二章Z变换及离散时间系统分析

列（n>=0部分）进行变换的z变换，其定义为：
X(z) x(n)zn n0
• 单边z变换只在少数情况下与双边z变换有所区别，即 序列的起始条件不同，可以把单边z变换看成是双边z 变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z变换。
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2.1 Z变换定义
• Z变换、拉氏变换(LT) 、 傅里叶变换（DTFT）
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2.4 Z变换性质
例
(2)中结果不对
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2.5 Z反变换
定义及求解法
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2.5 Z反变换
• 长除法——幂级数展开
X(z) x(n)zn n0
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2.5 Z反变换
• 部分分式
|z|＞1/2
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2.5 Z反变换
• 留数法 x(n)
zk y( j)z j jk
1
zk [ y( j)z j y( j)z j ]
j0
jk
1
zk [Y (z) y( j)z j ] 2020/6/6 jk
N
1
ak zk [Y (z) y( j)z j ] 0
k 0
jk
所以，零输入解为：
N
1
ak zk y( j)z j
Y (z) k0
k 1
r 0
N
M
Y (z) Y (z) a(k )zk X (z) b(r)zr
k 1
r 0
Y (z) 1
N k 1
a(k ) z k
X
M
(z)
r 0
b(r ) z r
M
b(r)zr
Y (z)
X (z)
r 0 N
1
a(k ) z k
H (z)
k 1
(2.1)
y(n) x(k)h(n k) x(n) * h(n) k
比表示：
X (z) P(z) Q(z)
零点：分子多项式P(z)的根
极点：分母多项式Q(z)的根
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2.3 常用序列Z变换
序列
Z变换
收敛域
δ(n)
1
全Z平面
1
u(n)
|z|>1
1 - z -1
αn u(n)
1 1 - αz -1
|z|>|α|
RN (n)
1 - z -N 1 - z -1
n
x(nTs ) (t nTs ) es tdt
n
x(nTs )es nTs n
X (es Ts ) zes Ts X (z)
X (z) x(n)z n n
z esTs eσTs jTs eσTs e jTs re jw
r eσTs
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w ΩTs
Im[z]
res[ X ( z ) z n1 ] z zk
k
注意：
➢ 积分路径为收敛域内逆时针方向的闭合曲线
➢ 积分路径内部
的极点的留数
➢ 当n取不同的值，z=0处的极点的阶次不同
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2.5 Z反变换
已知：
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2.5 Z反变换
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2.5 Z反变换
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f t dt
傅里叶变换的局限性:
1) 工程中一些信号不满足绝对可积条件[如U(t)];
2) 有些信号不存在傅立叶变换如 e t ( 0)
3) 求反变换时,求 (-∞,∞)上的广义积分,很困难;
4) 只能求零状态响应,不能求零输入响应
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2.0 预备内容——
• 拉普拉斯变换
j
M
M
(1 cr e jw )
(e jw cr )
H (e jw ) K
r 1 N
Ke j ( N M )w
r 1 N
(1 dr e jw )
(w jw dr )
r 1
r 1
| H (e jw ) | e j arg[ H (e jw )]
其模等于： 其相角为：
M
| (e jw cr ) |
• 一个离散序列 x（n）的Z变换定义为：
• 收敛域：一般，序列的z变换并不一定对任何z值都收敛， z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。级数一 致收敛的条件是绝对值可和。
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2.1 Z变换定义
• 以上的这种变换也称为双边 z 变换。 • 与此相应还有单边 z 变换，单边 z 变换只是对单边序
| H (e jw ) || K |
r 1 N
| (e jw dr ) |
r 1
M
N
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arg[H (e jw )]
arg[K ]
r 1
arg[e jw
cr ]
r 1
arg[e jw
dr ] (N
M
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)w
2.7 转移函数
频响几何分析示例一
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2.7 转移函数
频响几何分析示例二
H (e j )
。
。
0 3 2 ω
2
2
零点在单位圆上： 0, 极点在 / 2, 3 / 2
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2.7 转移函数
频响几何分析示例三
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结束
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F s f (t)es tdt
(s j)
F j f (t)e j tdt
X(z) x(n)zn
(z esTs )
(w ΩTs )
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2.1 Z变换定义
• Z变换与拉氏变换
理想冲激抽样序列
s(t) T (t) (t nTs )
x(t)：有限带宽信号
第二章 Z变换及离散时间系统分析
Chapter 2 Z-Transform and Discrete Time Systems
Analysis
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思考
• 本章z变换分析法，即离散信号与系统的 “频率域分析”，与前一章“时域分析” 相对。
• 思考：为什么要进行“频域分析”？
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差分方程 卷积关系
N
M
y(n) a(k) y(n k) b(r)x(n r)
k 1
r 0
y(n) x(k)h(n k) x(n) * h(n) k
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2.7 转移函数
• 转移函数定义为系统单位抽样响应的Z变换，也是系 统输出、输入Z变换之比
N
M
y(n) a(k) y(n k) b(r)x(n r)
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2.7 转移函数
n
h(n)
n n
x(n)zn
n
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2.7 转移函数
M
M
(1 cr z1)
(z cr )
H (z) K
r 1 N
Kz( N M )
r 1 N
(1 dr z1)
(z dr )
r 1
r 1
其中K为实数，用z=e jw代入，即系统的频率响应为：
Y(z) X (z)H (z)
Y (z) H (z) X (z)
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2.7 转移函数
• FIR系统：h(n)为有限长，输入端不含输出对输入的反 馈，系统总是稳定的
M
H (z) 1 b(r)z r r 1 M
y(n) b(r)x(n r) x(n) r 1 M
h(n) b(r) (n r) r 0
引入衰减因子：
e t
使得：
lim f (t)e t 0
t
对 f (t)e t 求傅氏变换得到如下的拉氏变换 ：
F s f (t)es tdt
(s j)
可见，傅氏变换是复平面虚轴上的拉氏变换， 即拉氏变换的特例
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2.1 Z变换定义
• 利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析 系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需 要研究离散时间系统的z变换（类似于模拟系统的拉氏变 换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。
rejw
r
0
ReБайду номын сангаасz]
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2.1 Z变换定义
• Z变换与傅里叶变换（DTFT）
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2.2 Z变换收敛域
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2.2 Z变换收敛域
• 两点说明
1. 同一个变换函数，收敛域不同，对应的序列是 不相同的。
2. 收敛域中无极点，收敛域总是以极点为界的。
常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之
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几条重要性质
z变换
收敛域
X(z) H(z) aX(z)+bH(z) z-mX(z) X*(z*) X(1/z) X(z)H(z)
Rx-<|z|<Rx+ Rh-<|z|<Rh+ max[Rx-，Rh-] <|z|min[Rx+, Rh+] Rx-<|z|<Rx+ Rx-<|z|<Rx+ 1/Rx+<|z|<1/Rxmax[Rx-，Rh-] <|z|min[Rx+, Rh+]
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2.0 预备内容——
• 连续信号与系统分析
时域:f(t)、微分方程 频域：拉普拉斯变换、傅立叶变换（FT）
• 离散信号与系统分析
时域:x(n)、差分方程 频域：Z变换、序列的傅立叶变换(DTFT)
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2.0 预备内容——
• 傅里叶变换
F j f (t)e j tdt
该变换存在的充分条件：
H(z) K
m1 N
Kz(N M )
m1 N
(1- dk z-1)
(z dk )
k 1
k 1
使以上转移函数分子、分母多项式等于零的z值分别称为系
统的零点和极点。
✓ 分析系统因果性
✓ 分析系统稳定性:一个LTI系统稳定的充要条件是其所有的极 点位于单位圆内
✓ 估计系统频率响应：几何分析法
✓ 数字滤波器设计的一般法则：阻止一个频率，在单位圆相应 频率处设置一个零点；突出一个频率，在单位圆内相应频率 处设置一个极点，且越接近单位圆，幅频响应的幅值越大。
k0 零输入解
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2.6 Z变换求解差分方程
例1：
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2.6 Z变换求解差分方程
例2：
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2.7 转移函数
• 线性时不变离散系统四种表示方法
频率响应
H (e j ) h(n)e jn n0
转移函数
（也称系统函数）
H (z) h(n)z n n0
jk N
ak zk
k 0
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2.6 Z变换求解差分方程
• 全响应
N
1
M
ak zk [Y (z) y( j)z j ] bk X (z)zk
k 0
jk
k 0
M
N
1
bk zk
ak zk y( j)z j
Y(z)
k 0 N
X (z) k0
jk N
ak zk
k0 零状态解
ak zk
|z|>0
-αn u(-n-1)
1 1 - αz -1
|z|<|α|
n u(n)
z -1 (1 - z -1) 2
|z|>1
α z -1
2020/6/6nαn u(n)
(1 - αz -1) 2
|z|>|α|
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2.4 Z变换性质
序列 x(n) h(n) ax(n)+bh(n) x(n-m) x*(n) x(-n) x(n)*h(n)
通过抽样，得到如下的离散序列：
xs (nTs ) x(t)s(t) x(t) (t nTs ) x(nTs ) (t nTs )
n
n
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2.1 Z变换定义
j
• Z变换与拉氏变换
X s L[xs (nTs )] xs (nTs )es tdt [ x(nTs ) (t nTs )]es tdt
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2.6 Z变换求解差分方程
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2.6 Z变换求解差分方程
零状态解
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2.6 Z变换求解差分方程
• II)求暂态解（零输入解）
N
ak y(n k) 0
ZT[y(n - k)u(n)]
k 0
= y(n k)zn n0
zk y(n k )z(nk ) n0
h(0) b(0),h(1) b(1),...,h(M ) b(M ),h(n) 0, n M
• IIR系统： h(n)为无限长，输入端包含输出对输入的反 馈，存在稳定性问题
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2.7 转移函数
• 零极点分析
由式2.1因式分解，得到：
M
M
(1- cm z-1)
(z cm )