相关函数和相关分析的应用

相关函数和相关分析的应用

一 实验目的

1. 在理论学习的基础上，通过本实验加深对相关分析概念、性质、作用的理解。

2. 掌握用相关分析法测量信号中周期成分的方法。

3. 了解相关分析在工程中应用实际意义，会用相关分析解决实际问题。

二 实验原理及方法

相关是指客观事物变化量之间的相依关系，在统计学中是用相关系数来描述两个变量X 、Y 之间的相关性的，即：

()()[]()[]()[]{}2

122y x y x y x xy xy y E x E y x E μμμμσσσρ----== 式中xy ρ是两个随机变量波动量之积的数学期望，称之为协方差或相关性，表征了X 、Y 之间的关联程度；y x σσ、分别为随机变量X 、Y 的均方差，是随机变量波动量平方的数学期望。

1.相关函数

如果所研究的数据是两个连续随机过程｛)(t x ｝与｛)(t y ｝的测量，假定它们都是平稳(各态历经)的数据。于是，可以引进另外的变量，即)(t x 与)(t y 之间的时间滞后τ，量)(τρxy 称为相关系数，并有：

2122)()()()(⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰

∞+∞-∞+∞-+∞∞-dt t y dt t x dt t y t x xy ρ

式中假定)(t x 、)(t y 是不含直流分量(信号均值为零)的能量信号。分母部分是一个常量，分子部分是时移τ的函数，反映了二个信号在时移中的相关性，称为相关函数。因此相关函数定义为：

⎰+∞∞--=dt t x t y R yx )()()(ττ或⎰+∞

∞--=dt t y t x R xy )()()(ττ 如果)()(t y t x =，有)()(ττxy xx R R =，称)(τxx R 为x(t)自相关函数，即：

⎰+∞

∞--=dt t x t x R xx )()()(ττ 若 )(t x 与)(t y 为能量有限信号且为实数函数，则其相关函数为：

⎰+-∞→-=22

)()(1)(lim T T T xx dt t x t x T R ττ ⎰+-∞

→-=22)()(1)(lim T T T xy dt t y t x T R ττ 计算时，令)(t x 、)(t y 二个信号之间产生时差τ，再相乘和积分，就可以得到τ时刻二个信号的相关性。连续变化参数τ，就可以得到)(t x 、)(t y 的相关函数曲线。

相关函数描述了两个信号或一个信号自身波形不同时刻的相关性（或相似程度），揭示了信号波形的结构特性，通过相关分析我们可以发现信号中许多有规律的东西。相关分析作为信号的时域分析方法之一，为工程应用提供了重要信息，特别是对于在噪声背景下提取有用信息，更显示了它的实际应用价值。

2．自相关函数性质的研究

随机信号在工程上常用周期信号、周期信号加随机噪声、窄带随机和宽带随机信号做为近似，这四类信号的自相关函数具有代表性。实验要求通过33220A 信号发生器产生信号，在CF-920傅里叶分析仪上选择适当的采样频率并按下自相关功能键分别对这四种信号进行分析。

（1）设正弦信号：)2sin()(0θπ+=t f X t x ，根据自相关函数的定义

[])()()(ττ+=t x t x E R xx 。

假定θ在)2,0(π上服从均匀分布

πθπθ2021)(≤≤=p

正弦波的自相关函数为

[]τπθθτπθππτπ02200022cos 2

)(2sin )2sin(2)(f X d t f t f X R xx =+++=⎰ 因此，正弦波的自相关函数是幅值等于正弦波均方值的一余弦函数，在所有的时间滞后上，其相关函数的包络保持常数。

t

图2.1正弦波 图2.2正弦波自相关

正弦波的自相关函数是振幅等于原正弦波圴方值的一条余弦波，可看到在所有的滞后上正弦波的相关函数的包络保持常数。假定数据保持平稳，由图2.1可看出有了记录长度为T 的时间历程，就很容易精确地预测正弦波在未来任意时刻的值。

（2）宽带随机信号，在很宽的带宽B 上数据的自谱是均匀的，即

B f B f G

f G xx ≥=≤≤=0

0)( 则)22sin (2cos )(0τ

πτπτπτB B GB df f G R B xx ==⎰

图2.3宽带机信号 图2.4宽带随机信号自相关 此相关函数的包络下降很快，第一个零交点是)(21B =τ，从零到T 精确时间历程信息无助于未来值的预测，未来值是指很近的)1B 一直到观察记录的结尾。由信号的时间历程记录，这个结论很清楚地构成了宽带随机噪声的外观特性。也就是说，时间历程的混乱特性，过去的记录不能有效地帮助预计数据很近的未来值。

（3）窄带随机信号，假定在窄的频带B (以0f 为中心频率)上，信号的自功率谱均匀的分布；即

其它0

22)(00=+≤≤-=B f f B f G

f G xx 则τπτπτπτ02cos )sin (

)(f B B GB R xx =

图2.5窄带随机信号 图2.6窄带随机信号自相关

若B 很小则第一个交点B 1=τ处，这个相关函数有一个缓慢趋于零的包络。如图2.6所示，从零到T 精确时间历程的信息在帮助预测)(t x 未来值时准确性越来越差。因时间历程包络的缓慢变化，以前的观察值有助于改进近处未来值的预测。由于时间历程包络变化的随机性，在预测比较远的未来值时就没有用了。

（4）正弦波加宽带随机噪声。这种情况的自相关函数就是简单的正弦信号的自相关函数与宽带随机信号的自相关函数之和。即

)22sin (2cos 2)(02τ

πτπτπτB B GB f X R xx +

=

t

图2.7正弦加随机噪声图 图2.8正弦加随机噪声自相关 其中自相关函数很快衰减反映着宽带随机信号的性质，等幅的余弦波反映着正弦信号的性质。从图中可知，能够预测很远的未来值，其精度比只用概率密度函数信息所提供的预测要好。

由以上四例可以看到自相关函数的对称性，周期性和取值的变化规律，并证实自相关函数丢掉了原信号的相位信息这一重要的性质。

3．自相关函数在测量中的应用

自相关函数的工程意义是对传播问题的应用，在图1所示的试验装置中，敲击试件的一端，试件所产生的振动信号由其另一端上的加速度传感器所感受，经电荷放大器送入CF －920的通道A ，对通道A 作相关分析，相关函数的最大值所对应的时移ｔ即为信号在试件中传播的时间，已知振动波在钢梁中的传播速度V=5172米/秒，则可计算出钢梁的长度S =V ｔ。

三 实验步骤

图3为实验示意图。按CF-7200的操作使用步骤进行信号分析，预先选择好参数并选择合理的输入电平和采样频率。通过调整输入参数的方法，观察相关函数的变化规律，当达到预想的结果后，即可通过CF-7200拷贝图形，最后整理出实验报告。实验内容包括：

1、典型信号的自相关函数