与参数估计(Estimate)

则总体均值的置信区间为
(x x , x x )
例：从某大学学生中随机抽取100名调查体重情况。经称量和计 算，得到平均体重为58千克。根据过去的资料知道大学生体重 的标准差是10千克。在95%的置信水平下，求该大学学生平均体 重的置信区间。
解：已知 x =58，σ=10，zα/2=1.96，n=100 x =10/10=1（千克） n z / 2 =1.96×1=1.96（千克）
总体分布 (population distribution)
1. 总体中各元素的观察值所形成的分布
2. 分布通常是未知的 3. 可以假定它服从某种分布
总体
样本分布 (sample distribution)
1.
2. 3.
一个样本中各观察值的分布
也称经验分布 当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总 体的分布
第6章 抽样（Sampling）
与参数估计(Estimate)
重点：深刻理解抽样分布的概念及中心极限定理的意义，灵活掌握 均值和比例的区间估计方法的应用。 难点：在不同条件下的区间估计。
抽样法的特点：随机原则
部分估计总体 存在误差并可以控制
抽样法的应用：对某些不可能进行全面调查而又需要了解其
P(1 P) N n ( ) n N 1
式中，P为总体比例，实际计算时通常采用以往经验数据或
样本比例 。
例：灯泡厂从10000只灯泡中随机抽取500只检查其耐用时数， 结果如下表。该厂规定耐用时数在850以下为不合格。求平 均耐用时数及不合格率的抽样平均误差。
耐用时数 800-850 850-900 900-950 950-1000 1000-1050 1050-1100 合计 灯泡数 37 129 185 102 40 7 500
全面情况的社会经济现象，必须应用抽样法。（破坏性试验、 总体过大、单位过于分散，实际调查不可能的）
第1节 抽样与抽样分布
一、有关抽样的基本概念
总体（母体）(Population)
样本（子样）(Sample) 总体指标(总体参数)（Population parameter）
样本指标(样本统计量)（Sample statistic）
X 2.5 2 X 0.625
2、样本均值的抽样分布
样本平均数的标准差反映了样本平均数与总体平均数的平
均误差，故称之为抽样平均误差（或抽样标准差）。计算 公式： （重复抽样） x
x
n 2 N n ( ) n N 1
2
n
(1
n ) N n
(1
概率抽样的组织方式
简单随机抽样：从总体中抽取样本最常用的方法。
从容量为N的总体中进行抽样，如果容量为n 的每 个可能样本被抽到的可能性相等，则称容量为n的 样本为简单随机样本。 分层抽样：也称分类抽样或类型抽样，它是按某个 主要标志对总体各单位进行分类，然后从各层中按 随机原则分别抽取一定数目的单位构成样本。 等距抽样也称机械抽样或系统抽样。它是先将总体 单位按一定顺序排队，计算出抽样间隔（或抽样距 离），然后按固定的顺序和间隔抽取样本单位。 整群抽样：也称丛聚抽样或集团抽样。它是将总体 分为若干部分(每一部分称为一个群)，然后按随机 原则从中一群一群地抽选，对抽中群内的所有单位 进行全面调查。
第3节 总体均值的区间估计
一、区间估计的基本原理
1、大数定律 大数定律主要是说明：当n足够大时，独立同分布的随机变 量的算术平均数趋近于数学期望；事件发生的频率接近于其 发生的概率。 即样本统计量接近于总体参数。 2、中心极限定理 中心极限定理是说明：当n充分大时，大量的起微小作用的 相互独立的随机变量之和趋于正态分布。
0.074(1 0.074) 500 (1 ) 500 10000
练习：
1、从某大学学生中随机抽选100名调查体重，结果平均体重




为58千克。根据过去的资料知道该校学生体重标准差为10千 克。求抽样误差。 2、某工厂共生产新型聚光灯2000只，随机抽选400只进行耐 用时间调查，结果平均寿命为4800小时，标准差为300小时。 求抽样误差。 3、从某校学生中随机抽选400名，发现戴眼镜的有80人。计 算求抽样误差。 4、一批食品罐头60000桶，随机抽查300桶，有6桶不合格。 求合格率的抽样误差。 5、假设4个人工资分别为：400、500、700、800元，现随机 抽选2人进行调查。 （1）验证 E ( x) X （2）计算重复抽样及不重复抽样的抽样平均误差。
x
P { x t / 2
s/ n s s x t / 2 } 1 n n
置信下限 x t / 2
s n
置信上限
f p 37 / 500 7.4% f
s
( x x ) 2 f 1475000 /(500 1) 54.（小时） 3 f 1
sp
p(1 p) 26%
500 2.4(小时）
重复抽样条件下 x 54.3 / n
不重复抽样条件下
P(1 P) n p (1 ) n N 1.14%
大样本(n≥30)下总体均值的区间估计
区间估计就是根据样本求出总体未知参数的估计区间，并使其
可靠程度达到预定要求。 （1） 总体方差σ 2已知时
由于
z
α ，有
x / n
2
N (0,1)
，所以对于给定的置信度1-
P{ z
x z } 1 2 / n
P x z / 2 1 即 n z z / 2 x /2 x 可见，极限误差的计算公式为 n
.3
均值和方差

x
i 1
N
i
.2 .1 0
1 2 3 4
N
N i 1
2.5
2
2 ( x ) i
N
1.25
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样 条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为
所有可能的n = 2 的样本（共16个） 第一个 观察值 1 2 3 4 1 1,1 2,1 3,1 4,1 第二个观察值 2 1,2 2,2 3,2 4,2 3 1,3 2,3 3,3 4,3 4 1,4 2,4 3,4 4,4
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽 样分布

16个样本的均值（x） 第一 第二个观察值 个 观察 1 2 3 4 1 1.0 1.5 2.0 2.5 2 1.5 2.0 2.5 3.0 3 2.0 2.5 3.0 3.5 4 2.5 3.0 3.5 4.0
x x
置信下限为58-1.96=57.04，
置信上限为58+1.96=59.96 故所求置信区间为（57.04，59.96）千克。
（2 ）
由于
T x s/
总体方差σ 2未知时
n
～t(n-1)，对于给定的置信度1-α，有
t / 2 } 1
P {t / 2



样本平均数的抽样极限误差
x X x
x x X x x
样本比例的抽样极限误差
p P p p p P p p
抽样误差与抽样可靠性的关系
ˆ ˆ P

1
影响抽样误差的主要因素
1 、抽样单位数的多少。在其它条件不变的情况下，抽样 单位数愈多，抽样误差愈小；反之抽样单位数愈少，抽样 误差就愈大。 2、总体离散程度的高低。当其它条件不变时，总体离散 程度愈低，抽样误差愈小；反之总体离散程度愈高，抽样 误差愈大。 3、抽样方法 4、组织方式
样本均值是总体均值μ的点估计量，样本方差s2是总体方差σ2
的点估计量，样本比例p是总体比例P的点估计量。 有效性 一致性
优良估计量的标准： 无偏性
二、区间估计(Interval estimate)
抽样误差 统计调查的误差，是指调查所得结果与总体真值之间的差异。 误差的来源有登记性误差和代表性误差两大类。代表性误差分 为系统性误差和偶然性误差。抽样估计中所谓的抽样误差，就 是指这种偶然性误差或随机误差。 （1）实际抽样误差。指某一特定样本的样本估计值与总体参 数真值之间的离差。 （2）抽样平均误差。统计学中常用标准差来衡量均值的代表 性，所以抽样平均误差可以衡量样本对总体的代表性大小。 （3）抽样极限误差。指一定概率条件下抽样误差的可能范围， 也称允许误差。抽样极限误差的可能范围与抽样估计的可能性 即概率紧密相联。
x
825 875 925 975 1025 1075 ——
xf
30525 112875 171125 99450 41000 7525 462500
( x x) 2 f
370000 322500 0 255000 400000 157500 1475000
解：
xf x 462500 / 500 925 （小时） f
n ) N
可见，抽样平均误差与总体标准差成正比变化，与样本容
量的平方根成反比变化。 当总体为正态分布时，对于任何样本容量，样本平均数的 抽样分布是正态分布。若总体方差σ2未知，则可用样本方 差s2取而代之 。 样本容量很大，无论总体分布如何，样本平均数近似服从 正态分布。
3、样本比例的抽样分布
当从总体中抽出一个容量为n的样本时，样本比例服从二项
分布。 当 n→∞ 时，二项分布趋近于正态分布。所以，在大样本下， 若np≥5且n(1-p) ≥5，样本比例p近似服从正态分布。 比例的抽样平均误差 （重复抽样） P(1 P)
p
n P(1 P) n (1 ) n N
p
抽样分布 (sampling distribution)
总体
样 本
计算样本统计 量 例如：样本均 值、比例、方 差
例：样本均值的抽样分布
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。总 体的均值、方差及分布如下 总体分布
样 本
二、抽样分布 (Sampling distribution)
1、抽样分布的意义
对统计量的所有可能取值及其对应概率的描述，
就是统计量的抽样分布，即抽样分布。 抽样分布反映样本统计量的分布特征，根据抽 样分布的规律，可揭示样本统计量与总体参数 之间的关系，计算抽样误差，并说明抽样推断 的可靠程度。
抽样方法



重置抽样（重复抽样）(Sampling with replacement) 要从总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本， 每次从总体中抽取一个单位，把顺序号登记下来之后， 重新放回参加下一次抽选，连续反复抽取n次组成所 要求容量的样本。 不重置抽样（不重复抽样）(Sampling without replacement) 要从总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本， 每 次从总体中抽取一个单位，被抽中的单位不再放 回参加下一次抽选，连续进行次便组成样本。 不重复抽样所得样本对总体的代表性较大，抽样误差 较小，所以实践中通常采用不重复抽样。
.3 .2 .1 P (X )
值
0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X
样本均值的抽样分布
样本均值的分布与总体分布的比较
总体分布
.3 P(X)
.1 0
1
2
3
4
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
X
= 2.5
σ2 =1.25
第2节 参数估计的基本方法
参数估计——以实际观察的样本数据所计算的统计量作为未
知总体参数的估计值。
一、点估计(Point estimate) 点估计也称定值估计，就是直接以样本统计量作为总体参数 的估计值。 点估计的优点是它提供了总体参数的具体估计值，可作为决 策的依据，其缺点是不能提供有关抽样误差的信息。