第五章 正弦交流电路中的电压、电流、相量法

.
i(t) Ii(t)
2
Im
.
I
wt
.
u(t) U u(t)
相量也可以用振幅值来定义。
2 ImU. wt
2. 相量图及参考相量
在复平面上可用一个矢量表示相量， 该矢量称正弦量的相量 图(也简称相量)， 其符号与相量相同， 如图5.6(a)所示。画几个同 频率正弦量的相量图时， 可选择某一相量作为参考相量先画出， 再根据其它正弦量与参考正弦量的相位差画出其它相量。 参考相 量的位置可根据需要， 任意选择。
5.11 双口网络
重点：
• 相位差 • 正弦量的相量表示 • 复阻抗复导纳 • 相量图 • 用相量法分析正弦稳态电路 • 正弦交流电路中的功率分析
5. 1 正弦量的基本概念
一. 正弦量的三要素：
i + u_
i(t)=Imsin(w t +y )
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值) Im
2 I e 2 I j 2 I j(wt )i
cos(wt i )
sin(wt i )
上式的虚部恰好是正弦电流i， 即
i I m
2 e 2 I m Ie e 2 I m I e j(wt)i
ji jwt
. jwt
上式中， Im［ ］是“取复数虚部”的意思， 而
.
I Ie j(wti ) I i
e jωt = /ωt 是一个旋转因子。 相量
..
2 I Im
乘以 /ωt
表示
相量 m以ω为角速度沿逆时针方向旋转， t=0时， 幅角位于φ i 处。
旋转相量在虚轴上的投影 I sin(ω2t+φi )为正弦量的瞬时值。
Im sinφ i 为i(t)的初始值， 如图4.6(b)所示。 所以， 也可以用旋转 相量表示正弦量。
. I2
(b)
图 5.8 两个相量加减的三 角形法则
t+
6
)
wt
i Im
0
t
0
t
0
6
6
i(t)=Imsin(w
t－
6
)
wt
t
(a)
(b)
(c)
图 5.2 计时起点的选择
当φ=0时， 正弦波的零点就是计时起点， 如图5.2(a)所示； 当 φ>0， 正弦波零点在计时起点之左， 其波形相对于 φ=0 的图 5.4例 5.1图 波形左移φ角， 如图5.2(b)所示； 当φ<0， 正弦波零点在计时起 点之右， 其波形相对于φ=0的波形右移|φ|角， 如图5.2(c)所示。
由此得出
有效值也称方均根值
(root-meen-square，
R
简记为 rms。)
W1
T i 2 (t )Rdt
0
W2=I 2RT
电压有效值
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
I 2 RT T i 2 (t )Rdt 0
I 1 T i 2 (t )dt
T0
2. 正弦电流、电压的有效值
注意:只适用正弦量
i(t ) Im sin(wt y ) 2I sin(wt y )
5 A，例试5求.4该一电个流正的弦有电效流值的。初相角为60°T4 ， 在 解 该正弦电流的解析式为
由已知得
i (t) I m sin(wt 600)
5
I
m
sin(wt
4
600)
或
5
I
m
sin(
2
3
(2) 角频率(angular frequency) w
w
d (wt
y
) dt
w 2 f 2 T
(3) 初相位(initial phase angle) y
单位： rad/s
(w t +y ) 相位 i(t) t0 Im siny
1. 交流量任一时刻的值称瞬时值。 瞬时值中的最大值(指绝对值)
以上确定φ角正负的零点均指离计时起点最近的那 个零点。 在图3.3中，确定φ角的零点是A点而不是B点， φ=―120 °而不是240°。
规定： | | (180°)
i
B
A
0
wt
′
图 5.3 初相的规定
例 5.1 给出正弦电压u ab 和正弦电流iab 的波形。由波形知uab
和iab 的最大值分别为300mV和5 mA， 频率 都为1 kHz
个周期T， 那么
w
2
T
2f
由式可见， 角频率是一个与频率成正比的常数。
i(t)
I m sin(2f
)
I
m
s
in(
2
T
t )
t=0时， 相位为φ， 称其为正弦量的初相。此时的瞬时值
i(0)=I m sinφ， 称为初始值。 如图5.2所示。
i
i
Im
i(t)=Imsinw t w t
Im
i(t)=Imsin(w
＋j
i
0
＋1
＋j
i
wt 1
wt 2
i
0
. 2I
＋1
0 w t1
i
w t2 wt
(a)
(b)
图 5.6 正弦量的相量图
3. 旋转因子及旋转相量
在复平面上可用一个矢量表示相量， 该矢量称正弦量的相 量图(也简称相量)， 其符号与相量相同， 如图5.6(a)所示。
画几个同频率正弦量的相量图时， 可选择某一相量作为参 考相量先画出， 再根据其它正弦量与参考正弦量的相位差画出其 它相量。 参考相量的位置可根据需要， 任意选择。
设 i(t)=Imsin(w t + y )
I
1 T
T 0
I
2 m
sin2
(
wt
y
)
dt
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
T sin2 ( wt y ) dt
T 1 cos 2(wt y ) 1
dt t
T 1T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
u1(t) U1m sin(wt 1) 2U1 sin(wt 1) u2(t) U2m sin(wt 1) 2U2 sin(wt 2 )
利用三角函数， 可以得出它们之和为同频率的正弦量， 即
u(t) u1(t) u2 (t) 2U sin(wt )
其中 U (U1 cos1 U2 cos2 )2 (U1 sin1 U2 sin2 )2
)
时电流的值为
则 对应的有效值
I
m
sin(5
6
)
I
m
5
sin(5
/
6)
5
12
10A
I
Im 2
10 2
7.07
A
5.2 正弦量的相量表示法
5.2.1正弦量的相量表示
1. 正弦量的向量表示
设某正弦电流为
i (t) 2 I sin(wt i )
2 I 根据欧拉公式可以把复指数
e j(wti )
展开成
arctan U1 sin U2 sin2 U1 cos1 U2 cos2
可以看出， 要求出同频率正弦量之和， 关键是求 出它的有效值和初相。
可以证明， 若u=u 1+u 2， 则有
.
.
.
U U1U2
. －I2
. I1
. I2
. I2
.. I1＋ I2
(a)
.. I1－I2
. I1
.. I1－I2
， 角频率为2000π rad/s ， 初相分别为 和， ，
6
3
(1) 写出uab 和iab 的解析式并求出它们在t=100 ms时的值。 (2) 写出iba 的解析式并求出t=100 ms时的值。
解 它们的解析式分别为：
uab 300 sin( 2000t 6
)mV
i, ( t ab
)
5 sin(
5
sin(2000
t
2
3
)mA
iba
(0.1)
5
sin(
2
3
) 4.33 mA
二、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umsin(w t+y u), i(t)=Imsin(w t+y i) 相位差 = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i >0， u 领先(超前)i ，或i 落后(滞后) u
i1(t) 14.1 sin(wt 1200 1800) 14.1 sin(wt 600) i2 (t) 7.05 sin(wt 600 900) 7.05 sin(wt 300)
则
φ1 600,φ 2 300 φ 12 φ 1 φ 2 600 300 300
例5.3 三个正弦电压uA(t)=311sin314tV， uB(t)=311 sin(314t+2π/3) V， uC(t)=311sin(314t―2π/3) V， 若以 uB 为参考正弦量， 写出三个正弦电压的解析式。
像这样一个能表示正弦量有效值及初相的复数 就叫做正弦量
的相量。 同样，正弦电压的相量为
.
相量是一个复数， 它表U 示 U一个u正弦量， 所以在符号字母上加
上一点， 以与一般复数相区别。 特别注意， 相量只能表征或代
表正弦量而并不等于正弦量。 二者不能用等号表示相等的关系，
只能用“ ”符号表示相对应的关系
第5章 正弦交流电路中的电压 电流 相量法
第5章 正弦交流电路中的电压、电流
相量法
5.1 正弦量的基本概念
5.2 正弦量的相量表示法
5.3 基尔霍夫定律的相量形式
5.4 电容元件和电感元件
5.5 三种元件伏安特性的相量形式
5.6 5.8 统一的伏安关系相量形式——阻抗和导纳
的引入
等效相量模型
5.7 5.10 一般正弦交流电路的计算（用相量法分 析正弦交 流电路）
<0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i
u, i u i
0
wt
yu yi
特殊相位关系：
= 0， 同相：
u, i
u
i
0
wt
= ( 180o ) ，反相：
u, i
i
u
0
wt
u, i u i
0
= 90°
u 领先 i 90°
或 i 落后 u 90°
wt
不说 u 落后 i 270°
或i 领先 u 270°
规定： | | (180°)
当两个同频率正弦量的计时起点改变 时， 它们之间的初相也随之改变， 但 二者的相位差却保持不变。
例 5.2 求两个正弦电流i 1(t)=―14.1 sin(ωt―120°)， i 2(t)=7.05 cos(ωt―60°)的相位差φ12 。
解 把i 1和i 2写成标准的解析式， 求出二者的初相， 再求出相位差。
2
3
)V
三. 有效值(effective value)
1. 定义
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
物理含义
i(t)
I
R
交流电的有效值是根据它的热 效应确定的。 如某一交流电流和一 直流电流分别通过同一电阻R, 在一 个周期T内所产生的热量相等， 那 么这个直流电流I的数值叫做交流 电流的有效值。
解 ω=2πf=2π×50=314 rad/s
.
U1
u 1=
2U 1 sin(ωt+φ 1 )=380
.
U 2
u 2=
2 U 2 sin(ωt+φ 2 )=220
s2in(314t+π/6) V
2sin(314t-π/3) V
5.2.2 两个同频率正弦量之和 1. 两个同频率正弦量的相量之和 设有两个同频率正弦量
例 5.5 已知正弦电压u1(t)=141 sin(ωt+π/3) V， u2(t)=70.5 sin(ωt-π/6) V， 写出u1和u2的相量， 并画出相量图。
u1
.
U1
141 2
100
3
V
3
u2
.
U2
70.5 2
50 6V 6源自. U136
＋1
. U2
例 5.6 已知两个频率均为50 Hz的正弦电压， 它们的相量 分别为 Ù1=380 /π/6 V, 2=220 /—π/3 V， 试求这两个电压的解 析式。
周期和频率互成倒数， 即 3. 相位、 角频率和初相
f
1 T
正弦量解析式中的ωt+φ称为相位角或电工角，简称相位或相 角。 正弦量在不同的瞬间，有着不同的相位，因而有着不同的状
态(包括瞬时值和变化趋势)。相位的单位一般为弧度(rad)。
相位角变化的速度
d(wt ) w
dt
称为角频率， 其单位为rad/s或1/s。 相位变化2πrad， 经历一
解 先求出三个正弦量的相位差， 由已知得
0 AB
( 2
3
) 2
3
( 2
BC
3
) 2
3
4
3
2
2
3
2
3 CA
0
2
3
以uB为参考正弦量， 它们的解析式为
uB ( t ) 311sin 314tV
uA( t
)
311sin( 314t
2
3
)V
uC ( t
)
311sin( 314t
称为正弦量的振幅值， 又称峰值。 Im、Um分别表示正弦电流、 电压 的振幅值。
i
i
Im
0 w
wt
t
2
T
图 5.1 正弦量的波形图
2.周期和频率
正弦量变化一周所需的时间称为周期。 通常用“T”表示，
单位为秒(s)。 实用单位有毫秒(ms)、 微秒(μs)、 纳秒(ns)。 正弦 量每秒钟变化的周数称为频率， 用“f”表示， 单位为赫兹(Hz)。
2000t
3
)mV
(1) t=100 ms时， u ab 、 i ab 分别为
u (0.1) ab
300sin(2000
0.1
6
) 300sin
6
150mV
u (0.1) ab
5sin(2000
0.1
3
)
5sin
3
4.33m
（2）
i (t) ba
i ab
5
sin(2000 t
3
)