北京理工大学-数学分析-导数与微分-求导法则与求导基本公式2.1(本科课件)

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dy 证明： f (sin2 x )2 sin x cos x f (cos 2 x )2 cos x( sin x ) dx
2 sin x cos x[ f (sin2 x ) f (cos2 x )] 又因 u cos x 时，y f (1 u2 ) f (u2 )，
§2 求导法则和求导基本公式
四则运算
反函数求导
复合函数求导 高阶导数
一. 四则运算
定理 如果函数 u( x ), v ( x )在点 x处可导, 则它 们的和、差、积、商 (分母不为零 )在点 x处也 可导, 并且
(1) [u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x ); ( 2) [u( x ) v ( x )] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); u( x ) u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) ( 3) [ ] (v ( x ) 0). 2 v( x ) v ( x)
2. 复合函数的求导法则 （注意函数的复合过程,合理分解正确使用链 导法）; 已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常 数与基本初等函数的和、差、积、商.
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (sec x ) sec x tan x
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc x cot x
(e x ) e x 1 (ln x ) x
(a x ) a x ln a 1 (loga x ) x ln a
推论
(1) [ f i ( x )] f i( x );
i 1 i 1
n
n
( 2) [Cf ( x )] Cf ( x );
( 3) [ f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
i 1
n

( x) f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n f i( x ) f k ( x );

反函数求导 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
3.复合函数的求导法则
设y f ( u), 而u ( x )则复合函数 y f [ ( x )]的 dy dy du 导数为 或 y( x ) f ( u) ( x ). dx du dx
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决.
函数f ( x )的n阶导数, 记作
n n d y d f ( x) (n) (n) f ( x ), y , 或 . n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x )称为零阶导数 ; f ( x )称为一阶导数 .
2. 二阶导数的力学意义： 例
瞬时加速度。
1. y x ( 0)，求y ( n )； 2. y ln(1 x )，求y ；
2
x
3. 求y arctan ln( 2 x 3 1)的导数； 4. 求f ( x ) e ln( 2 x ) 1 3 x 在x 0 处的导数。
Hw：p96 2(1,3,6,7,9,10)，3(3),6(6,7,8)， 7(单),8(单),9,10(2),12(2,6,7, 8,9)。
推广 设 y f ( u), u (v ), v ( x ),
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
1 求证 x x ， 为实数，x 0； 例1
2 y 1 x ； 例2 2 y ln( x 1 x )； 例3 例4 y ln | x |；
(4) ( x )( n) ( 1)( n 1) x n
(e x ) ( n ) e x
(5) (ln x )
(n)
( 1)
n 1
( n 1)! xn
1 (n) n n! ( ) ( 1) n 1 x x
例
设 y sin6 x cos6 x, 求y ( n ) .
(n)
3. y e ax，求y ( n )； 4. y a x (a 0, a 1)，求y ( n )； 5. y sin x，求y 。
(n)
注意 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于 合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳 法证明)
3. 运算规则
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v )
( n)
u
( n)
v
( n)
(2) (Cu)( n) Cu( n)
( 3) ( u v )
(n)
u v nu
(n)
( n 1 )
n( n 1) ( n 2 ) v u v 2!
n( n 1) ( n k 1) ( n k ) ( k ) (n) u v uv k! C u
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y, 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , . 4 dx
d 2 y d 2 f ( x) . 记作 f ( x ), y , 2 或 2 dx dx
一般地, 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为
dy f (1 u2 )( 2u) f ( u2 )2u du
2u[ f (u2 ) f (1 u2 )]
2 cos x[ f (cos 2 x ) f (sin2 x )]
dy dy sin x 0 dx du
小 结
1. 反函数的求导法则（注意成立条件）;
定理 由函数 y f ( u) 与 u u( x ) 复合而成的函数 y f ( u( x ))。若 f ( u) 与 u( x ) 存在，则 y f ( u( x ) 在 x 可导，且 dy dy du . dx du dx
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
x
四. 高阶导数
1. 概念 问题:变速直线运动的加速度.
a( t ) v ( t ) [ f ( t )] .
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
Hw：p101 1(9,10,11,12),3,4(1),8(2,4),9(1,3).
例1
求函数 y arcsin x 的导数.
(arccos x ) 1 1 x
2
同理可得
.
1 (arctan x ) ; 2 x
例2
求函数 y log a x 的导数.
1 (ln x ) . x
三. 复合函数求导
k 0 k n n ( n k )
v
(k )
Leibniz莱布尼兹公式
例 1. y x e ，求y ；
2 3x (n)
1 x 2. y ，求y ( n )； 1 x 1 3. y 求y ( 50)。 x (1 x )
常用高阶导数公式
(1) (a x )( n ) a x ln n a (a 0) ( n) n ( 2) (sin kx ) k sin(kx n ) 2 ( n) n ( 3) (cos kx ) k cos(kx n ) 2
i 1k 1 k i n n
cot x的导数； 例1 求 tan x， 例2 求函数y a x x a ln a (a 0)的导数； cosh x的导数； 例3 求 sinh x，
例4
x x2 设y ，求y。 3 x 6
2
二. 反函数求导
y y
x ( y)
1 2 x sin 例5 设 f ( x ) 在 x 0 处可导，又 g ( x ) x 0 求 f ( g ( x )) 在x 0处的导数。
x0 ， 0
例6 设 f ( x ) 为可导函数，y f (sin x ) f (cos x ), 若令 u cos x，证明 dy dy sin x 0 dx du

( x, y )
y f ( x)

o
x
x
定理 如果函数 x ( y )在某区间 I y内单调、可导
且 ( y ) 0 , 那末它的反函数 y f ( x )在对应区间 I x内也可导 , 且有 1 f ( x ) . ( y )
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
v uv u u （3）( uv ) uv uv , （4）( ) ( v 0) . 2 v v
Oct. 13 Wed.
Review

导数四则运算
(1) [u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x ); ( 2) [u( x ) v ( x )] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); u( x ) u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) ( 3) [ ] (v ( x ) 0). 2 v( x ) v ( x)
注意:初等函数的导数仍为初等函数.
(sinh x ) cosh x
1 (tanh x ) 2 cosh x
(cosh x ) sinh x
例
1. 2.
ye
sin2
1 x
，求y；
v( x)
y [u( x )]
，求y；y x
tan x
x ,y 1 x
(arcsin x )
1
1 x2 1 (arctan x ) 1 x2
(arccos x )
1
1 x2 1 ( arccot x ) 1 x2
2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 u u( x ), v v ( x )可导，则 （1）( u v ) u v , （2）(cu) cu ( C 是常数)