考博弹塑性力学,第一章

应力─截面上某一点处，单位截面面积上的 内力值。 （量纲） ML−1T −2 （表示） σ x ─ x 面上沿 x 向正应力，
τ xy ─ x 面上沿 y向切应力。
（符号）坐标面上的应力以正面正向， 负面负向为正。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
例：正的应力
O (z )
τyx
τxy
σx
σy
xLeabharlann Baidu
τxy
σx
第三节
弹性力学中的基本假定
基本假定
为什么要提出基本假定？ 任何学科的研究，都要略去影响很 小的次要因素，抓住主要因素 → 建立计 算模型 → 归纳为学科的基本假定。
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
弹性力学中的五个基本假定
关于材料性质的假定及其在建立弹性力 学理论中的作用： （1）连续性 ─ 假定物体是连续的
（符号）坐标正向为正 。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
例：表示出下图中正的体力和面力
O (z )
x
fx
fy
f O (z )
y
x
fy fx
fx
fy
fx
fy
y
fy
fx
y
第二节
弹性力学中的几个基本概念
应力
内力─假想切开物体，截面两边互相作用 的力（合力和合力矩)，称为内力。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
→ E、μ等与位置 ( x, y, z ) 无关
（4）各向同性 ─ 假定物体各向同性
→ E、μ等与方向无关
根据（3）和（4）→ E、μ等为常数 符合（1）—（4）假定的称为理想弹性体。
第三节
弹性力学中的基本假定
变形状态假定
变形状态假定： （5）小变形假定─假定位移和形变很小。 (a) 位移远小于物体尺寸 例：梁的挠度v 远小于梁高h
第一节
弹性力学的内容
研究对象
材料力学─研究杆件（如梁、柱和轴） 的拉压、弯曲、剪切、扭转和组 合变形等问题。 结构力学─在材料力学基础上研究杆系结构 （如桁架、刚架等）。 弹性力学─研究各种形状的弹性体，如杆 件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等问题。
第一节
弹性力学的内容
研究方法
在研究方法上，弹力和材力也有区别：
第二节
弹性力学中的几个基本概念
形变
形变 ─ 形状的改变。以通过一点的沿坐标 正向微分线段的正应变 ε 和切应变 γ 来表示。 正应变 ε x , ε y ，以伸长为正。 切应变 γ xy ,以直角减小为正,用弧度表示。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。
→ 各物理量可用连续函数表示
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（2）完全弹性 ─ 假定物体是： （a）完全弹性—外力取消，变形恢复，无 残余变形。 （b）线性弹性—应力与应变成正比。 即应力与应变关系可用胡克定律表示 （物理线性）。
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（3）均匀性 ─ 假定物体由同种材料组成
第一章教学参考资料
(三)弹性力学的发展简史
与其他任何学科一样，从这门力学的 发展史中，我们可以看出人类认识自然的 不断深化的过程：从简单到复杂，从粗糙 到精确，从错误到正确的演变历史。许多 数学家、力学家和实验工作者做了幸勤的 探索和研究工作，使弹性力学理论得以建 立，并且不断地深化和发展。
第一章教学参考资料
o z x P A
α
B y C
τ xy
γ = +α
τ yx
第二节
弹性力学中的几个基本概念
位移
位移 ─
一点位置的移动，用 u , v 表示, 量纲为 L。以坐标正向为正。
变形前 p ( x, y )
变形后 p′( x + u , y + v ).
思考题
1. 试画出正负 y 面上正的应力和正的面力 的方向。 2. 在d x × d y ×1 的六面体上，试问x面和y面 上切应力的合力是否相等？
3、线性理论的发展时期（约于1854 －1907）在这段时期，数学家和力学家应 用已建立的线性弹性理论，去解决大量的 工程实际问题，并由此推动了数学分析工 作的进展。
第一章教学参考资料
圣维南（1854－1856）发表了关于柱体扭 转和弯曲的论文，并提出了圣维南原理。 艾里（1862）提出了应力函数，以求解平 面问题。赫兹（1882）求解了接触问题。 克希霍夫（1850及以后）解决了平板的平 衡和震动问题。还有，爱隆对薄壳作了一 系列工作等等。弹性力学在这段时期得到 了飞跃的发展。
第一节
弹性力学的内容
地位
弹性力学 在力学学科和工程学科中,
具有重要的地位：
弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。 弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤其 对于安全性和经济性要求很高的近代大型工程结 构，须用弹力方法进行分析。
第一节
弹性力学的内容
学习目的
工科学生学习弹力的目的： （1）理解和掌握弹力的基本理论； （2）能阅读和应用弹力文献； （3）能用弹力近似解法（变分法、差分法 和有限单元法）解决工程实际问题； （4）为进一步学习其他固体力学分支学科 打下基础。
思考题
1. 弹性力学和材料力学相比，其研究对 象有什么区别？ 2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方 法有什么区别？ 3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非 杆件和杆系的结构？
第一章
绪 论
外力
§1-2 弹性力学中的 几个基本概念
外力─其他物体对研究对象（弹性体）的
作用力。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
第一章
绪 论
研究方法
§1-3 弹性力学中基本假定 弹力的研究方法，在体积V 内： 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程； 由微分线段上形变与位移的几何关系， 建立几何方程； 由应力与形变之间的物理关系, 建立物理方程；
第三节
弹性力学中的基本假定
研究方法
在边界S面上:
在给定面力的边界
sσ 上，
建立应力边界条件。 在给定约束的边界 su 上， 建立位移边界条件。 然后在边界条件下求解上述微分方程，得 出应力、形变和位移。
第三节
弹性力学中的基本假定
变形状态假定
弹性力学的基本假定，确定了 弹性力学的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
第一章
绪 论
第一章
教学参考资料
(一)本章的学习要求及重点 1、弹性力学的研究内容，及其研究对象和 研究方法，认清他们与材料力学的区别。 2、弹性力学的几个主要物理量的定义、量 纲、正负方向及符号规定等，及其与材料力学相 比的不同之处。 3、弹性力学的几个基本假定，及其在建立 弹性力学基本方程时的应用。
第一章教学参考资料
2 、 理 论 基 础 的 建 立 （ 约 于 1821 － 1855）—这段时间建立了线性弹性力学的基 本理论，并对材料性质进行了深入的研究。 纳维（1820）从分子结构理论出发，建立了 各向同性弹性体的方程，但其中只含一个弹 性常数。柯西（1820－1822）从连续统模型 出发，建立了弹性力学的平衡（运动）微分 方程、几何方程和各向同性的广义胡克定律。
材料力学通常研究平面上的问题，可以直 接标明顺时针指向，并且可将其符号规定 用于莫尔圆来求斜面上的应力。 弹性力学要考虑的不仅仅是平面问题（还 有空间问题），也不再用莫尔圆方法来求 斜面应力。同时，用弹性力学符号规定表 示切应力互等定理十分简洁，不仅数值相 等，符号也一致。此外，也将正应力与切 应力的符号规定统一了。
第一章教学参考资料
4、弹性力学更深入的发展时期（1907至今）1907年以后，非线性弹性力学迅速地发 展起来。卡门（1907）提出了薄板的大挠度问 题；卡门和钱学森提出了薄壳的非线性稳定问 题；力学工作者还提出了大应变问题，非线性 材料问题（如塑性力学等）等等。同时，线性 弹性力学也得到进一步的发展，出现了许多分 支学科，如薄壁构件力学、薄壳力学、热弹性 力学、粘弹性力学、各向异性弹性力学等。
第一节 第二节 第三节
弹性力学的内容 弹性力学中的几个基本概念 弹性力学中的基本假定
教学参考资料
第一章 绪 论
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学 ─研究弹性体由于受外力、边界
约束或温度改变等原因而发生的应力、形变 和位移。从而解决工程中的强度、刚度和稳 定性问题。 研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、 弹性力学。它们的研究对象分别如下：
y
τyx
σy
第二节
弹性力学中的几个基本概念
应力与面力，在正面上，两者正方向一致， 在负面上，两者正方向相反。
O (z )
τxy
σx
fx fy
τxy
x
σx
fx fy
y
第二节
弹性力学中的几个基本概念
弹力与材力相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同
O (z )
x
O (z )
x
σx
y
σx
y
材力：顺时针向为正
(b) ε, γ << 1 例：梁的 ε ≤10－3 << 1
γ << 1弧度（57.3°)
第三节
弹性力学中的基本假定
变形状态假定
a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件 时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。 b.简化几何方程：在几何方程中，由于 2 3 2 (ε , γ ) >> (ε , γ ) >> (ε , γ ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅, 可略去 (ε , γ ) 等项,使几何方程成为线性方程。
第一章教学参考资料
格林（1838）应用能量守衡定律，指出 各向异性体只有21个独立的弹性常数。 此后，汤姆逊由热力学定理证明了上述 结果。同时拉梅等再次肯定了各向同性 体只有两个独立的弹性常数。至此，弹 性力学建立了完整的线性理论，弹性力 学问题已经化为在给定边界条件下求解 微分方程的数学问题。
第一章教学参考资料
弹力研究方法：在区域V内严格考虑静
力学、几何学和物理学三方面条件，建立三 套方程; 在边界s上考虑受力或约束条件，并 在边界条件下求解上述方程，得出较精确的 解答。
第一节
弹性力学的内容
研究方法
材力 也考虑这几方面的条件，但不是
十分严格的：常常引用近似的计算假设 （如平截面假设）来简化问题，并在许多 方面进行了近似的处理。 因此材力建立的是近似理论，得出的是 近似的解答。从其精度来看，材力解法只能 适用于杆件形状的结构。
材力：以拉为正
第二节
弹性力学中的几个基本概念
切应力互等定理： 由微分体的平衡条件 ∑ M
= 0 得：
τ xy = τ yx
τ 在弹力中，xy 与τ yx不仅数值相同，符号也相同。
τ 在材力中，xy 与τ yx 数值相同，符号相反。
因此，弹力与材力中的符号规定不完全相同。
为什么切应力正负号规定不同？
1、发展初期（约于1660－1820）— 这段时期主要是通过实验探索了物体的受 力与变形之间的关系。1678年，胡克通过 实验，发现了弹性体的变形与受力之间成 比 例 的 规 律 。 1807年，杨做了大量的实 验，提出和测定了材料的弹性模量。伯努 利（1705）和库仑（1776）研究了梁的弯 曲理论。一些力学家开始了对杆件等的研 究分析。
体力─（定义）作用于物体体积内的力。
（表示）以单位体积内所受的力来量 度，f x , f y , f z （量纲） ML T . （符号）坐标正向为正。
−2 −2
第二节
弹性力学中的几个基本概念
面力─（定义）作用于物体表面上的力。
（表示）以单位面积所受的力来量 度，f x , f y , f z
ML−1T −2 . （量纲）
第一章教学参考资料
解法：在弹性体区域V 内 根据微分体上力的平衡条件，建立平 衡微分方程；根据微分线段上应变和位移 的几何条件，建立几何方程；根据应力和 应变之间的物理条件，建立物理方程。 在弹性体边界S上 根据面力条件，建立应力边界条件。 根据约束条件，建立位移边界条件。 然后在边界条件下，求解区域内的微 分方程组，得出应力、形变和位移。
第一章教学参考资料
形变—用线应变 ε x , ε y和切应变γ xy表示， 量纲为1，线应变以伸长为正，切 应变以直角减小为正。
vw 位移—一点位置的移动，记号为u、、，
量纲为L，以坐标正向为正。
第一章教学参考资料
3、弹性力学的基本假定 理想弹性体假定—连续性，完全弹性， 均匀性，各向同性。 小变形假定。 4、弹性力学问题的研究方法 已知：物体的边界形状，材料性质，体 力,边界上的面力或约束。 求解：应力、形变和位移。
第一章教学参考资料
(二)本章内容提要
1、弹性力学的内容─弹性力学研究弹 性体由于受外力作用、边界约束或温度改 变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、弹性力学中的几个基本物理量： 体力—分布在物体体积内的力、记号为
fx 、fy 、fz ，量纲为L-2MT-2，以坐标
正向为正。
第一章教学参考资料
面力— 分布在物体表面上的力，记号为 f x , f y , f z 。量纲为L-1MT-2 ，以坐 标正向为正。 应力— 单位截面面积上的内力，记号 σ x …τ xy … ，量纲为L-1MT-2，以正 面正向为正，负面负向为正；反之 为负。