函数的凸性

方法1: 设函数 f ( x )在x0的邻域内二阶可导 , 且f ′′( x0 ) = 0,
(1) x0两近旁 f ′′( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点; ( 2) x0两近旁 f ′′( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
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Cauchy-Schwarz不等式
f ( x ) = x 为凸函数 (在整个R上 )
2
取 λi =
bi
n i =1
2
∑b
2
, xi =
ai bi
i
带入Jensen不等式
∑ab
i =1
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n
i i
≤
∑a
i =1
n
2 i
⋅
∑b
i =1
n
2
i
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二、曲线凹凸的判定
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例1 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 . 解 ∵ y′ = 3 x 2 , y′′ = 6 x ,
当x < 0时， y′′ < 0,
∴曲线 在( −∞ , 0]为凹的；
当x > 0时， y′′ > 0, ∴曲线 在[0, +∞ )为凸的；
定理1
推论 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b )内具有 二阶导数 , 若在 (a , b )内 (1) f ′′( x ) > (≥ )0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是严格凸(凸)的 ; (2) f ′′( x ) < (≤ )0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是严格凹(凹)的 .
例2 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及
凹、凸的区间 .
解
2 y′′ = 36 x ( x − ). y′ = 12 x − 12 x , 3 2 令y′′ = 0, 得 x1 = 0, x2 = . 3
3 2
∵ D : ( −∞ ,+∞ )
x
f ′′( x )
f ( x)
f ( λ x1 + (1 − λ ) x2 ) ≤ λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 )
f ( λ x1 + (1 − λ ) x2 ) < λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 )
则称f 为I上的严格凸函数； 上述不等号反向时，分别称f 为凹（严格凹）函数.
( −∞ ,0)
+
凸的
0 0
拐点
( 0, 2 ) 3 −
凹的
2
3 0
( 2 ,+∞ ) 3 +
凸的
(0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
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凹凸区间为 ( −∞ ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,+∞ ). 3
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n n
, n), ∑ λi = 1, 有
i =1
n
⎛ ⎞ f ⎜ ∑ λi xi ⎟ ≤ ∑ λi f ( xi ). ⎝ i =1 ⎠ i =1
Jensen 不等式
⎛ x1 + x2 + f⎜ n ⎝
2007年8月
+ xn ⎞ 1 n ⎟ ≤ n ∑ f ( xi ). ⎠ i =1
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x → −∞
那么 y = b 就是 y = f ( x ) 的一条水平渐近线 .
例如
y = arctan x ,
π 有水平渐近线两条: y = , 2
2007年8月
π y=− . 2
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3.斜渐近线
如果
x → +∞ x → −∞
lim [ f ( x ) − (ax + b )] = 0
7π 3π ( ,0), ( ,0). 4 4
注意: 若 f ′′( x0 ) 不存在, 点 ( x 0 , f ( x 0 )) 也可能
是连续曲线 y = f ( x ) 的拐点.
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四、渐近线
定义: 当曲线 y = f ( x ) 上的一动点 P 沿着曲线
f ( x) 2( x − 2)( x + 3) 又 ∵ lim = lim = 2 , x →∞ x →∞ x x ( x − 1) 2( x − 2)( x + 3) lim[ − 2 x] x →∞ x ( x − 1) 2( x − 2)( x + 3) − 2 x ( x − 1) = 4, = lim x →∞ x −1
2( x − 2)( x + 3) 的渐近线. 例1 求 f ( x ) = x −1
解
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D : ( −∞ ,1Βιβλιοθήκη Baidu ∪ (1,+∞ ).
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∵ lim f ( x ) = − ∞ ,
x →1
+
lim f ( x ) = + ∞ ,
x →1−
∴ x = 1 是曲线的铅直渐近线 .
第二
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确定在这些部分区间内 f ' ( x ) 和 f " ( x ) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） ；
第三
确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
第四
描出与方程 f ( x) = 0 和 f ( x) = 0 的根对 应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.
显然： f 是(严格)凸的 ⇔ − f 是(严格)凹的
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对于连续函数凹凸性，有如下等价的定义： 定义 设f ( x )在(a , b )内连续, 如果对(a , b )内任意 x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )≤ , 两点 x1 , x2 , 恒有 f ( 2 2 那末称 f ( x )在(a , b )内的图形是凸的 ; 如果对(a , b )内任意两点 x1 , x2 , 恒有 x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) f( )≥ , 2 2 那末称 f ( x )在(a , b )内的图形是凹的 ;
如果f ( x )在[a , b]内连续 , 且在 (a , b ) 内的图形是凹 (或凸)的, 那末称 f ( x )在[a , b] 内的图形是凹(或凸)的 ;
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推广性的定义
f : I → R是I 上的凸函数
∀xi ∈ I , λi ∈ [0,1]( i = 1,
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1 , 例如 y = ( x + 2)( x − 3)
有铅直渐近线两条: x = −2,
2007年8月
x = 3.
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2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线 )
如果
x → +∞
lim f ( x ) = b 或 lim f ( x ) = b (b 为常数 )
y′′′ = − cos x + sin x . 7π 3π , x2 = . 令 y′′ = 0, 得 x1 = 4 4 7π 3π f ′′′( ) = 2 ≠ 0, f ′′′( ) = − 2 ≠ 0, 4 4
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∴ 在[0,2π ]内曲线有拐点为
函数的凸性
一、曲线凹凸的定义 二、曲线凹凸的判定 三、曲线的拐点及其求法 四、渐近线 五、图形描绘的步骤 六、作图举例
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一、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y = f ( x)
y
y = f ( x)
o
x1
x2 x
o
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方法2: 设函数 f ( x ) 在 x 0 的邻域内三阶可导 , 且
f ′′( x 0 ) = 0, 而 f ′′′( x 0 ) ≠ 0 , 那末 ( x 0 , f ( x 0 )) 是曲 线 y = f ( x ) 的拐点.
例3 求曲线 y = sin x + cos x ([0,2π ]内) 的拐点. 解 y′ = cos x − sin x , y′′ = − sin x − cos x ,
y = f ( x)
y
y = f (x)
A
B
y
B
A
o
a
b
y′′ > 0
x
o
a f ′( x ) 递减
f ′( x ) 递增
b x y′′ < 0
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设函数f 在区间I上一阶可导 , 若f ' 在I上 严格单调增(单调增), 则f 是I上的严格凸(凸)函数.
证 ∵ f ( x ) 二阶可导 , ∴ f ′( x ) 存在且连续 ,
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又 ∵ ( x0 , f ( x0 ) )是拐点,
则 f ′′( x ) = [ f ′( x )]′在x0两边变号 ,
∴ f ′( x )在x0取得极值 ,由可导函数取得极值的 条件, ∴ f ′′( x ) = 0.
∴ y = 2 x + 4 是曲线的一条斜渐近线 .
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2( x − 2)( x + 3) f ( x) = 的两条渐近线如图 x −1
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五、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
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注意:
如果 f ( x) (1) lim 不存在; x →∞ x f ( x) ( 2) lim = a 存在, 但 lim[ f ( x ) − ax ] 不存在, x →∞ x →∞ x
可以断定 y = f ( x ) 不存在斜渐近线 .
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
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三、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
2.拐点的求法
定理 2 如果 f ( x )在( x0 − δ , x0 + δ )内存在二阶导 数,则点( x0 , f ( x0 ) )是拐点的必要条件是 f " ( x0 ) = 0 .
确定函数 y = f ( x ) 的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数 f ' ( x ) 和二阶导数 f " ( x );
第一
求出方程 f ' ( x ) = 0 和 f " ( x ) = 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
第五
' "
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六、作图举例
4( x + 1) − 2 的图形 . 例2 作函数 f ( x ) = 2 x 解 D : x ≠ 0, 非奇非偶函数,且无对称性.
4( x + 2) 8( x + 3) ′ ′ , f ( x) = . 3 4 x x 令 f ′ ( x ) = 0, 得驻点 x = −2, f ′( x ) = −
或 lim [ f ( x ) − (ax + b )] = 0 (a , b 为常数 ) 那么 y = ax + b 就是 y = f ( x ) 的一条斜渐近线 .
斜渐近线求法:
f ( x) lim = a, x →∞ x
lim[ f ( x ) − ax ] = b.
x →∞
那么 y = ax + b 就是曲线 y = f ( x ) 的一条斜渐近线 .
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
2007年8月
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
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定义（凸函数与凹函数） 设f : I → R，若∀x1 , x2 ∈ I，∀λ ∈ [0,1]有 则称f 为I上的凸函数； 若∀x1 ≠ x2 ∈ I，∀λ ∈ (0,1)有
移向无穷点时 , 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零 , 那么直线 L 就称为曲线 y = f ( x ) 的 一条渐近线 .
1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线 )
如果
+ x → x0
lim f ( x ) = ∞ 或 lim f ( x ) = ∞
− x → x0
那么 x = x0 就是 y = f ( x ) 的一条铅直渐近线 .