三垂线定理课件完整

D1 A1 A D B1
C1
C E B
C
例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连 结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD，A1B
∵ABCD是正方形， ∴AC⊥BD 又：DD1⊥平面ABCD ∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 ∵AC⊂平面AC内， A ∴BD1⊥AC 请同学思考：如何证明BD1⊥AB1
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
自主练习：
1. 如图; .如图：正方体A-D1中，找出三组与 DD1⊥平面ABCD相对应的线，满足三垂线定理。
垂线
DD1 DD1
斜线
D1B D1A
射影
BD AD CD
直线
A AC AB BC A B B1 D C1
D1
1
DD1 D1C
C
2、已知:P是平面ABC 外一点,PA⊥平面ABC， AC ⊥ BC，求证：PC ⊥ BC
三垂线定理复习课（一）
P
A
C
B
高三数学组
钮锦辉
三垂线定理
平面的一条斜线垂直平面内的一条直线
简记
斜线在平面内的射影 垂直于该直线。
P
P
α
A
O
aห้องสมุดไป่ตู้
α
A
O
a
直线⊥斜线
直线⊥射影
三垂线定理包含的垂直关系
①线面垂直 ②线射垂直 P A O P ③ 线斜垂直 P O
α
a
α
A
a
α
A
O
a
直 线 和
平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
中，侧棱和底面边长都是2，D是AC的中点。
（1）求证：BD⊥A1D
2、（2010年）如图，在三棱锥S-ABC中，为正 三角形，S在平ABC内的射影O在的平分线CD 上。 求证：AB⊥SC
3、（2012年）如图，在长方体中AD1中，AD=AA1=1， AB=2． （1）证明：当点在棱上移动时， D1E⊥A1D
做一做
例１、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC 垂直于AD，求证：AC ⊥BD。 A
证明：
过A作AO⊥平面BCD于O，连 结BO 、DO、CO
∵ AB⊥CD， ∴ OB是AB在平面BCD上的射影
D B O
∴CD⊥BO
同理可得： BC⊥OD，则O为∆BCD的垂心，
∴ BD⊥OC， ∵ OC是AC在平面BCD上的射影， ∴ BD⊥AC（三垂线定理）
A1 D1 B1 C1
D B
C
同理得 BD1⊥AB1
∴BD1⊥平面AB1C
1°知识内容： 2°思想方法: 转化的关键: 3°应用步骤:
三垂线定理 “转化”的思想， 找平面的垂线 “一垂二射三证”
4°学会从复杂的环境中找出关键的几条线段，
以及一题多图和一题多证。
1、（2009）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1
证明： ∵ PA⊥平面ABC
P
∴AC是PC在平面ABC内射影 ∵AC⊥BC ∴BC⊥PC
A B
注：
具
三垂定理能证的也可用“线面垂直” 证， 体情况具体处理，力求快捷、正确。
C
P
A
C
B
三垂线定理解题的关键步骤：
一找垂线（和平面垂直） 二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一 条直线垂直
a c b d