高等数学II第十一章 级 数
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1．将下列周期为的函数展开成Fourier级数. （1） 解： 又在处连续故： （2） 解： （注： ） 故 同理 又在处连续故： 2．将下列函数展开成正弦级数或余弦函数. （1），展开成正弦级数. 解：将做奇延拓得，再作以为周期的周期延拓得， 显然，求的系数易得
在 且连续，故展成正弦级数为 （2）展开成余弦级数. 解：将做偶延拓得，再作以4为周期的周期延拓得， 显然，求的系数易得 （ ） 在且连续，故展开成余弦级数为.
2． 判别的敛散性. 解：，考察，（注意到 ） ，故与发散级数同发散（也可以求部分和的方法说明其发散），故不绝 收敛。 是交错级数，且当时，， ，即单调减， 故收敛，从而条件收敛。 3． 求下列幂级数的收敛区间. （1） 解， （注，故），故收敛半径为 当时， ，收敛。 当时， ， 绝对收敛。 故收敛区间为 （2） 解：令，， 故，时，即收敛，时发散。 当时，，发散 当时，，发散 故收敛区间为 4． 求的和函数. 解：易知道的收敛域为，令， 故和函数定义在。 其中 由定义的连续性（定理：幂函数的和函数在收敛域上连续）有 （洛比达法则） 故 （注：对于处的值也可以直接计算） 5． 求数项级数的和.
3． 设 （1） 展开成以为周期的正弦函数.
解：将做奇延拓得，再作以为周期的周期延拓得， 显然，求的系数易得 在且连续，故
（2） 展开成以为周期的余弦函数. 解：将做偶延拓得，再作以为周期的周期延拓得， 显然，求的系数易得 在且连续，故
第十一章 自测题
1． 判别下列级数的敛散性： （1） 解：，，故级数发散。 （2） 解：对级数有，故收敛， 又，故收敛。
§3 将函数展成幂级数
1． 将函数展开成（1），（2）的幂级数，并求展开式成立的区间. （1）， 其中，即 （2） ，其中，即。
2． 将下列函数展开为的幂级数. （1）(提示：) 解： 对有，对有。故 （2） 解： 对有，对有。故 （3）（利用） 解： 其中，即 （4） （5）
解：§4 Fourier级数
第十一章 级 数
§1 常数项级数
1. 根据定义判断级数的敛散性，若级数收敛，求出级数的和. （1） 解：，故 故级数发散。 （2） 解： ， 故，故级数收敛。 （3） 解： ， 故，故级数收敛。 （4） 解： 故，故级数收敛。 2．判断下列级数的敛散性： （1） 解：该级数为公比的等比级数，又，故级数收敛。 （2） 解：因为，又是公比绝对值小于1的等比级数收敛，故收敛。 （3） 解：因为，所以级数发散。 （4） 解：因为，又是公比绝对值小于1的等比级数收敛，与同敛散，故发 散，故发散。 3．判断下列级数的敛散性： （1） 解：与发散级数同敛散，又，所以发散 （或，故与发散级数同敛散，所以发散） （2） 解：与发散级数同敛散，又，故发散。 （或，故与发散级数同敛散，所以发散） （3） 分析注意到 解：因为，故与收敛级数同敛散，故级数收敛。 (4)
§2 幂级数
1．试求下列幂级数的收敛半径与收敛域. （1） 解：，， （或）故收敛半径为。 当，，收敛 当，，收敛 故收敛域为 （2） 解：令， 故收敛域为。 法二：， 故与有相同的收敛域。 对令，则=
对级数， 故的收敛域为，故收敛域也为 （3） 解：令则，
故收敛半径为。 当时，又，故发散 当时，又不存在，故发散 故的收敛域为。 2．求下列级数的和： （1） 解：令， 其中 故 （2） 解：令 （其中） 故
解：令幂级数，易得收敛域为，故其和函数定义域为。 故 6． 将函数展开成的幂级数. 解： ，其中，即。 7． 设是周期为的函数，它在上的表达式为 ，将展开成傅立叶级数. 解： 在连续，故 8． 将函数
分别展开成正弦级数和余弦级数. 解：将做奇延拓得，再作以为周期的周期延拓得， 显然，求的系数易得 在且连续得 将做偶延拓得，再作以为周期的周期延拓得， 显然，求的系数易得 ， 在且连续，则 9．设，，的Fourier级数为，求 （1）；（2）. 解：（1）由于在处连续，且， 故，其中 （2）由（1）得
解：，又收敛，故级数收敛。 （或，
故与收敛级数同敛散，故级数收敛） (5) 解：，又发散，故发散。 (6)（分析注意到） 解：因为，故与收敛的等比级数同敛散，故收敛。 4．讨论下列级数的敛散性： （1）（注意到） 解：，故与同敛散。 故当时，收敛；故当时，发散； （2）（注意到 解：，故与同敛散， 故当时，收敛；故当时，发散； 5．用比值判别法或根植判别法判断下列级数的敛散性. （1） 解：，，故发散 （或，，故发散。） （2） 解：，，故收敛。 （或，，故收敛。） （3） 解：，， 故收敛。 （4） 解：，， 故收敛。 6．判断下列级数的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛. （1） 解：，， 又收敛，故绝对收敛 （2） 解：，，又 故收敛，故绝对收敛 （3） 解：，，又
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故收敛，故绝对收敛 （4） 解：，，又故发散，故不绝对收敛。 是交错级数且满足莱布尼滋条件，故收敛，从而条件收敛。 7．设与均收敛，证明： （1）收敛； 证明：由与均收敛，有收敛， 又，故正项级数收敛。 （2）收敛； 证明：由、、均收敛， 和，有收敛。 （3）收敛. 证明：令，则收敛，又收敛由（1）得收敛，即收敛。 8．（1）设正项级数收敛，证明也收敛； 证明：法一：收敛，故， 又，由比较判别法的极限形式有收敛 法二：收敛，故，则由极限的保号性存在，当时有 故存在，当时有，故正项级数收敛，则也收敛。 （2）设级数与都收敛，且.证明级数也收敛. 证明：由和与都收敛有，是正项级数且收敛。 由有，所以是正项级数且收敛。 故收敛。 （注意不能由和收敛得出收敛.因为、并不一定是正项级数）
在 且连续，故展成正弦级数为 （2）展开成余弦级数. 解：将做偶延拓得，再作以4为周期的周期延拓得， 显然，求的系数易得 （ ） 在且连续，故展开成余弦级数为.
2． 判别的敛散性. 解：，考察，（注意到 ） ，故与发散级数同发散（也可以求部分和的方法说明其发散），故不绝 收敛。 是交错级数，且当时，， ，即单调减， 故收敛，从而条件收敛。 3． 求下列幂级数的收敛区间. （1） 解， （注，故），故收敛半径为 当时， ，收敛。 当时， ， 绝对收敛。 故收敛区间为 （2） 解：令，， 故，时，即收敛，时发散。 当时，，发散 当时，，发散 故收敛区间为 4． 求的和函数. 解：易知道的收敛域为，令， 故和函数定义在。 其中 由定义的连续性（定理：幂函数的和函数在收敛域上连续）有 （洛比达法则） 故 （注：对于处的值也可以直接计算） 5． 求数项级数的和.
3． 设 （1） 展开成以为周期的正弦函数.
解：将做奇延拓得，再作以为周期的周期延拓得， 显然，求的系数易得 在且连续，故
（2） 展开成以为周期的余弦函数. 解：将做偶延拓得，再作以为周期的周期延拓得， 显然，求的系数易得 在且连续，故
第十一章 自测题
1． 判别下列级数的敛散性： （1） 解：，，故级数发散。 （2） 解：对级数有，故收敛， 又，故收敛。
§3 将函数展成幂级数
1． 将函数展开成（1），（2）的幂级数，并求展开式成立的区间. （1）， 其中，即 （2） ，其中，即。
2． 将下列函数展开为的幂级数. （1）(提示：) 解： 对有，对有。故 （2） 解： 对有，对有。故 （3）（利用） 解： 其中，即 （4） （5）
解：§4 Fourier级数
第十一章 级 数
§1 常数项级数
1. 根据定义判断级数的敛散性，若级数收敛，求出级数的和. （1） 解：，故 故级数发散。 （2） 解： ， 故，故级数收敛。 （3） 解： ， 故，故级数收敛。 （4） 解： 故，故级数收敛。 2．判断下列级数的敛散性： （1） 解：该级数为公比的等比级数，又，故级数收敛。 （2） 解：因为，又是公比绝对值小于1的等比级数收敛，故收敛。 （3） 解：因为，所以级数发散。 （4） 解：因为，又是公比绝对值小于1的等比级数收敛，与同敛散，故发 散，故发散。 3．判断下列级数的敛散性： （1） 解：与发散级数同敛散，又，所以发散 （或，故与发散级数同敛散，所以发散） （2） 解：与发散级数同敛散，又，故发散。 （或，故与发散级数同敛散，所以发散） （3） 分析注意到 解：因为，故与收敛级数同敛散，故级数收敛。 (4)
§2 幂级数
1．试求下列幂级数的收敛半径与收敛域. （1） 解：，， （或）故收敛半径为。 当，，收敛 当，，收敛 故收敛域为 （2） 解：令， 故收敛域为。 法二：， 故与有相同的收敛域。 对令，则=
对级数， 故的收敛域为，故收敛域也为 （3） 解：令则，
故收敛半径为。 当时，又，故发散 当时，又不存在，故发散 故的收敛域为。 2．求下列级数的和： （1） 解：令， 其中 故 （2） 解：令 （其中） 故
解：令幂级数，易得收敛域为，故其和函数定义域为。 故 6． 将函数展开成的幂级数. 解： ，其中，即。 7． 设是周期为的函数，它在上的表达式为 ，将展开成傅立叶级数. 解： 在连续，故 8． 将函数
分别展开成正弦级数和余弦级数. 解：将做奇延拓得，再作以为周期的周期延拓得， 显然，求的系数易得 在且连续得 将做偶延拓得，再作以为周期的周期延拓得， 显然，求的系数易得 ， 在且连续，则 9．设，，的Fourier级数为，求 （1）；（2）. 解：（1）由于在处连续，且， 故，其中 （2）由（1）得
解：，又收敛，故级数收敛。 （或，
故与收敛级数同敛散，故级数收敛） (5) 解：，又发散，故发散。 (6)（分析注意到） 解：因为，故与收敛的等比级数同敛散，故收敛。 4．讨论下列级数的敛散性： （1）（注意到） 解：，故与同敛散。 故当时，收敛；故当时，发散； （2）（注意到 解：，故与同敛散， 故当时，收敛；故当时，发散； 5．用比值判别法或根植判别法判断下列级数的敛散性. （1） 解：，，故发散 （或，，故发散。） （2） 解：，，故收敛。 （或，，故收敛。） （3） 解：，， 故收敛。 （4） 解：，， 故收敛。 6．判断下列级数的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛. （1） 解：，， 又收敛，故绝对收敛 （2） 解：，，又 故收敛，故绝对收敛 （3） 解：，，又
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故收敛，故绝对收敛 （4） 解：，，又故发散，故不绝对收敛。 是交错级数且满足莱布尼滋条件，故收敛，从而条件收敛。 7．设与均收敛，证明： （1）收敛； 证明：由与均收敛，有收敛， 又，故正项级数收敛。 （2）收敛； 证明：由、、均收敛， 和，有收敛。 （3）收敛. 证明：令，则收敛，又收敛由（1）得收敛，即收敛。 8．（1）设正项级数收敛，证明也收敛； 证明：法一：收敛，故， 又，由比较判别法的极限形式有收敛 法二：收敛，故，则由极限的保号性存在，当时有 故存在，当时有，故正项级数收敛，则也收敛。 （2）设级数与都收敛，且.证明级数也收敛. 证明：由和与都收敛有，是正项级数且收敛。 由有，所以是正项级数且收敛。 故收敛。 （注意不能由和收敛得出收敛.因为、并不一定是正项级数）