第三章误差的合成与分配

2 x1
f x2
2
2 x2
f xn
2
2 xn
n
2
1i
j
f xi
f x j
ij xi xj
反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误 差的影响
当相关系数 ij ij00
yy
a122
Байду номын сангаас
xx1122aa2222
2 2
x 2x 2
an2anx2n2
2 xn
当相关系数ijij11 时
所以
f f f f 1 l1 l2 l3 l4
故，l的系统误差为
l
f l1
l1
f l2
l2
f l3
l3
f l4
l4
(0.7 0.5 0.3 0.1)m
0.4m
所以，量块组按基本尺寸使用的修正值是
l l0 l [54.225 (4104 )]mm 54.2254mm
极限误差
2.函数误差的计算 ——a.已定系统误差
结论：各个直接测量值的已定系统误差对函数总误 差的函数已定系统误差贡献是一种代数和的形式。
f
f
f
y x1 x1 x2 x2 xn xn
例用弓高弦长法间接测量大工件 直径。如图所示，车间工人用一 把卡尺量得弓高 h 50mm，弦 长l 500mm，工厂检验部门又用高 准确度等级的卡尺量得弓 高 h 50.1mm ，弦长 l 499mm试问车 间工人测量该工件直径的系统误 差，并求修正后的测量结果。
【解】
D2
( f l
)2 l 2
(
f h
)2
h
2
D l2 h 4h
52 0.012 242 0.0052 169104 mm
有 D 0.13mm
故修正后的测量结果 D D0 D 1292.6mm D 0.13mm
例2：相对测量时需用54.255mm的量块组作标准件，量块组 由4块量块研合而成，它们的基本尺寸为l1=40mm，l2=12mm, L3=1.25mm，l4=1.005mm。经测量，它们的尺寸偏差及其测量 极限误差分别为 l1 0.7m, l2 0.5m, l3 0.3m, l1 0.1m;
1
24
f l 500 5 l 2h 250
已知 h 5050.1 0.1mm l 500 499 1mm,代入则得
直径的系统误差 D f l f h 7.4mm
l h
故修正后的测量结果 D D0 D 1300 7.4 1292.6mm
2.函数误差的计算 ——b.随机误差
2.函数误差的计算 ——a.已定系统误差
间接测量的数学模型
y f (x1，x2 , xn )
直接测量值 间接测量值
若已知各个直接测量值的系统误差 x1, x2 , , xn 可近似得到函数的系统误差为：
y
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
其中：xfi (i 1,2, ,n) 为直接测量值的误差传递系数。
第三章 误差的合成与分配
第一节 函数误差 第二节 随机误差的合成 第三节 未定系统误差 和 随机误差的合成 第四节误差分配 第五节 最佳测量方案的确定
1. 基本概念
直接测量 直接得到被测量值的测量
间接测量 通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算 出被测量。
函数误差 间接测量误差是各个直接测量值误差的函数，这 种误差称为函数误差。
y a1 x1 a2 x2 an xn
函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系
相关系数的确定
1、直接判断法 可判断 ij 0的情形
▪ 断定xi 与 x j两分量之间没有相互依赖关系的影响
▪ 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正 负交替变化，反之亦然
▪ xxii与 xxj j属于完全不相干的两类体系分量，如人员
h
l D
O2
【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型
D l2 h 4h
不考虑测量值的系统误差，可求出在 l 500mm
处的直径测量值
D0
l2 4h
h
1300mm
h 50mm,
根据
y
f x1
x1
f x2
x2
... f xn
xn
l2 D h
4h
误差传递系数为：f
h
l2 4h2
1
5002 4 502
f
xi 第i个直接测得量 xi的误差传播系数
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
2
2
y
f
x1
2 x1
f x2
2 x2
令
f xi ai ,
则标准差
y
a12
2 x1
a22
2 x2
2
f xn
2 xn
an2 xn2
当各个测量值的随机误差都为正态分布时,标准差用 极限误差代替，可得函数的极限误差
操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量
▪xxii与 xx虽j j 相互有影响，但其影响甚微，视为可忽
略不计的弱相关
可判断 ij 1 或 ij 1的情形
lim xi 第i个直接测得量 xi 的极限误差
用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺
量得弓高 h 50mm，弦长 l 500mm，已知车间工人测量该工 件弓高的标准差 h 0.005mm ，弦长的标准差 l 0.01mm ， 试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。
liml
(
f l1
)2
2 lim
l1
( f l2
) 2 2 lim l2
(
f l3
)
2
2 lim
l3
( f l4
) 2 2 lim l4
0.352 0.252 0.22 0.22 m
0.5148m
2、 相关系数估计
相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式
2 y
f x1
2
liml1 0.35m,liml2 0.25m,liml3 0.20m,liml4 0.20m. 试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及其极限误差。
解：由题意得： l0=l1+l2+l3+l4
所以 l0=l1+l2+l3+l4=(40+12+1.25+1.005)mm=54.225mm
因为l=f(l1，l2，l3，l4 )
对n个变量各测量N次，其相应的随机误差为：
将右侧方程组中的每个方程两边平方, 可得
将方程组两边相加可得
将上式等号两边除以N, 根据
12
2 2
2 n
可得函数标准差
n
2
2
y2
f
x1
2 x1
f x2
2 x2
f xn
2
2 xn
n
2
1i
j
f xi
f x j
ij xi xj
xi第i个直接测得量 xi 的标准差 ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数