高中数学空间向量课件

二、讲授新课
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
思考3： 给一个定点和两个定方向（向量），能确定 一个平面在空间的位置吗？
答：空间中平面的位置可以由平面内两条相 交直线来确定。
思考4： 给一个定点和一个定方向（向量），能确定一 个平面在空间的位置吗？
如果表示向量a的有向线段所在直线
垂直于平面，则称这个向量垂直于平面
，记作a⊥.
如果a⊥，那么向量a叫做平面的
线线平行：l∥m a ∥b a=kb; 线面平行：l ∥α a⊥u a·u=0; 面面平行：α∥β u ∥v u=kv.
线线垂直：l ⊥ m a ⊥ b a·b=0; 线面垂直：l ⊥ α a ∥ u a=ku; 面面垂直：α ⊥ β u ⊥ v u·v=0.
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即 a2 3x2 2(3x2 cos )
x
1 a
3 6 cos
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提
示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）
分析：面面距离 点面距离 向量的模
D1
回归图形
A1
解：过 A1点作 A1H 平面 AC 于点 H .
进行向量运算
D1 C1
2
AC1

( AB

AD

AA1 )2
A1
2
2
2
B1
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60) D
6
所以
| AC1 | 6
回到图形问题
于是，得 2CA DB a2 b2 c2 d 2
设向量 CA 与 DB 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。 因此 2abcos a2 b2 c2 d 2 .
所以 cos a2 b2 c2 d 2 .
2ab
回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为 a2 b2 c2 d 2 .
A 图1
C
B
这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6 倍。
思考：
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
分析: BD1 BA BC BB1
其中ABC ABB1 120，B1BC 60
（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，
D1 A1
并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等
化为向量问题
根据向量的加法法则 AB AC CD DB
进行向量运算
d2

2
AB

( AC

CD

DB)2

B
C D
A
图3
2
2
2
AB CD BD 2( AC CD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2 AC DB
a2 c2 b2 2CA DB
2ab
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B 处。从A，B到直线 l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
O
D C
E A
B 图2
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B 处。从A，B到直线 l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
解：如图，AC a，BD b，CD c，AB d.
则 A1H 为所求相对两个面之间的距离.
HD A
C1
B1 C B
由A1 AB A1 AD BAD 且 AB AD AA1 H 在 AC上.
2
AC

( AB

BC )2

1
1
2 cos 60

3
AC 3
AA1 AC AA1 (AB BC) AA1 AB AA1 BC cos60 cos60 1.
法向量. l
给定一个点A和一个 向量a,过点A，以向 a 量a为法向量的平 面是完全确定的。
方法指导：
怎样求平面法向量？
一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而 就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题。推 导平面法向量的方法如下：
设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β 的法向量分别为u,v,则
（回到图形问题）
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，
以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹
角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角
线的长与棱长有什么关系？
解：如图1，设 AB AA1 AD 1，BAD BAA1 DAA1 60
化为向量问题
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1

cosA1 AC

|
AA1 AA1 |

AC | AC
|

1 3
6 A1H AA1 sinA1 AC 3
6 sinA1 AC 3
∴
所求的距离是
6。 3
练习:
如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E 分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长。
3.2 立体几何中的向量方法（一）
思考1： 如何确定一个点在空间的位置？
答：空间中任意一个P的位置可以用向量OP 来表示。
向量OP称为点P的位置向量。
思考2： 在空间中给一个定点A和一个定方向（向量）， 能确定一条直线在空间的位置吗？
答：空间中任意一条直线l的位置可以由l上 一个定点A以及一个定方向（向量）确定。
D
于 , 那 么有这个四棱柱的对角线的长可以 A
确定棱长吗?
C1
B1 C B
分析: 设 AC1 a，AB AD AA1 x，BAD BAA1 DAA1
则由AC1 AB AD AA1
2
2
2
2
AC1 AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )