概率论与数理统计书

例如：抛一枚硬币出现正面或背面现象‘
口袋里有红、黄、蓝三色球若干，随便取一球是红
球这一现象，向某一目标打一发炮弹，是否击中目标
等。
（我们这个课程研究的对象）
3
1.1.2 随机试验
试验：指对研究对象的观测，一次观测称为 一次试验。
随机试验：指对随机现象的观测，一次
观测称为一次随机试验。比如：抛一次
硬币或一次抛多枚硬币，观测出现正面
CH1 随机事件与概率
§1.1 随机试验 1.1.1 研究对象的分类 确定性问题 : 在一定的条件下，必然会发生的问题。比 如：弹簧受到外力作用会发生形变，水从高处往低处 流，同性电相斥、异性电相吸等。
（高等数学、线性代数等课程研究的对象）
2
不确定问题:研究对象的某种现象在出现之前我 们不知
道它是否会发生。
每次从口袋中取2个球（有放回）。

连续向一个目标发射10法炮弹。 连续观察一周每天的下雨情况。
买彩票中奖，如此等等。
6
§1.2 随机事件与样本空间
1.2.1 基本事件与样本空间
基本事件 指随机试验中，其每一个可能出现 的结果。
样本空间 指基本事件的全体组成的集合
基本事件称为样本空间的点。
7
参考上图解释
15
逆事件 发生的属于样本空间，但不属于 A的事件，称为A的逆事件，记为 A 。
A
A
在例2中，如果A=｛1，3，5｝，
则
A 2, 4, 6
16
事件的差 ：在试验中，事件A发生而事 件B不发生的事件称为事件A与事件B的 差。记为A－B。
结论： A B
AB。
ຫໍສະໝຸດ BaiduA B
A－B
在例3中，A-B=｛2,7,a,c｝
mA 1 ( N 1)
k 1
( N 1) P( A) 1 P( A) 1 k N
k 1
38
例11、盒中有a个黑球，b个白球，把球随机 地一只只取出（不放回），求事件A：―第k
（1≤ k ≤ a＋b）次取到黑球”的概率。 表
1 解：n Pakb , m Ca Pakb11
解决这类问题，最好的方法是用图示法！
22
注 意
基本事件的重要性质：
（1）所有基本事件，构成一个互不相容的事
件组。
（2）所有基本事件的并是必然事件Ω 。
23
§1.3随机事件的概率 1.2.1事件的频率 频率：如果在n次重复随机试验中，事件A发
生了nA次，那么就称比值 fn(A)为事件A发生
nA 的频率，其中 f n ( A) 。 n
的个数等。
4
随机试验必需满足： （1）在相同条件下，试验可以重复进行。 ――可重复性 （2）每次试验中可以出现不同的结果，而不 能预先知道发生哪种结果。――偶然性 （3）试验中一切可能出现的结果可以预先知
道。－－必然性（统计规律性） 随机试验一般用字母E表示。
5
例1 一些随机试验的例子

口袋里分别有红、黄、蓝球3个，
对任意随机试验E，频率具有性质：
24
（1）对任意事件A，0 f n ( A) 1 。
（2） f n () 1 。 （3）对任意有限多个互不相容的事件A1、 A2 … Am 有 f n ( Ai ) f n ( Ai ) 。
i 1 i 1 m m
说明 由频率的定义可见，如果事件A发生的
29
概率的加法公式可推广到有限个事件的并的
情形。如：
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC )
例6 1.已知 P( A) 0.5, P( A B) 0.2，则 P( A B) （A）0.4；（B）0.5；（C）0.3；（D）0.7。
17
事件的相容性 定义：在一次试验中，若事件A、B不能同时
发生，则称事件A、B为互不相容，记为：
A· B＝Ф 。否则称两事件相容。
结论：从基本事件说，互不相容事件没有公 有的基本事件。显然，在一次试验中，两个 基本事件不能同时发生，所以任何两个基本 事件都是互不相容事件。
18
事件的运算律
交换律：A∪B＝B∪A，A· B＝B· A 结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)， (A· C＝A· C) B)· (B· 分配律：(A· B)∪C＝(A∪C)· (B∪C) ， (A∪B)· C＝(A· C)∪(B· C)
件下A发生的概率为事件A关于B的条件 概率，记 。 P( A | B)
41
注意：条件概率也是概率。所以，它满足概率 的一切性质 。 如： P( A B) P( A B) 1 但 P( A B) P( A B) P( A) 未必成立。
13
例3
A=｛1，2，7，8，a,b,c｝, B=｛1,5,8，b,e｝ 则 AUB=｛1，2，5，7，8，a,b,c,e｝

14
事件的交（积） 定义：在试验中，事件A与事件B同时发生 的事件称为事件A与事件B的交（或积）， 记为A∩B（或A· B）。 在例3中， A∩B=｛1，8，b｝
( ( 结论： A B) A ； A B) B 。
29 P( A) 57
另解：对A的逆事件 A 有
nC
3 ， A 20
m C
3 16 ；
C 29 P( A) 1 C 57
35
3 16 3 20
注意有放回取球与无放回取球的区别。
例10、 盒中有a个黑球，b个白球，从中有放 回的抽取n个球，求事件A：―刚好取到k个黑 球”的概率。
m P( A) n
一般方法：通过计算基本事件个数，计算概率。
33
例7、从1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数
字中，随机地取出3个数字，组成一个三位数，
求这个三位数为奇数的概率。 解： n P
3 ， 9
m 5 m 5 P ；P( A) n 9
2 8
例8、连续三次抛一枚硬币，求恰好出现一次
记为Ω。比如：例2中的点数小于等于6的集 合。

不可能事件：每次试验中不可能发生的事件，
记为Φ。比如：例2中的点数大于6的集合。
10

1.2.3事件之间的关系及其运算

定义：若事件A发生必导致事件B发生，则称
事件B包含事件A。记为：B A或A B。
比如例2中，A：表示小于3点事件，B表示小 于5点事件。）
德摩根公式： A B A B
A B A B
19
例4、在一个口袋里装有红、黄、白三种球， 每种球都不止一个，一次任取两个球，观察 它们的颜色。设A＝{两个同色球}，B＝{至少
一个红色球}，问A∪B由哪些基本事件组成？
解 用R表示红球，Y表示黄秋，W 表示白球则 ：
A=｛RR，YY，WW｝，B=｛RR，RY，RW｝
1 Ca Pakb11 a P( A) k Pa b ab
明 前 k-1 次 是 从 a+b-1 个 球 中 取 出 的
39
1 Ca (a b 1)! a 另解： P( A) (a b)! ab
有放回是有序行为，无放回是无序行为
1-4
1.4 条件概率
1.4.1条件概率
互不相容，则有：
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
这3条也是概率的三个基本性质，此外概率 还有一些其他性质：
28
（1） P() 0 （2） P( A) 1 P( A) （3）加法定理 P( A B) P( A) P( B) P( AB) （4） P( A B) P( A) P( AB) （5）若 A B ，则有 P( A) P( B) 。
26
（2）概率的公理化定义 定义2：设E是随机试验，Ω是E的样本空间，
对于E的每一个事件A赋予一个实数值，记为
P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数 P()
满足下列条件：
（1）非负性： （2）规范性：
P( A) 0 P ( ) 1
27
（3）可列可加性：设事件 A1 , A2 ,, An
21
例5、下列命题中，正确的有哪些？
（1）若AB，则AB＝A； 对 （2）若AB，则 A B ； （3） A B B A B ； （4）若 A B ，则 A B ； （5） A B C AC ；C 对 B 对 （6）若 A B ，则 A B ；
正面的概率和恰好出现二次正面的概率。 解： n 2
3，
mC
1 3
3 ；P ( A) 8
34
对于初学者，可以用描述方法，求解类似问题。
例9、袋中有16个白球，4个红球，从中取出3 个，求至少有一个是红球的概率。
3 1 2 2 1 3 解：n C20 ， C4C16 C4 C16 C4 ； m
例2

投掷一枚骰子一次，有6个基本事件，即
点数：1 2 3 4 5 6。 该随机试验的样本空间为：
1, 2, 3, 4, 5, 6
8
1.2 .2 随机事件
随机事件： 某些基本事件组成的集合。 又称为复合事件。 比如，例2中的点数不超过3点的集合。
9
几个特殊的随机事件

必然事件：每次试验中必然发生的事件，
31
特殊概型————— 等可能概型
等可能概型（古典概型）：如果一个随机试 验E具有如下的特征，则称为等可能概型。 （1）基本事件的全集是由有限个基本事件
组成的； （2）每一个基本事件在一次试验中发生的可
能性是相同的。
32
古典概型中概率的计算
定义：在古典概型中，若样本空间包含的基 本事件总个数为n，其中事件A包含的基本事 件个数为m，则事件A的概率为
11
事件相等
若事件 A B B 且 ，则称 A
事件A和事件B相等。
记为A＝B 。即：事件A与B所包
含的基本事件是一样的。
12
事件的并（或称和）
定义：若事件A发生或事件B发生，则称这样
的事件为并事件，记为：A B。
结论：( A B) A ；( A B) B 。
B A
注：包括事件A与B 同时发生
A∪B=｛RR，RY，RW，YY，WW ｝
20
思考：设A、B、C为三个事件，试将下 列事件用A、B、C表示出来。 （1）三个事件都发生； （2）三个事件都不发生； （3）三个事件至少有一个发生； （4）A发生，B、C不发生； （5）A、B都发生，C不发生；
（6）三个事件中至少有两个发生
（7）不多于一个事件发生 ； （8）不多于两个事件发生。
6 12
2 4 4 8
例10、一盒中含有N－1个黑球，一个白球，每 次从盒中随机地取一只球，并还入一只黑球， 这样继续下去，求事件A：―第k次取到黑球” 的概率。
借助逆事件计算概率是概率计算中比较常用的方法。
37
解：显然，这是一个古典概型的问题，样本 空间的大小为 N k ；而要求概率的事件A所包 含的基本事件个数就不容易计算了，但可考 虑其逆事件
在实际问题中，除了要知道事件A的概率 P(A)
外，有时还要考虑在“已知事件B发生”的条 件 下，事件A发生的概率。一般情况下，两者的 概率是不相等的，为了区别所见，我们把后者 P( A B) 称为条件概率。
40
条件概率定义

定义：若A、B为同一随机试验的两个事
件，且
P( B) ，则 称在B发生条 0
k n k nk
C ab 解：P( A) n ( a b)
（N个球中有k个黑球）
例11、 12名运动员中有4名种子选手，现将 运动员平均分成两组，问4名种子选手：（1） 各有两人分在一组的概率；（2）分在同一组 的概率。
36
15 解（1）：n C ，m C C ； P( A) 33 1 2 （2）： m C8 ； P( A) 33
可能性愈大，频率就愈大；另一方面，频率
还有稳定性，即当n很大时，频率稳定在一个 固定值附近摆动。
25
1.3.1 概率的定义
（1）概率的统计定义 定义1：在同一组条件下所作的大量重复试验 中，如果事件A发生的频率总是在一个确定的 常数 p 附近摆动，并且逐渐稳定于p，那末 数 p 就表示事件A发生的可能性大小，并称 它为事件A的概率，记作 P(A) 。
30
2、设 P( A) 0.6, P( A B) 0.8 ，且
P( A B) 0.24 ，则 P(B) （ ）。
3、设A、B、C 为随机事件，且 P( A) P( B)
P(C ) 0.25 ，P( BC ) 0 ，P( AC) P( AB)
0.125，则A、B、C至少出现一个的概率是 。