最新02第二节洛必达法则

02第二节洛必达法则
第二节洛必达法则
在第一章中，我们曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定式的极限. 在那里，计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则. 分布图示
★洛必达法则
«Skip Record If...»★例1-2 ★例3
★例4
«Skip Record If...»★例5 ★例6-7综合应用★例8 ★例9
★例10
«Skip Record If...»★例11
«Skip Record If...»★例12 ★例13
★例14
«Skip Record If...»★例15 ★例16
«Skip Record If...»★例17 ★例18
★例19
«Skip Record If...»★例20 ★例21
★内容小结★课堂练习
★习题3-2 ★返回
内容要点
一、未定式的基本类型：«Skip Record If...»型与«Skip Record If...»型；
«Skip Record If...» «Skip Record If...»
二、未定式的其它类型：«Skip Record If...»型，«Skip Record If...»型，
«Skip Record If...»型
(1) 对于«Skip Record If...»型，可将乘积化为除的形式，即化为«Skip Record If...»或«Skip Record If...»型的未定式来计算.
(2) 对于«Skip Record If...»型，可利用通分化为«Skip Record If...»型的未定式来计算.
(3) 对于«Skip Record If...»型，可先化以«Skip Record If...»为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限，指数的极限为
«Skip Record If...»的形式，再化为«Skip Record If...»或«Skip Record If...»型的未定式来计算.
例题选讲
«Skip Record If...»型
例1 (E01) 求 «Skip Record If...»
解原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例2 (E02) 求 «Skip Record If...»
解原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
注: 上式中, «Skip Record If...»已不是未定式,不能再对它应用洛必达法则.
例3 (E03) 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例4 (E04) 求 «Skip Record If...».«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注: 若求«Skip Record If...»为自然数）则可利用上面求出的函数极限,得«Skip Record If...»
例5 (E05) 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例6 (E06) 求 «Skip Record If...».«Skip Record If...»
解原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例7 (E07) 求 «Skip Record If...»«Skip Record If...» (n为正整数, «Skip Record If...»).
解反复应用洛必达法则«Skip Record If...»次，得
原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
注：对数函数«Skip Record If...»、幂函数«Skip Record If...»、指数函数«Skip Record If...»均为当«Skip Record If...»时的无穷大，但它们增大的速度很不一样，其增大速度比较: 对数函数<<幂函数<<指数函数.
例8 求«Skip Record If...»
解注意到«Skip Record If...»则有
«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
注: 洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用, 效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.
例9 (E08) 求«Skip Record If...»
解当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»«Skip Record If...»
故«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
例10 (E09) 求 «Skip Record If...».
解所求极限属于«Skip Record If...»的未定式.但分子分母分别求导数后，将化为«Skip Record If...»此式振荡无极限,故洛必达法则失效，不能使用.但原极限是存在的,可用下法求得:
«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例11 (E10) 求 «Skip Record If...» («Skip Record If...»型)
解对于«Skip Record If...»型，可将乘积化为除的形式，即化为«Skip Record If...»或«Skip Record If...»型的未定式来计算.
«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例12 (E11)求 «Skip Record If...». («Skip Record If...»型)
解对于«Skip Record If...»型，可利用通分化为«Skip Record If...»型的未定式来计算.
«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例13 求 «Skip Record If...»
解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例14求«Skip Record If...»
解原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»
直接用洛必达法则, 计算量较大. 为此作变量替换,
令«Skip Record If...»则当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»型
步骤
«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例15 求«Skip Record If...» «Skip Record If...»
解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例16 (E12) 求 «Skip Record If...». («Skip Record If...»)
解将它变形为«Skip Record If...»
由于«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
故«Skip Record If...»
例17 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例18求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
由于 «Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»
例19 求«Skip Record If...»
解一利用洛必达法则.
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
解二利用两个重要极限.
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例20(E14) 求 «Skip Record If...». («Skip Record If...»型)
解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例21 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
因为 «Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
所以«Skip Record If...»
课堂练习
1.设«Skip Record If...»有一阶导数,«Skip Record If...»求
«Skip Record If...»
2. 设«Skip Record If...»是未定式极限, 如果«Skip Record If...»的极限不存在且不为«Skip Record If...», 是否«Skip Record If...»的极限也一定不存在? 举例说明.
洛必达（L’ Hospital，1661~1704）简介：
洛必达(L’Hospital)是法国数学家，1661年生于巴黎，1704年2月2日卒于巴黎。

洛必达生于法国贵族家庭，他拥有圣梅特候爵，昂特尔芒伯爵称号。

青年时期一度任骑兵军官，因眼睛近视自行告退，转向从事学术研究。

洛必达很早即显示出其数学的才华，15岁时就解决了帕斯卡所进出的一个摆线难题。

洛必达是莱布尼兹微积分的忠实信徒，并且是约翰.伯努利的高足，成功地解答过约。

伯努利提出的“最速降线”问题。

他是法国科学院院士。

洛必达的最大功绩是撰写了世界上第一本系统的微积分教程--------《用于理解曲线的无穷小分析》。

这部著作出版于1696年，后来多次修订再版，为在欧洲大陆，特别是在法国普及微积分起了重要作用。

这本书追随欧几里得和阿基米德古典范例，以定义和公理为出发点，同时得益于他的老师约翰.伯努利的著作，其经过是这样的：约翰.伯努利在1691-1692年间写了两篇关于微积分的短论，但未发表。

不久以后，他答应为年轻的洛必达讲授微积分，定期领取薪金。

作为答谢。

他把自己的数学发现传授给洛必达，并允许他随时利用。

于是洛必达根据约翰.伯努利的传授和未发表的论著以及自己的学习心得，撰写了该书。

洛必达曾计划出版一本关于积分学的书，但在得悉莱布尼兹也打算撰写这样一本书时，就放弃了自己的计划。

他还写过一本关于圆锥曲线的书——《圆锥曲线分析论》。

此书在他逝世之后16年才出版。

洛必达豁达大度，气宇不凡。

由于他与当时欧洲各国主要数学家都有交往。

从而成为全欧洲传播微积分的著名人物。