2018年春人教版九年级数学下《第28章锐角三角函数》专训含答案专训2同角或互余两角的三角函数关系的应用

2
∵ sin2α＋ cos2α＝ 1，∴ cos2α＝1－
1 2
3 ＝ 4.[来源 学#科#网 Z#X#X#K]
又∵ cos α＞ 0，∴ cos α＝ 23.[来源 学科 网 Z|X|X|K] ∴ 1－ 2sin αcos α＝ sin2α＋ cos2α－ 2sin αcos α＝
（sin α－ cos α） 2＝ |sin α－ cos α＝｜ 1－ 3 ＝ 22
∵ α为锐角，∴
sin
α＋ cos
α＞ 0.∴ sin
α＋
cos
α＝
7 5.
又∵ sin αc·os α＝1225，
∴以 sin α， cos α为根的一元二次方程为
x
2－
7 5x＋
12 25
＝
0.
点拨： 此题用到两方面的知识： (1)公式 sin2α＋ cos2α＝ 1 与完全平方公式的综合运用；
(2) 若 x 1＋ x 2＝p， x 1x 2＝ q，则以 x 1， x 2 为两根的一元二次方程为 6． 解： ∵ sin α是方程 2x2－ 7x＋3＝ 0 的一个根，
来自百度文库
∴由求根公式，得
－（－ sin α＝
7）±
（－ 7 2× 2
）
2－
4
×
2×
3 ＝
7
±5 4.
∴ sin α＝ 12或 sin α＝ 3(不符合题意，舍去 )．
1，即若 α＋ β＝ 90°，则 tan αt·an β＝ 1.
5． 解： ∵ sin2α＋ cos2α＝ 1， sin αc·os α＝1225，
∴ (sin
α＋
cos α)2＝ sin2 α＋ cos2α＋ 2sin
αcos
α＝1＋ 2
12 49 × 25＝ 25. [来源:Z.xx.k.Com]
sin α和 cos
6．已知 α为锐角且 sin α是方程 2x2－ 7x＋3＝ 0 的一个根，求 1－ 2sin αcos α的值．
答案
1． 解： (方法
1)原式＝
（ （
sin A － 3cos 4sin A ＋ cos
A） A）
÷cos ÷cos
A A
sin cos ＝4sin
A －3
A
A
＋
＝ 1
同角间的三角函数的应用
1．已知
tan
A＝
4，求
sin A － 3cos 4sin A ＋ cos
A 的值．
A
2．若 α为锐角， sin α－ cos α＝ 22，求 sin α＋ cos α的值．
余角间的三角函数的应用
3．若 45°－α和 45°＋ α均为锐角，则下列关系式正确的是 ( ) A． sin(45 °－ α)＝ sin(45 °＋ α) B． sin2(45 °－ α)＋ cos2(45 °＋ α)＝ 1 C．sin 2(45 °－ α)＋sin 2(45 °＋ α)＝1 D． cos2(45 °－ α)＋ sin2(45 °＋ α)＝ 1
2． 分 析： 要求 sin α＋ cos α的值，必须利用锐角三角函数之间的关系
件的关系再求解．
找出它与已知条
解： ∵ sin α－ cos α＝ 2，∴ (sin α－ cos α)2＝1，
2
2
即
sin2
α＋ cos2α－ 2sin
αcos
1 α＝ 2.
∴ 1－ 2sin αcos α＝ 1，即 2
3－ 1 2.
x2－ px＋ q＝ 0.
＋sin 2(45 °＋ α)＝ cos2(45 °＋α)＋ sin2( 45°＋ α)＝ 1.
4． 解： tan 1 °·tan 2 °·tan 3 °·… ·tan 88 °·tan 89 °＝ (tan 1 °·tan 89 °) ·(tan 2 °·tan 88 °) ·… ·(tan
44°·tan 46 °) ·tan 45 °＝ 1. 点拨： 互余的两角的正切值的积为
2sin
αcos
α＝
1 2.
∴ (sin
α＋
cos α)2＝ sin2
α＋ cos2α＋ 2sin
αcos
α＝
1＋
12＝
3 2.
又∵ α为锐角，∴ sin α＋ cos α＞ 0.
∴ sin α＋ cos α＝
6 2.
3． C 点拨： ∵ (45 °－ α)＋(45 °＋α)＝ 90°，∴ sin (45 °－ α)＝ cos (45 °＋ α)， sin2(45 °－ α)
专训 2 同角或互余两角的三角函数关系的应用
名师点金： 1．同角三角函数关系：
sin 2
α＋ cos2α＝ 1， tan
sin α＝ cos
α α.
2．互余两角的三角 函数关系： sin α＝ cos(90 °－α ) ， cos α＝ sin (90 °－α） ，
tan α· tan ( 90°－α ) ＝ 1.
4．计算 tan 1 °·tan 2 °·tan 3 °·… ·tan 88 °·tan 89 °的值．
[来源:Z 。 xx。k.Com] [来源 学 科 网Z|X|X|K]
同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用 12
5．已知 sin α·cos α＝ 25(α为锐角 )，求一个一元二次方程，使其两根分别为 α．
tan A－ 3 4 tan A ＋ 1.
cos A
∵ tan A＝ 4，∴原式＝
4－3 4×4＋
1＝
1 17.
(方法
2)∵
tan
A＝
4，∴
sin cos
A A
＝ 4，∴
sin
A
＝
4cos
A.
∴原式＝
4cos A－ 3cos A 4× 4cos A＋ cos A
＝
cos A 17cos A
＝
1 17.