图形的相似(小结与复习7))(湘教版)

(1)已知△ABC中，BC=8，AD是BC上的高，AD=12，E、 F分别在AB、AC上滑动(不与点B、C重合)，且EF∥BC， 以EF为一边作△ABC的内接矩形EFGH。 求：①EF在什么位置时，此矩形的邻边之比是1∶2？
②EF在什么位置时，矩形EFGH是正方形？（提供 2个图形进行分析） A A E F B
y x DE 10 26 2 24
65 DE 4, a 9
1.如图，正方形ABCD中，E是AD的中点，EF BE ， 求证：ABE
A
∽ EBF
E D F
B
C
2.如图，ABC中，BC 12, 高AD 10, MN // AB, PM // AC , BM x, PMN面积为y，求y与x的函数解析式，且点M在 BC 何处时，PMN的面积最大。 A
A B' M B D
第25题
N E
C' C
大显身手
（2011年）如图，Rt△ABC中， ∠A=30°，BC=10㎝，点 Q在线段BC上从B向C运动， 点P在线段BA上从B向A运 动。Q、P两点同时出发， 运动的速度相同，当点Q到 达点C时，两点都停止运动。 作PM⊥PQ交CA于点M， 过点P分别作BC、CA的垂 线，垂足分别为E、F。 （1）求证：△PQE∽△PMF；
5.如图，这是由三个全等的正方形组成的广告 牌。你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由 （全等三角形除外） A C E G
B
1 D
2
F
3
H
∠1+ ∠2+ ∠3＝
度
6、如图 ABCD ,E为DC边上的一点， 连接AE并延长交BC的延长线于F，在这个 图形中，有几对相似三角形？若CF:CB＝ 1:2, S⊿CEF＝4，求S⊿AED 和S⊿ABF。
A F B D C
10.（10分）(探究创新题)一块直角三角形木板的一条直角
边AB长为1.5 m,面积为1.5 m2,工人师傅要把它加工成一个
面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方
案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2.
你认为哪位同学设计的方案较好?试说明理由.(加工损耗忽 略不计,计算结果中可保留分数)
A O B E F D
C
7.如图,添加一个条件,使则△ABC∽△AED,则这条件可以 是 .
A D S A E R C
E
B
B C
P D Q
8.如图所示,在△ABC中,底边BC=60cm,高 AD=40cm, 四边形PQRS是矩形形. (1)△ASR与△ABC相似吗?为什么? (2)求矩形PQRS的边长.
C D A
E
(1)由题意知，易得ABC ∽ADE,得y与x 的函数关系式。 5 y x0 x 10 13
x y DE xy DE , , 2 36 24 260 24 AD, AE的长恰好是方程t 2 6t a 0的两个根，
B
(2)ABC ∽ ADE
例3：已知如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线， EF⊥AD于点F，AF＝FD。 求证：DE2＝BE· CE 证明：连结AE ∵EF⊥AD，AF=FD ∴AE＝DE ∴∠ADE＝∠DAE ∵∠BAD＝∠CAD ∴∠B＝∠CAE 又∵ ∠BEA＝∠CEA ∴△ACE∽△BAE ∴ AE/BE ＝ CE/AE 即AE2＝BE· CE E ∴DE2＝BE· CE
A
B
巩固提高： 在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A 开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始 沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、 B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？
B
4cm/秒
Q
8
2cm/秒
A
P
16
C
分析：由于∆PBQ与∆ABC有公共角∠B；所以 若∆PBQ与∆ABC相似，则有两种可能一种情况
(1)求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围;
(2)求DE多长时,矩形DECF的面积最大?最大面积是多少?
B E D
C
F
A
相似三角形应用的复习
2.如图，在⊿ABD和⊿ABC中， ∠C=∠D=90°，BD与AC交于 点E，EF⊥AB与F，求证： AC· AE+BD· BE=AB2 .
D E F C
P
N
B
M
D
C
3、Rt△ABC中， ∠ACB＝90 °，CD⊥AB于D。 （1）写出图中所有的相似三角形，并选择其中一 对说明理由。 （2）若AD＝1cm, BD＝4cm,请你求出CD的长度。 C
∟
A
B
D
4.如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P
从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点 Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。 如果P、Q分别从B、C同时出发，问： ①经过多少秒时⊿CPQ∽ ⊿CBA; ② 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与 A ⊿ABC相似？ A Q B P C Q B P C
【解析】由AB=1.5 m,S△ABC=1.5 m2,可得BC=2 m.
由图1，若设甲设计的正方形桌面边长为x m,由
DE∥AB,
得Rt△CDE∽Rt△CBA,
思 考 题
1. 在△ABC中, ∠ACB= 90。过AB上任意一点D作DE⊥BC ， 于E，DF⊥AC于F, 若BC=3, AC= 4, 设DE= x, 矩形面 积为y.
为
PB QB AB CB
,即PQ∥AC;另一种情况为
PB QB CB AB
二 .学以致用
一块直角三角形木板的一条直角边AB长1.5m， 面积为1.5m2。要把它加工成一个面积最大的 正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别如 图1和图2所示，你能用所学过的知识说明谁 的加工方法符合要求吗？（加工损耗忽略不 计，计算结果保留分数） B B
相似三角形的复习
例2 如图，已知：DE ∥BC，DC和BE相交于P点，连结AP交DE 于M，延长AP交BC于N点，求证：DM=ME，BN=NC。
A D
M
要证DM EM，需利用中间比过渡，由DE // BC ,
E
DM AD 推得ADM ∽ ABN , 得 BN AB AD DE DE EP EP ME 同理可证 , , AB BC BC PB PB BN
A
B
A
B
G A
G A D
F
DC E
H F
B
K E B C
A
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B
C
练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90。，AC=4，BC=3， （4）如图4，三角形内有并排的n个 正方形，它们组成的矩形内节于 ⊿ABC，请写出正方形的边长。
G A
G A D
F
DC E
H F
B
C
K E B C
E
F
B
H
D G C
H
DG C
练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90 ，AC=4，BC=3， （1）如图1，四边形DEFG为 ⊿ABC的内接正方形，求正方形 的边长。
。
C G F
A
D
E
B
练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90 ，AC=4，BC=3， （1）如图1，四边形DEFG为 ⊿ABC的内接正方形，求正方形 的边长。 （2）如图2，三角形内有并排的 两个相等的正方形，它们组成的 矩形内接与⊿ABC，求正方形的 边长
9．在直角坐标系中，点A（－2，0），B（0，4），C （0，3）。过点Ｃ作直线交x轴于点Ｄ，使以Ｄ、Ｏ、 Ｃ为顶点的三角形与ΔAOB相似，这样的直线最多可 以作（ ）条 A .2 B .3 C.4 D. 6
B C
D
AD
OD
D
大显身手
（2010年）如图，已知 ∆ABC中∠A=90°， AB=6 ， AC=8，D是 AB上一动点， DE∥BC，交AC于E， 将四边形BDEC沿DE 向上翻折，得四边形， 与AB、AC分别交于点 M、N. 证明：∆ADE ∽△ ABC
。
C G F
A G
A D
D
C
E
B
H
F
K E B
C
练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90。，AC=4，BC=3， （1）如图1，四边形DEFG为 ⊿ABC的内接正方形，求正方形 的边长。 （2）如图2，三角形内有并排的 两个相等的正方形，它们组成的 矩形内接与⊿ABC，求正方形的 边长 （3）如图3，三角形内有并排的 三个相等的正方形，它们组成的 矩形内接于⊿ABC，求正方形的 边长。
P B
N
ຫໍສະໝຸດ Baidu
DM ME , DM ME C BN BN
同理可证：BN=NC
例3 如图，△ABC中，C=90°，AC=10，BC=24，点D在AC上运 动（不运动至点A），过点D作DE AB，设AD=x，AE=y。（1）求 y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；（2）若点D运动到 AC上有某个位置时，AD、AE的长恰好是一元二次方程 2 t 6t a 0 的两个根，求DE的长和 a的值。
图2 图1 C D F E A E D
C
F
G
A
二 .学以致用 5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=12, 点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q从B点出发向 C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B两地同 时出发，几秒后△ PBQ与原三角形相似？
C
Q
B
P
A
3、讨论思考题(讨论后回答)