人教高中数学等差数列PPT教学课件
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等差数列的前n项和ppt课件
工教作学回 背景顾 教法分析 学法分析 教学程序 板书设计 教学效果
一、知识层面
二、能力层面
1、学生已经学习了 1、已经具备一定的观 等差数列的通项公式 察猜想，归纳类比能 及性质，具备了研究 力； 本节内容的知识基础； 2、已经具备了一定的 2、第一次正式接触 逻辑推理能力； 数列求和，缺乏学习 经验；
三、情感层面
1、学习兴趣较高， 但主动探索的难度 较大，需要教师合 适的启发和引导；
1.3 教学目标
工教作学回 背景顾 教法分析 学法分析 教学程序 板书设计 教学效果
知识目标 能力目标 情感目标
掌握等差数列的前n项和公式； 会根据简单的等差数列条件求其前n项和； 能用公式解决简单的实际问题；
感受从特殊到一般再到特殊以及数形结合的研究及学习方法； 培养学生观察猜想归纳类比的数学思维能力； 提升学生在逻辑推理、数学建模等方面的核心素养；
（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（50+51）=101×50=5050.
4.3 新课探索
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那你能用他的方法求一下1+2+3+……+n等于多少吗？ 分类讨论
n为偶数，1 2 n (1 n) n ; 2
n为奇数，1 2 n (1 n 1) n 1 n n(n 1) ;
an )
na1
n(n 1) 2
d
例2
↓
堂 练 习 题
教学程序
知三求二（方
程思想）
例3
板书设计
教学效果
教学效果
6.1 教学反思及教学效果
高中数学人教A版必修5《等差数列》PPT课件
本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)
等差数列课件ppt课件
等差数列课件 ppt
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
人教高中数学必修五 第二章 2.2 等差数列求和公式(共55张PPT)
或
跟踪练习
1. 在等差数列{an}中； (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17.
解
5×4 S5＝5a1＋ d＝5， 2 (1) a6＝a1＋5d＝10，
解得 a1＝－5，d＝3. ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16. 10×9 S10＝10a1＋ d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. 2 17×a1＋a17 17×a3＋a15 17×40 (2)S17＝ ＝ ＝ ＝340. 2 2 2
又当 n＝1 时，a1＝21 1＝1≠5，
－
5 ∴an＝ n－1 2
n＝1， n≥2.
(2)法一
an＋12 (消 Sn)；由 Sn＝ (n∈N*)，得 4an＋1＝4(Sn＋ 4
2
1－Sn)＝(an＋1＋1)
－(an＋1)2
化简得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0， 因为an＞0，∴an＋1－an＝2， 又4S1＝4a1＝(a1＋1)2得a1＝1， 故{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1.
法二
(消 an)：由上可知
2 Sn＝an＋1，∴2 Sn＝Sn－Sn－1＋1(n≥2)， 化简可得( Sn－1)2＝Sn－1， ( Sn＋ Sn－1－1)( Sn－ Sn－1－1)＝0， 又 S1＝1，{an}的各项都为正数， 所以 Sn－ Sn－1＝1. 所以 Sn＝n，从而 Sn＝n2， 所以 an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，a1＝1 也适合，故 an ＝2n－1.
4S n 4S1 4S 2 ... Sn 3． 已知数列{an}中， a1＝2，a1 2 a2 2 an 2
,
求 an.
新课标人教A版高中数学必修五第二章第二节《等差数列》课件
叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差
通常用字母 d 表示。
定义的符号表示是：an - an-1=d(n≥2,n∈N)
判断下列数列是否为等差数列？若是，则公差是多少？若不是，
说明理由？
(1). 6，4，2，0,-2,-4…
(2). a，a，a，a，…
(3). 0，1，0，1，…
(4). 1，2，3，4，…
则an pn q.
结论: 等差数列的通项公式是关于n的一次形式，
反之亦成立。
1. 在直角坐标系中，画出通项公式为an ＝
2n-1 的数列的图像，这个图像有什么特点？
2. 在同一坐标系中，画出y=2x-1的图像，
你发现了什么？据此说一说等差数列 =
+ 的图象与一次函数y = x + b 的 图 象
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
……
由此得到
an=a1+（n-1）d , n∈N+,
例1 等差数列{an}中
①已知a1 =2，d=3，n=10，求 an
②已知d = - 0.5，a7 =8，求 a1
③已知a1 = 12，a6 = 27，求 d
④已知a1 = 3，an = 21，d = 2，求n
作
业
必做：同步练习册 基础巩固
选做：同步练习册 能力提升
第二章 数列
2.2 等差数列
• 学习目标：
• 1、掌握等差数列的概念
• 2、理解等差数列通项公式的推导过程，能运用通项公式
解 决 一些简单的问题。
• 3、了解等差数列的函数特征
等差数列的定义
视察下面数列，思考这些数列有什么共同特点？
通常用字母 d 表示。
定义的符号表示是：an - an-1=d(n≥2,n∈N)
判断下列数列是否为等差数列？若是，则公差是多少？若不是，
说明理由？
(1). 6，4，2，0,-2,-4…
(2). a，a，a，a，…
(3). 0，1，0，1，…
(4). 1，2，3，4，…
则an pn q.
结论: 等差数列的通项公式是关于n的一次形式，
反之亦成立。
1. 在直角坐标系中，画出通项公式为an ＝
2n-1 的数列的图像，这个图像有什么特点？
2. 在同一坐标系中，画出y=2x-1的图像，
你发现了什么？据此说一说等差数列 =
+ 的图象与一次函数y = x + b 的 图 象
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
……
由此得到
an=a1+（n-1）d , n∈N+,
例1 等差数列{an}中
①已知a1 =2，d=3，n=10，求 an
②已知d = - 0.5，a7 =8，求 a1
③已知a1 = 12，a6 = 27，求 d
④已知a1 = 3，an = 21，d = 2，求n
作
业
必做：同步练习册 基础巩固
选做：同步练习册 能力提升
第二章 数列
2.2 等差数列
• 学习目标：
• 1、掌握等差数列的概念
• 2、理解等差数列通项公式的推导过程，能运用通项公式
解 决 一些简单的问题。
• 3、了解等差数列的函数特征
等差数列的定义
视察下面数列，思考这些数列有什么共同特点？
人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
证明．在求{an}通项公式时，要用到{an－2}是等差数列，先求 1
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列． 如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差 中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数 列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求 解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列． 如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差 中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数 列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求 解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
高中数学等差数列ppt课件
人教版·数学·必修5·第二章《数列》
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列： 按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质： 数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的 关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等 差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想 在今后的数列 求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是 一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的 前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等 差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不 是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十 分重要。
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列： 按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质： 数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的 关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等 差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想 在今后的数列 求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是 一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的 前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等 差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不 是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十 分重要。
高中数学选择性必修二(人教版)《4.2.1 等差数列的概念及通项公式》课件
解：法一：∵a5＝10，a12＝31， ∴aa11＋ ＋411dd＝＝1301，， ∴ad1＝＝3－，2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－5，∴a20＝3×20－5＝55. 法二：∵a12＝a5＋7d，即 31＝10＋7d，∴d＝3， ∴an＝a12＋(n－12)d＝3n－5， ∴a20＝a12＋8d＝31＋8×3＝55.
an＝_a_1＋__(_n_－__1_)_d__
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)等差数列{an}的单调性与公差 d 有关．
()
(2)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项． ( )
答案：(1)，首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an 等于
∵cos 1－cos 0≠cos 2－cos 1，∴该数列不是等差数列．C.∵(3m＋a)
－3m＝(3m＋2a)－(3m＋a)＝(3m＋3a)－(3m＋2a)＝a，∴该数列是等
差数列．D.∵(a＋1)－(a－1)＝(a＋3)－(a＋1)＝2，∴该数列是等差
数列． 答案：ACD
3. 已知 2m 与 n 的等差中项为 5，m 与 2n 的等差中项为 4，则 m 与 n
解：(1)依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以 d＝3. (2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2) ＝10d＋122＋34(d≠0)， 当 d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈125，＋∞. (3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中 a1，a2，…，a10 是首项为 1， 公差为 1 的等差数列，当 n≥1 时，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差 为 dn 的等差数列．
2．[等差数列的函数特性]已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试 判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解：设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， 由已知aa11＋ ＋1651－ －11dd＝ ＝3231， 7， 解得ad1＝＝4－. 23， 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N *，所以 153 是所给数
an＝_a_1＋__(_n_－__1_)_d__
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)等差数列{an}的单调性与公差 d 有关．
()
(2)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项． ( )
答案：(1)，首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an 等于
∵cos 1－cos 0≠cos 2－cos 1，∴该数列不是等差数列．C.∵(3m＋a)
－3m＝(3m＋2a)－(3m＋a)＝(3m＋3a)－(3m＋2a)＝a，∴该数列是等
差数列．D.∵(a＋1)－(a－1)＝(a＋3)－(a＋1)＝2，∴该数列是等差
数列． 答案：ACD
3. 已知 2m 与 n 的等差中项为 5，m 与 2n 的等差中项为 4，则 m 与 n
解：(1)依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以 d＝3. (2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2) ＝10d＋122＋34(d≠0)， 当 d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈125，＋∞. (3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中 a1，a2，…，a10 是首项为 1， 公差为 1 的等差数列，当 n≥1 时，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差 为 dn 的等差数列．
2．[等差数列的函数特性]已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试 判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解：设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， 由已知aa11＋ ＋1651－ －11dd＝ ＝3231， 7， 解得ad1＝＝4－. 23， 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N *，所以 153 是所给数
4.2.1等差数列的概念PPT课件(人教版)
an a1 (n 1)d
结论：等差数列的通项公式的一般情势：an＝am＋(n－m)d
练习
求下列等差数列的通项公式
（1）9,18,27,36,45,54,63,72...
(1)an=9+(n－1)×9=9n
（2）38,40,42,44,46,48...
(2)an=38+(n－1)×2=2n+36
ab
叫做a与b的等差中项。即 A
2
这个式子叫做这个数列的递推公式.
引入
请看下面几个问题中的数列.
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，
环绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依
次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81.①
2.S,M,L,XL,XXL,L型号的女装上衣对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48.②
求an 的公差和首项；(2)求等差数列 8,5, 2, 的第20项.
解: (1)当n 2时,由an 5 2n, 得
an1 5 2(n 1) 7 2n.
于是, d an an1 (5 2n) (7 2n) 2.
当n 1时, a1 5 2 3.
练习
判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差
(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
×
(2) 3，3，3，3，3，3
a1=3,公差 d=0 常数列
(3) 3x，6x，9x，12x，15x
a1=3x 公差 d= 3x
(4)95，82，69，56，43，30
a1=95 公差 d=－3
人教版高中数学选择性必修第二册4.2.1等差数列的性质及应用 第2课时【课件】
理由.
分析：
（1）{ }是一个确定的数列，只要把 ， 表示为{ }中的项，就可以
利用等差数列的定义得出{ }的通项公式；
（2）设{ }中的第n项是{ }中的第 项，根据条件可以求出n与 的
关系式，由此即可判断 是否为 { }的项.
合作探究
解： （1）设数列{ }的公差为′ .
这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{ }，
则 = − .
令 − = ， 解得 =
所以， 是数列 { }的第8项.
合作探究
思考：
如果插入的是 ( ∈ ∗ )个数，那么 的公差是多少？
提示：
设数列 { } 的公差为 ′ .
由题意可知， = ，+ = ，
① 特别地，当 + = (, , ∈ ∗ ) 时， + =
② 对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，
即 + = + − = ⋯ = + −+ = ⋯ .
(3)若{ }是公差为d的等差数列，则
① { + } (c为任意常数) 是公差为d的等差数列
因为购进设备的价值为220万元，所以 = − ，
于是
= + − − = − .
根据题意，得
≥
ቊ
<
解这个不等式组，得
即
< ≤ .
所以，d 的取值范围为 < ≤ .
− ≥
分析： 只要根据等差数列的定义写出 ， ， ， ，再利用已知条件即可得证.
证明： 设数列{ }的公差为d ，则
所以
= + ( − )，
分析：
（1）{ }是一个确定的数列，只要把 ， 表示为{ }中的项，就可以
利用等差数列的定义得出{ }的通项公式；
（2）设{ }中的第n项是{ }中的第 项，根据条件可以求出n与 的
关系式，由此即可判断 是否为 { }的项.
合作探究
解： （1）设数列{ }的公差为′ .
这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{ }，
则 = − .
令 − = ， 解得 =
所以， 是数列 { }的第8项.
合作探究
思考：
如果插入的是 ( ∈ ∗ )个数，那么 的公差是多少？
提示：
设数列 { } 的公差为 ′ .
由题意可知， = ，+ = ，
① 特别地，当 + = (, , ∈ ∗ ) 时， + =
② 对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，
即 + = + − = ⋯ = + −+ = ⋯ .
(3)若{ }是公差为d的等差数列，则
① { + } (c为任意常数) 是公差为d的等差数列
因为购进设备的价值为220万元，所以 = − ，
于是
= + − − = − .
根据题意，得
≥
ቊ
<
解这个不等式组，得
即
< ≤ .
所以，d 的取值范围为 < ≤ .
− ≥
分析： 只要根据等差数列的定义写出 ， ， ， ，再利用已知条件即可得证.
证明： 设数列{ }的公差为d ，则
所以
= + ( − )，
人教版A版高中数学必修5：等差数列_课件26
等差数列
1
1.等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一
个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数 列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1an=d(n∈N*).
2
(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am
、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果aa,A,bb成等差数
10n n2 n2 10n
50
(n≤5), (n 5).
38
错源二
忽略为零的项
【典例2】在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,且 S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.
39
[错解]设公差为d,由S10 S15, 得
10a1
10 9 2
A.5
B.-5
C.1
D.-1
解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…
由此可得a1000=-1.
15
解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得 an+3=-an,an+6=an,
通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.
18
【典例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且 p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列. [解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使
1
1.等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一
个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数 列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1an=d(n∈N*).
2
(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am
、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果aa,A,bb成等差数
10n n2 n2 10n
50
(n≤5), (n 5).
38
错源二
忽略为零的项
【典例2】在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,且 S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.
39
[错解]设公差为d,由S10 S15, 得
10a1
10 9 2
A.5
B.-5
C.1
D.-1
解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…
由此可得a1000=-1.
15
解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得 an+3=-an,an+6=an,
通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.
18
【典例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且 p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列. [解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使
4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式课件ppt
变式训练 3已知数列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).
(1)判断数列{an}是不是等差数列,并说明理由;
(2)求{an}的通项公式.
解 (1)当n≥3时,an=an-1+2,即an-an-1=2,
而a2-a1=0不满足an-an-1=2,
∴{an}不是等差数列.
(2)由(1)得,当n≥2时,an是等差数列,公差为2,
是首项为2,公差为2的等差数列,
1
1
(n-1)=2n,故
2
1
2
2
an= .
a1=2,
素养形成
构造等差数列解题
中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
微练习
(1)等差数列{an}:5,0,-5,-10,…的通项公式是
.
(2)若等差数列{an}的通项公式是an=4n-1,则其公差d=
答案 (1)an=10-5n (2)4
解析 (1)易知首项a1=5,公差d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n.
微练习
判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d.
①1,3,5,7,9,…;
②9,6,3,0,-3,…;
③1,3,4,5,6,…;
④7,7,7,7,7,…;
1 1 1 1
⑤1, , , , ,….
2 3 4 5
解 ①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是.
2
2
1
a=2,
所以这个等差数列的每一项均为 1.故选 B.
(2)因为 a,b,c 成等差数列, , , 也成等差数列,
2 = + ,
4.2.1等差数列的概念(教学课件)-高中数学人教A版选择性必修第二册
答案： 4
解析：设等差数列an 的公差为 d，且 d 为整数，
由题意得 a6 a1 5d 0 ， a7 a1 6d 0 ，
所以 23 5d 0 ，且 23 6d 0 ，解得 23 d 23 ，
5
6
又 d 为整数，则公差 d 4 .
根据题意得
aa1101
11 11 ，即
220 220
10d 11d
11 11
，
解这个不等式组，得19 d 20.9 .
所以，d 的取值范围为19 d 20.9 .
例 4 已知等差数列{an} 的首项 a1 2 ，公差 d 8 ，在{an} 中每相邻两项 之间都插入 3 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn} . （1）求数列{bn} 的通项公式. （2） b29 是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是，说明理由.
答案：
an
3n 4
7 4
n
N
解析：设数列an 的公差为 d，由 a5 4a3 ，得 a1 4d 4a1 2d ，
又 a1
1 ，所以 d
3 4
，所以 an
1
(n
1)
3 4
3 4
n
7 4
n
N
.
12.一个首项为 23，公差为整数的等差数列，若前 6 项均为正数，第 7 项起 为负数，则它的公差为_________________.
10.等差数列an 中， a1 1 ， a9 21，则 a3 与 a7 等差中项的值为________.
答案：11
解析：根据题意，等差数列an 中， a1 1 ， a9 21 ，
则有 a1 a9 a3 a7 1 21 22 ，
人教A版高中数学选择性必修第二册第四章4-2-1第1课时等差数列的概念及通项公式课件
应用迁移
1．等差数列{an}中，a1＝2，a3＝8，则公差d＝(2
C．－4
D．－3
3
B [∵等差数列{an}中，a1＝2，a3＝8，
4
∴a3＝a1＋2d＝8，∴d＝3.故选B.]
题号
1
√
2
3
D [由2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，
4
得2×(2a＋1)＝a－1＋4a－2，解得a＝5.故选D.]
【链接·教材例题】 例2 －401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是 第几项？ 分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401 是否能使这个方程有正整数解．
[解] 由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为 an＝－5－4(n－1)＝－4n－1. 令－4n－1＝－401， 解这个关于n的方程，得 n＝100. 所以，－401是这个数列的项，是第100项．
[解] (1)当n≥2时，由{an}的通项公式an＝5－2n，可得 an－1＝5－2(n－1)＝7－2n. 于是
d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2. 把n＝1代入通项公式an＝5－2n，得 a1＝5－2×1＝3. 所以，{an}的公差为－2，首项为3.
(2)由已知条件，得 d＝5－8＝－3. 把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得 an＝8－3(n－1)＝11－3n. 把n＝20代入上式，得 a20＝11－3×20＝－49. 所以，这个数列的第20项是－49.
[提示] 以(1)为例，2 029－2 017＝12，2 041－2 029＝12，2 053－ 2 041＝12，2 065－2 053＝12，2 077－2 065＝12，…，后项与前项 的差为同一个常数，这个规律也适用于(2)(3)．
人教版高中数学必修五课件：2.2.1等差数列
解：1a1 8, d 5 8 3, n 20
a20 8 2013 49
2由a1 5, d 9 5 4
得到这个数列的通项公式为 an 4n 1
由题意知，问是否存在正整数n，使得
401 4n 1
解关于n 的方程，n 100
即－401是这个数列的第100项。
例2 在等差数列an中ຫໍສະໝຸດ 已知a5 10, a12 31,引例三
匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）
鞋号34、 34.5、35、 35.5、36、 36.5、37··· 形成的数列： 34，34.5，35， 35.5，36， 36.5，37···
视察归纳 高斯计算的数列： 1，2，3，4， … ，100 姚明罚球个数的数列： 6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000 鞋子码数： 34，34.5，35，35.5，36，36.5···
1+2+3+···+100=?
高斯
(1777—1855）
德国著名数学家
得到数列 1，2，3，4， … ，100
引例二
姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：
第一天：6000， 第二天：6500， 第三天：7000， 第四天：7500， 第五天：8000， 第六天：8500， 第七天：9000.
得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000
(1)1,2,3,…,100； 公差d 1
(2)6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000 (3)34,34.5,35,35.5,36,36.5,37···
公差d=500
1
公差d= 2
在等差数列a,A,b中,A与a,b有什么关系？
a20 8 2013 49
2由a1 5, d 9 5 4
得到这个数列的通项公式为 an 4n 1
由题意知，问是否存在正整数n，使得
401 4n 1
解关于n 的方程，n 100
即－401是这个数列的第100项。
例2 在等差数列an中ຫໍສະໝຸດ 已知a5 10, a12 31,引例三
匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）
鞋号34、 34.5、35、 35.5、36、 36.5、37··· 形成的数列： 34，34.5，35， 35.5，36， 36.5，37···
视察归纳 高斯计算的数列： 1，2，3，4， … ，100 姚明罚球个数的数列： 6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000 鞋子码数： 34，34.5，35，35.5，36，36.5···
1+2+3+···+100=?
高斯
(1777—1855）
德国著名数学家
得到数列 1，2，3，4， … ，100
引例二
姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：
第一天：6000， 第二天：6500， 第三天：7000， 第四天：7500， 第五天：8000， 第六天：8500， 第七天：9000.
得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000
(1)1,2,3,…,100； 公差d 1
(2)6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000 (3)34,34.5,35,35.5,36,36.5,37···
公差d=500
1
公差d= 2
在等差数列a,A,b中,A与a,b有什么关系？
高中数学人教A版必修5第二章2.3等差数列的前n项和课件
相加 法
50+ 51=101
思
学导结合
考？高斯解决该问题的奇妙之
处在哪儿？
不同数的求和问题
首
配对
尾
相同数的求和问题
加法问题
转化
乘法运算
学导结合 问题2：1+2+3+…+（n-1）+n=?
记:S= 1 + 2 + 3 +… + (n-1) + n S= n + (n-1) + (n-2) +… + 2 + 1
殊
到
一
般 Sn 1 2 3 n
Sn a1 a2 a3 an
课题：等差数列的前n项和 难点名称：倒序相加法
设计情景，导入新课
泰姬陵,建于 十七世纪，是 印度知名度最 高的古迹之一， 世界文化遗产， 被评选为"世 界新七大奇迹 "。
传说陵寝中有一个三角形图案，是以 相同大小的圆宝石镶饰而成，共有 100 层 ， 你 知 道 这 个 图 案 一 共 花 了 多 少颗宝石吗？
问题1 : 1+2+3+4+…+98+99+100=？
设计情景，导入新课
你
想知道他的故事 吗？
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100
个数可以分为50组：
首尾
第一个数与最后一个数一组；
中间的一 组数是什
配对 第二个数与倒数第二个数一组；么呢？
选用 公式
Sn＝na12＋an
Sn＝na1＋nn2－1d
结论：知 三 求 二
高中数学人教版必修课件：等差数列
（1）1，3，5，7，… 是 a1=1,d=2
（2）9，6，3，0，-3… 是 a1=9,d=-3 （3）-8，-6，-4，-2，0，… 是 a1=-8,d=2
（4）3，3，3，3，…
Hale Waihona Puke 是 a1=3,d=0小列结，：主判要断是一由个定不数义是列进是行不 判是 断等 ：差数
（6）15，12，10，an8+1，-a6n是，不…是同一不个是常数？ 高中数学人教版必修5课件：2.2-等差 数列( 共23张P PT)
如果等差数列 的首项是 ，公差是 ，那么根 据等差数列的定义可以得到以下结论：
数列 为等差数列
高中数学人教版必修5课件：2.2-等差 数列( 共23张P PT)
练 高中数学人教版必修5课件：2.2-等差数列(共23张PPT)
习
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？ 如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理 由。
二、新课讲解 高中数学人教版必修5课件：2.2-等差数列(共23张PPT)
1、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差
等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个 常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 （1）指出定义中的关键词：
从第2项起 每一项与其前一项的差 等于同一个常数
48，53，58，63.
3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好 的生活环境，用定期放水清库的办法清理 水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为 18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低 降至5m。那么从开始放水算起，到可以进 行清理工作的那天，水库每天的水位组成 数列（单位：m）：
18，15.5，13，10.5，8，5.5.
判断题 (1)数列a，2a，3a，4a，…是等差数列; (2)数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列; (3)若an－an+1=3 (n∈N*)，则{an}是公差为3的等差数列; (4)若a2－a1=a3－a2, 则数列｛an｝是等差数列。
（2）9，6，3，0，-3… 是 a1=9,d=-3 （3）-8，-6，-4，-2，0，… 是 a1=-8,d=2
（4）3，3，3，3，…
Hale Waihona Puke 是 a1=3,d=0小列结，：主判要断是一由个定不数义是列进是行不 判是 断等 ：差数
（6）15，12，10，an8+1，-a6n是，不…是同一不个是常数？ 高中数学人教版必修5课件：2.2-等差 数列( 共23张P PT)
如果等差数列 的首项是 ，公差是 ，那么根 据等差数列的定义可以得到以下结论：
数列 为等差数列
高中数学人教版必修5课件：2.2-等差 数列( 共23张P PT)
练 高中数学人教版必修5课件：2.2-等差数列(共23张PPT)
习
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？ 如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理 由。
二、新课讲解 高中数学人教版必修5课件：2.2-等差数列(共23张PPT)
1、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差
等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个 常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 （1）指出定义中的关键词：
从第2项起 每一项与其前一项的差 等于同一个常数
48，53，58，63.
3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好 的生活环境，用定期放水清库的办法清理 水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为 18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低 降至5m。那么从开始放水算起，到可以进 行清理工作的那天，水库每天的水位组成 数列（单位：m）：
18，15.5，13，10.5，8，5.5.
判断题 (1)数列a，2a，3a，4a，…是等差数列; (2)数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列; (3)若an－an+1=3 (n∈N*)，则{an}是公差为3的等差数列; (4)若a2－a1=a3－a2, 则数列｛an｝是等差数列。
人教版高中数学必修5《等差数列的前n项和》PPT课件
例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20 项的和是1220，求该数列前30项的和。
解：设该等差数列的前n项和Sn An2 Bn,则
S10 100A 10B 310
S20
400 A
20B
1220
解得A 3, B 1
Sn 3n2 n S30 3 900 30 2730
解：依题意知，S10=310，S20=1220
将它们代入公式
Sn
na1
n(n 1) d 2
得 10a1+45d=310
思考：对于等差数
20a1+190d=1220 列的相关a1,an,d,n,Sn,
解得 a1=4，d=6
已知几个量就可
以确定其他量？
an 4 6(n 1) 6n 2
Sn
分析：∵Sn=a1+a2+…+an， Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2)
∴an=Sn-Sn-1 (n≥2) 特别地，当n=1时，a1=S1
，求该数列
例3、已知数列{an}的前n项和为
，求该数列
的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项
和公差分别是什么？
解：当n≥2时，
①
当n=1时， ∵a1也满足①式 ∴数列{an}的通项公式为 这是首项为 ，公差为2的等差数列
一般地，若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n ，…
也为等差数列。
3、数列{an}是等差数列
练习：在等差数列{an}中，若a2=-18，a4=-10，则该数列 的前n项和Sn何时取得最小值，最小值是多少？
解：∵ a2=-18，a4=-10
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当 a1>0，d<0 时，满足aann≥＋1≤0，0 的项数 n，使 Sn 取最大值. 当 a1<0，d>0 时，满足aann≤＋1≥0，0 的项数 n，使 Sn 取最小值，注意两个不 等式都有等号.
人 教 高 中 数 学等差 数列PP T教学课 件
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公差为 k 2d
例1： 等差数列{an}的前m项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m项的和为（ ）
210
练习： 在等差数列{an}中， 1. 若d 3 ,则 S4, S8 S4, S12 S8的公差为___4_8__. 2. 若d 2 ,则 S3, S6 S3, S9 S6 的公差为__1_8___. 3. 若an 5n 3 ,则 S10 , S20 S10 , S30 S20 的公差为
D.1
（3）设{an}为等差数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，
1
已知 S7＝7，S15＝75，数列{Snn}的公差=___2____.
(4) 等差数列{an} 前n项和Sn＝an2＋(a＋1)n＋a
＋2，则an的公差d＝ -4
.
性质2：若数列{an}是等差数列，公差为d,那么数列 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k , …仍然成等差数列
练习： 3. 已知等差数列共10项，其中奇数之和为15，
3
偶数项的和为30，则公差d=____2____.
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求等差数列的前n项和的最值常用两种方法
(1)等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn，通过配方或根据二次函 数求最值的方法求得.但要注意n为正整数. (2)在等差数列中有关Sn的最值问题除了借助二次函数图象求解， 还常用邻项变量法来求解.
a1
d 2
）
sn （2） n
a1
d 2
(n
1),
这说明
sn n
练习:
（1）等差数列{an}的前n项和Sn=-3n2+17n+p
(p为常数),则p= 0
.
（2）已知数列{an}为等差数列，它的前n项和
为 Sn ， 若 Sn ＝ (n ＋ 1)2 ＋ λ ， 则 λ 的 值 是
(B )
A.－2 B.－1 C.0
___5_0_0__. 4. 若an 2n 6 ,则Sm , S2m Sm , S3m S2m 的公差
为_____.-2m2
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练习： 在等差数列{an}中，
1. 若 S2 3, S4 7, 则S6 ___1_2__. 2. 若S5 12, S10 15, 则 S15 __9_____. 3. 若S20 46, S40 87, 则S60 __1_2_3___. 4. 若S7m 25, S14m 40, 则S21m ___4_5___. 5. 若 S4 5, S8 8, 则S16 ___8____. 6. 若S12 4, S24 10, 则S48 ___2_8___.
0
n n
4 3
所以n=3或n=4时，Sn 有最大值，最大值为-12.
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1.中 美 贸 易 摩 擦已 升级为 舆论战 ，坚持 正确舆 论导向 、弘扬 爱国主 义精神 尤为重 要。 2.爱 国 主 义 精 神具 有深厚 的历史 性，极 强的传 承力、 感染力 ，以及 坚韧性 ，顽强 性和理 性。
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性质3： 设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为
Sn、Tn，则
an bn
S2n1 T2 n 1
.
练习：
1. 设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，
且
Sn Tn
2n
3n 1，则
3.爱 国 主 义 精 神， 是在中 国共产 党近百 年之奋 斗史中 不断形 成，积 聚与升 华而成 的。 4.面 对 史 上 规 模最 大的贸 易战， 中国政 府和人 民最重 要的是 “集中 力量做 好自己 的事” 5.美 方 发 起 贸 易战 ，进行 恫吓威 胁，不 会给中 国发展 带来困 难和影 响，只 会更加 激发中 国人民 的勇气 、士气 与硬气 。 6.不 能 把 质 朴 、理 性的爱 国主义 视为民 粹主义 、狭隘 民族主 义，同 时应防 止各种 形式的 民粹主 义和极 端民族 主义行 为。 7. 众 多 短 视 频 平台 成为人 们的消 遣神器 ，但如 果缺乏 内容创 新和内 涵续航 ，短视 频的发 展将不 容乐观 。 8. 在 这 个 浅 表 性阅 读时代 ，越是 具有艺 术美感 、内容 穿透力 和人文 内涵的 走心作 品越能 获得观 众的认 可。 9. 弊 端 重 重 的 人类 中心主 义亟须 克服自 身认识 的偏见 ，而中 华民族 的中道 智慧是 一个可 取的办 法。
a3 b3
5
____8_____.
2. 设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，
且Sn
Tn
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2n 5 5n 3
，则
a10 b10
33
____98_____.
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性质4: 在等差数列{an}中，记奇数项的和为S奇， 偶数项的和为S偶, 则有如下结论：
2.2.2 等差数列前n项和性质
复习回顾
等差数列前n项和公式
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
Sn
na1
n(n-1) 2
d=
d 2
n2
(a1-
d 2
)n
令
1 2
d
A, a1
d 2
B, 则sn
An2
Bn
性质1、(1) {an}为等差数列 Sn＝An2＋Bn
（其中
A
d 2
，B
练习： 1. 在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数
项的和为165，所有偶数项的和为150，则 n=___1_0____.
2. 设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为33，求这个数列的中间 项及项数。 11 4
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（1）当项数为2n时， （2）当项数为2n+1时，
1、 S2n n(an an1)
2、 S偶－S奇＝nd 求d或n
1、S2n1 (2n 1)an1 求中间项
2、 S奇－S偶＝an+1
3、
S偶 S奇
= an1 an
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3、 求n
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例3：设数列{ an}的前n项和为 Sn n2 7n ，
求
Sn最小值以及使
S
最小的n。
n
法一：解：Sn
n2
7n
nБайду номын сангаас
7 2
2
49 4
所以当n=3或4时，Sn 有最小值，最小值为 32 7 3 12
法二：由例2知，an 2n 8
a1 6, d 2
令
an 0 an1 0
2n 8 0 2(n 1) 8
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公差为 k 2d
例1： 等差数列{an}的前m项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m项的和为（ ）
210
练习： 在等差数列{an}中， 1. 若d 3 ,则 S4, S8 S4, S12 S8的公差为___4_8__. 2. 若d 2 ,则 S3, S6 S3, S9 S6 的公差为__1_8___. 3. 若an 5n 3 ,则 S10 , S20 S10 , S30 S20 的公差为
D.1
（3）设{an}为等差数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，
1
已知 S7＝7，S15＝75，数列{Snn}的公差=___2____.
(4) 等差数列{an} 前n项和Sn＝an2＋(a＋1)n＋a
＋2，则an的公差d＝ -4
.
性质2：若数列{an}是等差数列，公差为d,那么数列 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k , …仍然成等差数列
练习： 3. 已知等差数列共10项，其中奇数之和为15，
3
偶数项的和为30，则公差d=____2____.
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求等差数列的前n项和的最值常用两种方法
(1)等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn，通过配方或根据二次函 数求最值的方法求得.但要注意n为正整数. (2)在等差数列中有关Sn的最值问题除了借助二次函数图象求解， 还常用邻项变量法来求解.
a1
d 2
）
sn （2） n
a1
d 2
(n
1),
这说明
sn n
练习:
（1）等差数列{an}的前n项和Sn=-3n2+17n+p
(p为常数),则p= 0
.
（2）已知数列{an}为等差数列，它的前n项和
为 Sn ， 若 Sn ＝ (n ＋ 1)2 ＋ λ ， 则 λ 的 值 是
(B )
A.－2 B.－1 C.0
___5_0_0__. 4. 若an 2n 6 ,则Sm , S2m Sm , S3m S2m 的公差
为_____.-2m2
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练习： 在等差数列{an}中，
1. 若 S2 3, S4 7, 则S6 ___1_2__. 2. 若S5 12, S10 15, 则 S15 __9_____. 3. 若S20 46, S40 87, 则S60 __1_2_3___. 4. 若S7m 25, S14m 40, 则S21m ___4_5___. 5. 若 S4 5, S8 8, 则S16 ___8____. 6. 若S12 4, S24 10, 则S48 ___2_8___.
0
n n
4 3
所以n=3或n=4时，Sn 有最大值，最大值为-12.
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1.中 美 贸 易 摩 擦已 升级为 舆论战 ，坚持 正确舆 论导向 、弘扬 爱国主 义精神 尤为重 要。 2.爱 国 主 义 精 神具 有深厚 的历史 性，极 强的传 承力、 感染力 ，以及 坚韧性 ，顽强 性和理 性。
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性质3： 设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为
Sn、Tn，则
an bn
S2n1 T2 n 1
.
练习：
1. 设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，
且
Sn Tn
2n
3n 1，则
3.爱 国 主 义 精 神， 是在中 国共产 党近百 年之奋 斗史中 不断形 成，积 聚与升 华而成 的。 4.面 对 史 上 规 模最 大的贸 易战， 中国政 府和人 民最重 要的是 “集中 力量做 好自己 的事” 5.美 方 发 起 贸 易战 ，进行 恫吓威 胁，不 会给中 国发展 带来困 难和影 响，只 会更加 激发中 国人民 的勇气 、士气 与硬气 。 6.不 能 把 质 朴 、理 性的爱 国主义 视为民 粹主义 、狭隘 民族主 义，同 时应防 止各种 形式的 民粹主 义和极 端民族 主义行 为。 7. 众 多 短 视 频 平台 成为人 们的消 遣神器 ，但如 果缺乏 内容创 新和内 涵续航 ，短视 频的发 展将不 容乐观 。 8. 在 这 个 浅 表 性阅 读时代 ，越是 具有艺 术美感 、内容 穿透力 和人文 内涵的 走心作 品越能 获得观 众的认 可。 9. 弊 端 重 重 的 人类 中心主 义亟须 克服自 身认识 的偏见 ，而中 华民族 的中道 智慧是 一个可 取的办 法。
a3 b3
5
____8_____.
2. 设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，
且Sn
Tn
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2n 5 5n 3
，则
a10 b10
33
____98_____.
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性质4: 在等差数列{an}中，记奇数项的和为S奇， 偶数项的和为S偶, 则有如下结论：
2.2.2 等差数列前n项和性质
复习回顾
等差数列前n项和公式
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
Sn
na1
n(n-1) 2
d=
d 2
n2
(a1-
d 2
)n
令
1 2
d
A, a1
d 2
B, 则sn
An2
Bn
性质1、(1) {an}为等差数列 Sn＝An2＋Bn
（其中
A
d 2
，B
练习： 1. 在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数
项的和为165，所有偶数项的和为150，则 n=___1_0____.
2. 设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为33，求这个数列的中间 项及项数。 11 4
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（1）当项数为2n时， （2）当项数为2n+1时，
1、 S2n n(an an1)
2、 S偶－S奇＝nd 求d或n
1、S2n1 (2n 1)an1 求中间项
2、 S奇－S偶＝an+1
3、
S偶 S奇
= an1 an
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3、 求n
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例3：设数列{ an}的前n项和为 Sn n2 7n ，
求
Sn最小值以及使
S
最小的n。
n
法一：解：Sn
n2
7n
nБайду номын сангаас
7 2
2
49 4
所以当n=3或4时，Sn 有最小值，最小值为 32 7 3 12
法二：由例2知，an 2n 8
a1 6, d 2
令
an 0 an1 0
2n 8 0 2(n 1) 8