数学建模之灰色预测模型

一、灰色预测模型

简介（P372）

特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。

优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。

缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。

1、GM(1,1)预测模型

GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 1.1模型的应用 ①销售额预测

②交通事故次数的预测

③某地区火灾发生次数的预测

④灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。（百度文库）

⑤基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档） ⑥网络舆情危机预警（下载的文档） 1.2步骤

①级比检验与判断

由原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())x x x x n =计算得序列的级比为

(0)(0)(1)(),2,3,

,.()

x k k k n x k λ-==

若序列的级比()k λ∈ 221

2

(,)n n e e

-++Θ=，则可用(0)x 作令人满意的GM(1,1)建

模。

光滑比为

(0)1

(0)

1

()

()()

k i x k p k x

i -==

∑

若序列满足

[](1)

1,2,3,,1;()

()0,,3,4,

,;0.5.

p k k n p k p k k n ϕϕ+<=-∈=<

则序列为准光滑序列。

否则，选取常数c 对序列(0)x 做如下平移变换

(0)(0)()(),1,2,

,,y k x k c k n =+=

序列(0)y 的级比

0(0)(1)

(),2,3,

,.()

y y k k k n y k λ-=∈Θ=

②对原始数据(0)x 作一次累加得 (1)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())(11+(2),,(1)()).x x x x n x x x x x n ==++（），（）

建立模型:

(1)

(1),dx ax b dt

+= （1）

③构造数据矩阵B 及数据向量Y

(1)(1)(1)(2)1(3)1,()z z B z n ⎡⎤- ⎢⎥- ⎢

⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- 1⎣⎦(0)(0)(0)(2)3()x x Y x n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

（） 其中：(1)(1)(1()0.5()0.5(1),2,3,,.z k x k x k k n =+-=）

④由

1ˆˆ()ˆT T a

u

B B B Y b -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦

求得估计值ˆa

= ˆb = ⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为

ˆ

(1)

(0)ˆˆˆ(1)(1)k 0,1,,1,,ˆˆak b b x

k x e n a a -⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭

，

则模型还原值为

(0)(1)(1)ˆˆˆ(1)(1),1,2,,1,.x k x k x k n +=+-=-

⑥精度检验和预测

残差

(0)(0)ˆ()()(),1,2,,,k x k x

k k n ε=-= 相对误差

(0)

|()|

()

k x k ε∆=

相对误差精度等级表

级比偏差

10.5()1(),10.5a k k a ρλ-⎛⎫

=-

⎪+⎝⎭

若()k ρ<0.2则可认为达到一般要求；若()k ρ<0.1，则可认为达到较高要求。

利用matlab 求出模型的各种检验指标值的结果如表

经过验证，给出相应预测预报。

2、新陈代谢模型

灰色新陈代谢模型是一个不断考虑新信息的预测模型，它考虑了随着时间推

移相继进入系统的扰动因素带来的影响，在不断补充新信息的同时，及时去掉旧信息，使整个系统一直处于更新和发展的过程中，更符合现实世界的变化。 与GM(1,1)模型相比，既能充分发挥传统GM(1,1)模型仅利用少量数据, 就能获得较高预测精度的优点,又能反映出数据的变化趋势, 从而使预测结果的精度获得更进一步的提高。局限性在于该模型适合预测具有较强指数规律的序列, 只能描述单调变化的过程。 2.1模型的应用

①深圳货运量预测；（下载文档）

②天津市城市人均住宅建筑面积及非农业户籍人口总数预测（下载文档）； ③网络舆情危机预警（下载文档）。 2.2步骤

①建立新陈代谢数据序列

原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())x x x x n =，用最新信息(0)(1)x n +替换最初数

据(0)(1)x ，即得到新陈代谢数据序列(0)(0)(0)(0)((2),,(),(1))y x x n x n =+。

②后续步骤同GM(1,1)模型。

③用②计算出的最新结果再次替换最初信息(0)(2)x 得到新序列重复步骤②，以此类推，将计算结果制表并分析。

3、波形预测

波形预测, 是对一段时间内行为特征数据波形的预测。当原始数据频频摆动且摆动幅度较大时，可以考虑根据原始数据的波形预测未来的行为数据发展变化, 以便进行决策。从本质上来看,波形预测是对一个变化不规则的行为数据列的整体发展进的预测。 3.1 模型的应用

①区域降水量预测（下载文档）

②运量需求不平衡航线下客流量预测（下载文档） ③网络舆情危机预警（下载文档） 3.2步骤

①求出序列折线

由原始数据列((1),(2),,())x x x x n =得出序列X 的k 段折线图形为

[]()()(1)()k x x k x k x k x k '=+-+-

序列X 的折线为

[]{}()()(1)()|1,2,

,1k

x

x k x k x k x k k n '=+-+-=-

②选取等高线

令{}{}max min 11(),()max min k n

k n

x k x k σσ≤≤≤≤==则有

0min 1max min min 1max min min min max min max 1,(),

,(),

,

1(),(0,1,2,

,)

s s i

s s

s i s s

γσγσσσγσσσγσσσγσ==-+=-+-=++==

如果k x 的i 段折线上有γ等高点，则坐标为()

(,)(1)()

x i i x i x i γγ-++-。

③等高点的计算

解方程k x =γ得到折线k x 与γ的交点(0)()x i =(,())(1,2,)i i x x x i ''=，即γ等高点。