数值解与解析解

解析解是解的形式可以表达为一个显式函数的表达式的解；而数值解其解的形式不能表达为显式函数，只能通过数值计算的方式求解，得到的是一系列离散的数值，不能表达为一个明确的函数的形式。对于大多数问题是得不到解析解的，只能得到数值解。能得到解析解的只是一小部分问题，而且通常有比较严格的限制条件。解析解能够很直观的体现各参数之间的关系，对于定性分析是很重要的。对于得不到解析解的问题，进行数值计算得到数值解，对于工程应用很重要。

所谓精确解和近似解，是从算法上决定的。一般的力学模型都是有一定的使用和假设条件的，主要是看在求解有关的问题时，计算的结果与模型的真实值的误差是否为零，如果为零，则是精确解法，如算法本身不能保证得到真实值，则是近似解法，与其是否是解析解无关，与是否是手算和机算也无关。简单的例子，如结构力学中的结构有限元法得出的是精确解，而对于多高层结构的分层法则是近似解法。以上两种方法都是数值解法，但有限元法（指结构力学中的矩阵位移法）直接求解的结构的平衡方程，求解过程中没有对方程进行近似的假设，而分层法对则是利用力矩分配法的研究成果，对于不符和利用力矩分配法的高层结构进行了近似，所以求得的是近似解。有限元法多在计算机上进行实现，而分层法是早期计算机没有出现或还不普及的时候，工程师们解决实际问题的时候所采用的方法。分层法所得到的结果虽然是近似的，与真实结果有一定的误差，但只要误差在一定的范围内，则是可以作为设计的依据进行使用的。再如有限元法和力矩分配法，两种算法都是精确解法，只要单元取得足够多，或者分配的次数足够多，算法本身能够保证其结果是精确解。但是很多情况下是没有必要的，单元太多或者分配次数太多，往往会带来计算量过大的问题，只要误差在一定的范围内，是可以满足工程应用的要求的。

对于非线性问题，由于计算上的困难，一般得到的是近似的数值解。

对于该问题的理解，楼主可以看看龙驭球院士编的《结构力学教程》。

解非线性方程组的方法有很多，比如直接降维、搜索（用最小二乘、牛顿迭代及最优化法）、连续法等等！直接降维操作较难，求解时间长；牛顿迭代有局部收敛性；最优化必须给出真实解的初始值；连续发需要构造同伦方程。