第九讲 图形的剪拼(一)

第九讲图形的剪拼（一）

把一个几何图形剪成几块形状相同的图形，或是把一个几何图形剪开后拼成另一种满足某种条件的图形，完成这样的图形剪拼，需要考虑图形剪开后各部分的形状、大小以及它们之间的位置关系.

例1 如右图所示是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形？

分析如果我们不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它的面积，就要求把原来三个正方形分成四个面积相等的部分.每部分面积应是正方形面积的

图形，于是我们就有了如图（2）的分法.

仿照例1的分法我们把如右图这样由五个正方形组成的图形，分成四块

正方形，则可把每个正方形分成四个面积相等的小正方形，每块图形应有五个这样的小正方形，如右图所示.

例2 把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.

分析分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成一半，得到如下左图所示的图形.

分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右图所示的符合条件的图形.

例3长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个正方形.

分析已知长方形面积9×4=36（平方厘米），所以正方形的边长应为6厘米，因此可以把长方形上半部剪下6厘米，下半部剪下3厘米，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6厘米的正方形，如下右图.

例4把一个正方形分成8块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积相等.

分析连接正方形的对角线，把正方形分成了4个相等的等腰直角三角形，再连接各腰中点，又把它们分成4个小等腰直角三角形和4个等腰梯形.（如下页图（1）所示）

出于分成正方形、长方形面积相等的要求考虑：分别取出两个小等腰直角三角形和两个梯形，就能一一拼出所要求的正方形和长方形了（如图（2）、（3）所示）.

除这种方法外，还有多种拼接方法.

例5 在下左图中画5条线，把小圆圈分开，并使每块大小、形状都相等.

分析因为图中有8个小圆圈，画5条线把图形应分成8块，根据小圆圈的分布特点，分法如下图（右）所示.

例6 把下图中两个图形中的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它们成为一个正方形.

分析不管分其中的哪一块，最后拼得正方形的面积与图中两块面积和相等，甲面积=10×5=50平方厘米；

乙面积=10×7-（7-2）×4=70-20=50平方厘米.

所以甲面积+乙面积=50+50=100平方厘米，也就是最后拼得正方形的边长为10厘米.甲、乙两图形各有一边是10厘米，可视为正方形的一条边，然后把乙剪成三块（如下图所示）拼成的正方形，即可.

当然，除这种拼凑的方法之外，还有其他多种方法，同学们可自行构思、设计.

例7 如下左图将其切成3块，使之拼成一个正方形.

分析原图形面积是32，所以拼成正方形的面积也应是32，即正方形边

长，如下右图所示，切成甲、乙、丙3块，甲拼到甲′位置，乙拼到乙′位置，这样甲′、乙′、丙便构成一个正方形.

例8 如下左图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形.

分析实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的2倍，设

所求长方形的长可视为一直角三角形直角边分别是3和1的斜边.它恰是两个对角顶点的连线.剪拼方法如下图右所示，甲拼在甲′位置，乙拼在乙′位置，就可得符合题意的图形.

本题小结：假若沿第二条线把另一片也剪成两片，那么共剪成的4片是4个全等多边形，这时两条直线都经过十字形的中心，并且互相垂直.剪开的这4个图形其中一个绕中心旋转90°也和另一个重合.由此我们便得到一个

示.

例9 把如下图（1）所示的图形切成两块，然后拼成一个正方形.

分析原图形面积为16（平方单位），所以拼成的正方形面积也应为16（平方单位），边长为4（长度单位）.切开后，须将右片向左平移2个单位，然后再向上平移1个单位.（如下图（2）所示）恰拼成一个正方形.

例10 如右图两个正方形

的边长分别是a和b（a＞b），将边长为a的正方形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形.

分析拼成大正方形的面积应是a2+a2设边长c，则有等式c2=a2+b2，又因为将边长为a的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线MN为大正方形边长，如下图（1），一定有MN2=a2+b2，而MH=a，

将MN绕中心O旋转90°到EF位置，即可把正方形切成符合要求的4块.如下图（2）及下图（3）.这种分法同时确保图（3）的中间部分就是边长为b的小正方形.这是因为：

①中心四边形的角即边长为a的正方形的四个角，∠A，∠B，∠C，∠D，又因为各边长度相等.因此中心四边形是正方形.

＝a-（a-b）＝b.

因此，中间部分是边长为b的正方形.

习题九

1.如右图，将一个底角为60°，上底和腰相等的等腰梯形切割成4块大小、形状都相同的图形.

2.如右图，方框外面边长为5，里面边长为3，把方框锯成4块，拼成一个正方形，问怎样拼法？

3.如右图，分别将两图形，分成8个大小、形状相同，面积相等的图形.

4.如右图，把它锯成3块再拼成一个正方形.

5.把一个正方形分成20个大小形状完全一样的三角形.

6.长方形长24厘米，宽15厘米.把它剪成两块，使它们拼成一个长20厘米，宽18厘米的长方形.

7.将下列各图均切成三块，每三块拼成一个正方形.

习题九解答

1.

2.

面积为16（平方单位）.