x
g δ
ωδδ-<∈=-≤且0
lim ()0g δδ+
→=,则()f x 在I 上一致连续.
由上述定理易得到一致连续的视察法:
()f ωδ的值只与()f x 的图象最陡的地方有关.若()f x 的图象在某处无限变陡,
使得()0f ωδ→,则()f x 非一致连续;若()f x 在某处最陡,但0δ+
→时,此处的变差
'''()()0f x f x -→,则()f x 一致连续.
例1 1
()f x x =
在(0,)(0)c c >上是非一致连续的,但在[,)(0)c c +∞>上一致连续. 分析：1
()(0)f x x x
=>，在0x =处，图形无限变陡.
0,()f δωδ∀>=+∞.0δ+→时()0f ωδ→/.
因此，f 在任何区间(0,)(0)c c >上都是非一致连续的.
但在区间 [,)c +∞上，1()f x x =在点c 处最陡，且11
()0(0)f c c ωδδδ
+=-
→→+. 可见，1
()f x x
=
在[,)c +∞上一致连续. 方法2：利用一致连续函数的四则运算性质来判断一致连续
(1)若(),()f x g x 都在区间I 上一致连续,则()()f x g x ±也在I 上一致连续. (2)若(),()f x g x 都在有限区间I 上一致连续,则()()f x g x 也在I 上一致连续.
若(),()f x g x 都在区间I (含无穷区间)上一致连续且有界,则()()f x g x 也在I 上一致连
续.
(3)若()f x 在区间I 上一致连续,且有正的下确界(或负的上确界),则
1
()
f x 也 在I 上一致连续.
(4)若()f x 在区间I 上一致连续 ,则()f x α也在I 上一致连续(其中α为任意常数). 例2 若()f x 在有限区间I 上一致连续, ()g x 在区间I 上非一致连续.问: ()()f x g x ±在
I 上的一致连续性.
分析：假设()()f x g x +在I 上一致连续，又()f x 是有限区间I 的一致连续函数， 由一致连续函数的四则运算性质知()[()()]()g x f x g x f x =+-在I 上一致连续，这与条件矛盾. 所以，()()f x g x +在I 上非一致连续．同理有()()f x g x -在I 上非一致连续.
方法3：复合函数的一致连续性
设函数()f x 在区间I 上一致连续, ()g x 在区间U 上一致连续,且()g U I ⊂,则复合函数
(())f g x 在区间U 上一致连续.
方法4[1]
：利用两区间之并
设()f x 定义在[,]a c 上，若()f x 在[,]a b 和[,]b c 上都连续，则()f x 在[,]a c 上一致连续. 上述结论可进一步推广为：
设区间1I 的右端点为1c I ∈,区间2I 的左端点也为2c I ∈(12,I I 可为有限或无限区间).若()f x 在1I 和2I 上都一致连续,则()f x 在1
2I I I =上一致连续.
例3 讨论()f x =
[0,)+∞上的一致连续性.
分析：()f x 在[0,)+∞上连续，设0a >，
当0x a ≤≤时，设12120,0,x a x a x x δ≤≤≤≤-<， 则
≤<
121212,[0,]
0()sup
()()x x f x x a f x f x δ
ωδ-<∈≤=-≤且
lim 0δ+
→=，所以
()f x =[0,]a 上一致连续.
当x a >时，
=
≤
且0
lim 0δ+
→=.
所以
()f x =
[,)a +∞上一致连续.
综上所述，()f x =[0,)+∞上一致连续.
方法5：利用数列
(1)函数 ()f x 在I 上一致连续⇔对区间I 上任意两个数列{},{}n n x y ,当lim 0
n n n x y →∞
-=时,有lim ()()0n n n f x f y →∞
-=.
函数()f x 在I 上非一致连续⇔区间I 上存在两个数列{},{}n n x y ,当lim 0n n n x y →∞
-=时,但
lim ()()0n n n f x f y →∞
-≠.
例4 2()sin f x x =在(,)-∞+∞内非一致连续.
分析：可取'
''n n x x =
='''0()n n x x n -→→∞.而
'''()()2n n f x f x -=，故2()sin f x x =在(,)-∞+∞内非一致连续.
(2)[5]函数()f x 在有界实数集E 上一致连续⇔函数()f x 将E 中的柯西列变成1
R 中的柯西列.
方法6：利用渐近线
设()f x 在[,)a +∞上连续,且lim [()()]0x f x cx d →+∞
-+=(,c d 为常数).即x →+∞时, ()
f x
有渐近线y cx d =+，则()f x 在[,)a +∞上一致连续.
上述结论可进一步推广为[6]:
设()f x 在[,)a +∞上连续,()g x 在[,)a +∞上一致连续,即x →+∞时,且
lim [()()]x f x g x A →+∞
-=，则 ()f x 在[,)a +∞上一致连续.
例5 1()ln()f x x e x
=+在[1,)+∞上一致连续.
分析：由于1
ln()
11lim
1,lim[ln()]x x x e x k b x e x x x e
→∞→∞+===+-=，故1()ln()f x x e x =+在该区间有渐近线1
y x e
=+
，所以 ()f x 在[1,)+∞上一致连续. 方法7：利用导数
若()f x 在区间I 上存在有界导函数,即0,M x I ∃>∀∈,有()f x M '≤，则()f x 在I 上一致连续.
下面还有一个应用得更加广泛的结论[6]:
若()f x 在[,)a +∞上连续,在(,)a +∞内处处可导,且lim ()x f x A →+∞
'=存在，则()f x 在[,)
a +∞上一致连续.
例6
()f x =
(,)-∞+∞上一致连续.
分析：由于'
'()()1f x f x =≤
，故()f x =在(,)-∞+∞上一致连续.
方法8：利用积分
设函数()f x 在区间[,)a +∞上局部可积，且()f x 在区间 [,)a +∞上有界,则
()()d x a
F x f s s =⎰
在[,)a +∞上一致连续.
方法9：引进拟可导函数来说明一致连续性
定义1(凸函数)[4] 设函数()f x 在区间I 上有定义,若,y ,01x I λ∀∈≤≤,有
[(1)]()(1)()f x y f x f y λλλλ+-≤+-(或[(1)]()(1)()f x y f x f y λλλλ+-≥+-),
则称()f x 为定义在区间I 上的下凸(或上凸)函数,上,下凸函数统称为凸函数.
注：下面的定义，引理，定理和推论均见[4].
定义2(拟可导函数) 若函数()f x 在00()U x 有定义,且极限
000()()
22lim
h h h f x f x h
→+--存在, 则称函数()f x 在0x 拟可导,记为0000()()
22()lim
h h h f x f x Df x h
→+--=. 引理1 凸函数在任意开区间（有限或无穷）I 上连续. 引理2 若()f x 在区间I 上连续，且对12,x x I ∀∈，有
1212()()()22
f x f x x x
f ++≥，
则函数()f x 为下凸函数.
定理 若()f x 在开区间I （有限或无穷）上单调，且()Df x 在I 内处处存在，有界，则()f x 在I 上一致连续.
推论1 若()f x 是开区间I （有限或无穷）上的凸函数，且拟导数存在，有界，则()f x 在
I 上一致连续.
推论2 若()f x 在开区间I （有限或无穷）上满足条件： ①12,x x I ∀∈，有
1212()()()22
f x f x x x
f ++≥；
②x I ∀∈，()f x -和()f x +都存在； ③在I 上处处拟可导，且拟导数有界， 则()f x 在I 上一致连续. 3.2几个重要应用
应用之一：周期函数的一致连续性
[2][6]
设()f x 是(,)-∞+∞上以T 为周期的函数，则()f x 在(,)-∞+∞上连续⇔()f x 在
(,)-∞+∞上一致连续.
应用之二：基本初等函数的一致连续性
(1)（幂函数）()f x x α=在[0,)+∞上，当01α<≤时一致连续，当1α>时不一致连续. (2)（指数函数）()x f x e =在R 上非一致连续.
(3)（对数函数）()ln f x x =在(0,1]上非一致连续，在[1,)+∞上一致连续.
(4)（三角函数）sin y x =和cos y x =均在R 上一致连续,tan y x =和cot y x =均在其定义域上非一致连续.
(5)（反三角函数）sin y arc x =和cos y arc x =均在[1,1]-上一致连续,arctan y x =和
cot y arc x =均在(,)-∞+∞上一致连续.
(6)（有理函数）101101...()()()...n n n
m m m
x x p x R x q x x x αααβββ--+++==
+++，其中,n m 为非负整数，01,,...n ααα，01,,...,m βββ均为常数，且00α≠，00β≠.当1n m ≤+时，()R x 在[,)a +∞上一致连续；当
1n m >+时，()R x 在[,)a +∞上非一致连续.（其中max{;()0}a x q x >=）.
4. 二元函数的一致连续性
前面我们已经对一元函数的一致连续性已作了详细的叙述，下面我们将一元函数的一致连续性的一些结论推广到二元函数中去.
定理1 若函数()f P 在有界闭区域D 上连续，则()f P 在D 上一致连续. 定理2 函数()f P 在有界开区域D 上一致连续⇔()f P 在D 上连续，且
00,lim ()P P P D
P D f P →∈∀∈∂存在.（记D ∂为D 的边界）
定理3 函数(,)f x y 在2
R 上连续，且lim (,)r f x y →+∞
存在，
其中r =
，则(,)f x y 在
2R 上一致连续.
定理4 函数(,)f x y 在区域D 上满足：(,)(1,2)i i x y D i ∀∈=，都有
1122111222(,)(,)f x y f x y k x y k x y -≤-+-（12,k k 为正常数）
，
则(,)f x y 在D 上一致连续.
定理5 函数(,)f x y 在凸区域D 内存在有界偏导数，则(,)f x y 在D 上一致连续. 定理6 函数()f P 在区域D 上一致连续⇔对{},{}n n P Q D ∀∈，
lim (,)0n n n P Q ρ→+∞
=，恒有lim ()()0n n n f P f Q →+∞
-=.
定理7 函数(,)f x y 在有界区域E 上一致连续⇔函数(,)f x y 将E 中的柯西列变成1
R 中的柯西列.
总之，一元函数的一致连续性大多可以推广到二元函数上去，但形式上要注意区别，例如定理5中的条件要求为凸区域． 5. 结束语
文章比较全面的总结了各种判断函数的一致连续性的条件，并结合实例对这些方法加以运用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，并将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，这些都具有一定的意义．然而必须指出：关于函数一致连续性的判断，是由函数所满足的条件及所定义的范围决定的，本文还不能解决所有的判断函数一致连续的问题，还可以进行更加深入的讨论和研究．
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