平面向量的概念与几何运算(答案

第13讲：平面向量的概念与向量的几何运算

一、基础概念： 1、向量的的概念

（1）向量：既有大小又有方向的量叫向量。要注意标量与向量的区别：标量只有大小，是个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向和大小的双重性，两个向量不能比较大小：但大小和方向是向量的两个要素，向量的大小称为向量的模。 （2）零向量：模为零的向量叫做零向量（始、终点重合），记作0。 注意：0的方向是任意的；0与0的区别。 （3）单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量。

（4）相等的向量：长度相等且方向相同的两个量叫做相等的向量。若向量相等，记作：.b a 任意两相等的向量都可以用一有向线段表示，与起点无关。 （5）负向量：大小相同且方向相反的两个向量称它们互为负向量。 2、平行向量

两个方向相同或相反的向量，记作：//。任意一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。 规定：0与任意向量平行。 3．向量的表示方法

（1）始终点法（几何表示法）：如图向量AB ； （2）单个字母表示法（代数表示法）：小写字母加上箭头，如a

从向量的表示我们可以看到，可以由几何与代数两方面来刻划画向量，使数与形统一于向量之中，体现了数形结合的思想。 二、向量的加、减法运算 1、向量的加法

求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：两个向量的和仍是向量（简称和向量）。

（1） 向量加法的平行四边形法则；

（2） 向量加法的三角形法则：将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合，则第一

个向量的始点为始点，第二个向量的终点为终点所组成的向量，即为两向量的和

B

（3） 对于共线的向量，分别为同向或反向的两种情况。 2、向量加法的性质

（1）向量加法的交换律：a b b a +=+；

（2）向量加法的结合律：)()(++=++； （3）=+=+。 3、向量的减法

向量的减法是向量加法的逆运算（用加法的逆运算定义向量的减法）。

若,a x b =+则x 叫做与的差，记作b a -。 4、求作差向量

已知向量与，求作向量-。

作法：在平面内取一点O ，作,,;OA b OB a AB a b ===-则可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。 三、实数与向量的乘积 1、实数与向量的积

定义：实数λ与非零向量的积是一个向量，记作⋅λ。它的模与方向规定如下： （1

）

=λλ

(2)0,;0,;0,0.:0,.a a a a a a a λλλλλλλλ>⋅<⋅=⋅=≠⋅时与方向相同时与方向相反时特点当时与平行

实数与向量积的运算

（1） 结合律：)()(λμμλ=⋅；

（2） 分配律：.)(,)(b a b a a a a ⋅+⋅=+⋅+⋅=+λλλμλμλ 2、单位向量

定义：长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 设 a 是非零向量a 同方向的单位向量，则00;.

a a a a a a

=

=

或

C

A

O

3、向量平行的充要条件

与非向量平行（共线）的充要条件是有且只有一个实数λ使得.⋅=λ

推论：//的充要条件是存在实数.,,2121b a ⋅=⋅λλλλ使 四、应用举例：

例1、如图，正六边形ABCDEF 的中心为O ，则与相等的向量相

等的向量是 ，

OD 的负向量是 是 。OD 的平行向量是 。

答：与相等的向量是,,,的负向量是

,,,。

与OD 平行的向量是BC FE DA AD CB EF AO OA DO ,,,,,,,,等共有9个。

反思：掌握概念是关键

例2、化简++++。

解：++++=++++)(

.)()(=+=++=+++=

反思：三角形法则，“首尾相接”。

例3、已知,a b 为非零向量，试判断下列各命题的真假？ （1）0λ=是0a λ⋅=的充要条件；

（2）2a -与3a 的方向相反，且2a -的模是3a 的模的2

3

倍。 （3）()a b -与()b a --互为负向量；

（4）因为2a 的方向与a 相同，且大小为a 的2倍，所以

22a

a

=； 答：（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）假命题。 反思：平时对问题的表述要准确

例4、（1）如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ） （A ）AB DC = （B ）AD AB AC += （C ）AB AD BD -= （D ）0AD CB +=

A

B

C

D

F

C

B

A

解：依照图形分析得答案为（C）。

（2）如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD =（ ）

A.1

2

BC BA -+

B. 12

BC BA --

C. 1

2

BC BA -

D. 12

BC BA +

解：1

2

CD CB BD BC BA =+=-+

，选取（A ） （3）,a b 是两个非零向量，00,a b 分别是,a b 的单位向量，则下列命题正确的是（ ）。

00000

0000

()//,()//,1

()1,()1,A a b a b B a b a b C a a a D a b a b a b =-=======-若则若则若则若则或

解：（C ）

反思：方法的选择要优化，如第（2）小题

例5、（1）已知1,60,,.a b a b a b a b ==+-且与的夹角为求的值 解：应用余弦定理

222

2

2

2

2cos 603,32cos 601,1

a b a b a b a b a b a b a b a b +=++⋅=+=-=+-⋅=-=由解得由解得（2）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的组中点，则MN =_______。（用

a b 、表示）

1111

:()2424

1111.

4444

MN MC CN BC CA BC CB BA AB BC a b =+

=

+=++=-+=-+解

反思：数形结合是重要的解题方法

例6．如图，CF BE AD ,,

分别是ABC ∆的中线，G 为重心，且

,,,AD m BC a m a ==试用表示。.

)4(,)3(,)2(,)1(A

B

C

D

M

D

B

D C

B

A