随机延迟微分方程的正整体解及矩有界
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ｓ ｋ ｉ ｉ — Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ：ｇ ｌ ｏ ｂａ ｌ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ；Ｌ ｙ ａ ｐ ｕｎ ｏ ｖ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ；ｍｏ ｍｅ ｎ ｔ ｂｏ ｕ ｎｄ ｅ ｄ ｎｅ ｓ ｓ
中 图分 类 号 ： ０ ２ １ １ ． ６ ３ 文献标志码 ： Ａ
文章编号 ： １ ０ ０ ７ — ７ １ ６ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ７ ３ — ０ ３
Ｕｎ ｉ ｑｕ ｅ ｎｅ ｓ ｓ ａ ｎｄ Ｍｏ ｍｅ ｎ ｔ Ｂｏ ｕ ｎｄ ｅ ｄｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ Ｇｌ ｏ ｂ ａ ｌ Ｐｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ Ｓｏ ｌ ｕｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｔ ｏ ｔ ｈｅ Ｓｔ ｏ ｃ ｈａ ｓ ｔ ｉ ｃ Ｄｅ ｌ ａ ｙ Ｄｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ Ｅｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｓ
１ 问题 的 提 出
随机 微分 系统 出现 于多 个应 用 领 域 ， 如 生 物 种 群 增 长 模 型 、 神 经 网 络模 型［ ６ － ７ ］ 、 经 济 增 长 模
背 景 的随机 微分模 型 ， 如 描述 一 定生 物 量或 经 济 量 的随机微 分模 型 ¨ ，考 虑其 正 解 是 非 常 明显 的． 基 于上 述观 察 ， 本文 的论题 包 括 相互 联 系在 一起 的
应用 Ｋ ｈ ａ ｓ ｍｉ ｎ ｓ ｋ ｉ ｉ — Ｍａ ｏ 定理 ， 得 到非 线性随机延 迟 摘要 ： 主要构造 了 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ函数 Ｖ （ ｘ） ， 然后 给出一个一般条件 ，
微分方程 （ Ｓ Ｄ Ｄ Ｅ ｓ ） 正整体解存在 ， 且这个解 Ｐ阶矩 有界．
关键词 ： 正整体解 ； Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ函数 ； 矩有界
使 得 随机延迟 微 分 方 程 存 在 唯一 正 整 体 解 ， 且 这个 解 Ｐ阶矩 有 界 ． 文献 ［ ８ ］ 在 证 明 随机 泛 函微 分 方 程 正 整体解 的存 在性 和解 矩有 界 时分别 构造 了不 同的 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ函数 Ｖ （ ｘ ） ． 原 因在 于文献 ［ ８ ］ 在证 明上述两
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｉ ｔ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｓ ａ Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｖ （ ｘ ）ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｎ ｇ ｉ ｖ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｔ ｏ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｕ ｎ ｉ ｑ ｕ ｅ ｇ ｌ ｏ ｂ ａ ｌ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｔ ｏ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ Ｓ ｔ ｏ ｃ ｈ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ Ｄ ｅ ｌ ａ ｙ Ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ Ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ （ Ｓ Ｄ Ｄ Ｅ ｓ ）ａ ｎ ｄ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｓ ａ ｍｅ
ｔ ｉ ｍｅ Ｐ ｔ ｈ— ｍｏ ｍｅ ｎ ｔ ｂ ｏ ｕｎ ｄ ｅ ｄ ｎｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ．Ｔ ｈ ｅ ａ ｂ ｏ ｖ ｅ ｗｏ ｒ ｋ ｉ ｓ ａ ｐ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ａ ｐ ｐｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ Ｋｈ ａ ｓ ｍｉ ｎ—
是 解 的渐 近性 质 ， 包 括 稳定 性 与 有 界性 等 ．但 渐 近
性 质 的讨论 要 以整 体 解 存 在 为前 提 ．如所 熟 知 ，在
局部 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ 条 件下 ， 线 性增 长 条件 即可保 证 整 体 解存在¨ ” ．但这 样 的结 果 在应 用 上 极 受局 限 ，人
两个 方 面 ：正整 体解 的存 在性 ， 解 的矩 有界 ． 本 文采 用文献 ［ １ ５ ］ 类 似 的思路 ， 即构 造 一个 一 般 条件 ， 使得 随机微 分 方程存 在 唯一整 体解 ， 且 这个
解 Ｐ阶矩有 界． 不 同之 处 在 于本 文 构 造 的 一般 条 件
型 等 ，近年 来越来 越 受 到人 们 的重 视 ．对 于随 机 延 迟 微分 方程 的研 究 也 越 来越 多 ［ ７ － １ ５ ］ ，其 中心 问题
Ｗａ ｎ ｇ Ｌ ｉ ｎ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ｄ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｇ ｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｇ ｕ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ５ １ ０ ５ ２ ０ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
第３ ０卷 第 １期
２ ０ １ ３年 ３月
广 东 工业大 学 学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｖｏ ｌ ＿ ３ ０ Ｎｏ ．１ Ｍａ ｒ ｃ ｈ ２ ０１ ３
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ７ — ７ １ ６ ２ ． ２ ０ １ ３ ． 叭． ０ １ ３
随 机 延 迟 微 分 方 程 的 正 整 体 解 及 矩 有 界
王 琳
（ 广东工业大学 应用数学 学院 ， 广东 广州 ５ １ ０ ５ ２ ０ ）
中 图分 类 号 ： ０ ２ １ １ ． ６ ３ 文献标志码 ： Ａ
文章编号 ： １ ０ ０ ７ — ７ １ ６ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ７ ３ — ０ ３
Ｕｎ ｉ ｑｕ ｅ ｎｅ ｓ ｓ ａ ｎｄ Ｍｏ ｍｅ ｎ ｔ Ｂｏ ｕ ｎｄ ｅ ｄｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ Ｇｌ ｏ ｂ ａ ｌ Ｐｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ Ｓｏ ｌ ｕｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｔ ｏ ｔ ｈｅ Ｓｔ ｏ ｃ ｈａ ｓ ｔ ｉ ｃ Ｄｅ ｌ ａ ｙ Ｄｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ Ｅｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｓ
１ 问题 的 提 出
随机 微分 系统 出现 于多 个应 用 领 域 ， 如 生 物 种 群 增 长 模 型 、 神 经 网 络模 型［ ６ － ７ ］ 、 经 济 增 长 模
背 景 的随机 微分模 型 ， 如 描述 一 定生 物 量或 经 济 量 的随机微 分模 型 ¨ ，考 虑其 正 解 是 非 常 明显 的． 基 于上 述观 察 ， 本文 的论题 包 括 相互 联 系在 一起 的
应用 Ｋ ｈ ａ ｓ ｍｉ ｎ ｓ ｋ ｉ ｉ — Ｍａ ｏ 定理 ， 得 到非 线性随机延 迟 摘要 ： 主要构造 了 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ函数 Ｖ （ ｘ） ， 然后 给出一个一般条件 ，
微分方程 （ Ｓ Ｄ Ｄ Ｅ ｓ ） 正整体解存在 ， 且这个解 Ｐ阶矩 有界．
关键词 ： 正整体解 ； Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ函数 ； 矩有界
使 得 随机延迟 微 分 方 程 存 在 唯一 正 整 体 解 ， 且 这个 解 Ｐ阶矩 有 界 ． 文献 ［ ８ ］ 在 证 明 随机 泛 函微 分 方 程 正 整体解 的存 在性 和解 矩有 界 时分别 构造 了不 同的 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ函数 Ｖ （ ｘ ） ． 原 因在 于文献 ［ ８ ］ 在证 明上述两
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｉ ｔ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｓ ａ Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｖ （ ｘ ）ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｎ ｇ ｉ ｖ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｔ ｏ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｕ ｎ ｉ ｑ ｕ ｅ ｇ ｌ ｏ ｂ ａ ｌ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｔ ｏ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ Ｓ ｔ ｏ ｃ ｈ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ Ｄ ｅ ｌ ａ ｙ Ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ Ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ （ Ｓ Ｄ Ｄ Ｅ ｓ ）ａ ｎ ｄ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｓ ａ ｍｅ
ｔ ｉ ｍｅ Ｐ ｔ ｈ— ｍｏ ｍｅ ｎ ｔ ｂ ｏ ｕｎ ｄ ｅ ｄ ｎｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ．Ｔ ｈ ｅ ａ ｂ ｏ ｖ ｅ ｗｏ ｒ ｋ ｉ ｓ ａ ｐ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ａ ｐ ｐｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ Ｋｈ ａ ｓ ｍｉ ｎ—
是 解 的渐 近性 质 ， 包 括 稳定 性 与 有 界性 等 ．但 渐 近
性 质 的讨论 要 以整 体 解 存 在 为前 提 ．如所 熟 知 ，在
局部 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ 条 件下 ， 线 性增 长 条件 即可保 证 整 体 解存在¨ ” ．但这 样 的结 果 在应 用 上 极 受局 限 ，人
两个 方 面 ：正整 体解 的存 在性 ， 解 的矩 有界 ． 本 文采 用文献 ［ １ ５ ］ 类 似 的思路 ， 即构 造 一个 一 般 条件 ， 使得 随机微 分 方程存 在 唯一整 体解 ， 且 这个
解 Ｐ阶矩有 界． 不 同之 处 在 于本 文 构 造 的 一般 条 件
型 等 ，近年 来越来 越 受 到人 们 的重 视 ．对 于随 机 延 迟 微分 方程 的研 究 也 越 来越 多 ［ ７ － １ ５ ］ ，其 中心 问题
Ｗａ ｎ ｇ Ｌ ｉ ｎ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ｄ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｇ ｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｇ ｕ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ５ １ ０ ５ ２ ０ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
第３ ０卷 第 １期
２ ０ １ ３年 ３月
广 东 工业大 学 学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｖｏ ｌ ＿ ３ ０ Ｎｏ ．１ Ｍａ ｒ ｃ ｈ ２ ０１ ３
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ７ — ７ １ ６ ２ ． ２ ０ １ ３ ． 叭． ０ １ ３
随 机 延 迟 微 分 方 程 的 正 整 体 解 及 矩 有 界
王 琳
（ 广东工业大学 应用数学 学院 ， 广东 广州 ５ １ ０ ５ ２ ０ ）