差分方程基础知识

y0 5
解 这里
1 3 P , C 3, b 2 2
利用公式，所求通解为
1 t 3 t yt A( ) 3( ) 2 2
将初始条件 y0 5 代入上式，得 故所求题设方程的特解为
A2
1 t 3 t yt 2( ) 3( ) 2 2
a0 (t ) xt n a1 (t ) xt n1 .... an (t ) xt 0
t 2 t t 2
.
二、差分方程的概念
定义2 含有未知函数 差分方程的一般形式：
yt
的差分的方程称为差分方程.
F (t, yt , yt , 2 yt , , n yt ) 0,
或
G(t, yt , yt 1, yt 2 , , yt n ) 0,.
差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶
yt t ( n) t (t 1)(t 2) (t n 1) ，则
( n)
yt (t 1)
.
t
( n)
(t 1)t (t 1) (t 1 n 1)
t (t 1) (t n 2)(t n 1)
( n 1)
一、差分的Hale Waihona Puke Baidu念与性质
一般地，在连续变化的时间的范围内，变量 y 关于时间 t
dy 来刻画的；对离散型的变量 y, 我们常用在 的变化率是用 dt
规定时间区间上的差商
t 1 ，则
y 来刻画变量 t
y
的变化率.如果取
y y(t 1) y(t )
可以近似表示变量 y 的变化率.由此我们给出差分的定义.


y n xn x ，则方程（4）会变成 （4）如果令：

ynk G(n, yn ,..., ynk 1 )
则
（5）
y0
成为（5）的平衡点.
差分方程基本知识


差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量 的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散 变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方 程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或 过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性 质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关 系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析 方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质 （平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性 等），从而把握这个离散变量的变化过程的规 律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方 程(7.2）的通解 情况1 若特征方程（7.3）有n个互不相同的实根
,…, ，则齐次方程（ 7.2）的通解为 n 1
，
t C11 ... Cn tn (C1,…,Cn为任意常数)
情况2 若λ 是特征方程（7.3）的k重根，通解中对应 k 1 t (C1 C k t ) 于λ的项为
类似地可定义三节差分，四阶差分，等等.
一般地，函数 yt 的 n 1 阶差分的差分称为 阶差分，记为
n
n yt ，即
n
i n yt n 1 yt 1 n 1 yt (1)i Cn yt n i i 0
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.
例1 设 yt t 2 ，求 yt ，2 yt ，3 y t
a i 为特征方程（7.3）的k重复根，则通
C i 为任意常数，i=1,…,2k。
四、差分方程的平衡解与有关概念
（1）如果 xn 使 k 阶差分方程（4）对所有的 n 成立，则称
xn
（2）如果
为方程（4）的解.
x n x （ x 为常数）是（4）的解，即



x F (n, x,..., x)
[(t 1) (t n 1)]t (t 1) (t n 2) nt
差分满足以下性质： （1） （2） （3）
(Cyt ) Cyt (C为常数)
（yt zt ) yt zt
（yt zt ) zt yt yt 1zt
如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好 等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.
定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均 为一次，则称该差分方程为线性差分方程. 其一般形式为
yt n a1 (t ) yt n 1 an 1 (t ) yt 1 an (t ) yt f (t )
定义1 设函数 的差分，也称为函数
yt y(t，称改变量 )
为函数 yt 1 y t
yt
yt
的一阶差分，记为 yt ，即
yt yt 1 yt
或
y(t ) y(t 1) y(t )
2 yt 称为二阶差分，即
一阶差分的差分
2 yt (yt ) yt 1 yt ( yt 2 yt 1 ) ( yt 1 yt ) yt 2 2 yt 1 yt .
2．一阶常系数线性非齐次差分方程的通解
定理 设
yt
为齐次方程的通解， yt 为非齐次方程的一个
*
特解，则
yt yt yt* 为非齐次方程的通解.
y t 1 P y t 0
* * 证明 由题设，有 yt 1 Pyt f (t ) ，及
将这两式相加得 ( y t 1 yt*1 ) P ( y t yt* ) f (t ) ，即
yt yt yt*
为非齐次方程的通解.
（1）
f (t ) C
y
C
* t 1
为非零常数
* t
给定 y，由 0
* 1
* 3
Py ，可按如下迭代法求得特解 C
yt
*
y Py0 C
* y2 Py1 C P2 y0 C(1 P),
3 2
y Py2 C P y0 C(1 P P ),
y3 Py2 P y0
t
, yt Pyt 1 P y0 .
t y P y0 为方程的解.容易验证，对任意常数 A 则 t
yt APt
都是方程的解，故方程的通解为
yt APt
例4 求差分方程
yt 1 3 yt 0 的通解.
解 利用公式得，题设方程的通解为 yt A3 t.
y P y0 C(1 P P P ),
* t t

2
t 1
C C t ( y )P , 1 P 1 P A Ct ,
P 1 P 1
t 齐次方程的通解为 yt A P 1
A1 为任意常数
P 1 P 1
于是方程通解为
定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.
例如，对于差分方程
yt 2t 代入方程有 yt 1 yt ，将 2
yt 1 yt 2(t 1) 2t 2
故 yt 2t 是该方程的解，易见对任意的常数 C
yt 2t C
都是差分方程 yt 1 yt 2 的解.
解
yt (t ) (t 1) t 2t 1
2 2 2
2 yt 2 (t 2 ) (2t 1) [2(t 1) 1] (2t 1) 2
yt ( yt ) 2 2 0
3 2
例2 设 t ( n) t (t 1)(t 2) (t n 1),t (0) 1. 求 t ( n ) 解 设



则称 x n x 为（4）的平衡解或叫平衡点.平衡解可能不只一个. 其中之一是极限状况，如果 lim x n x
n
平衡解的基本意义是：设 xn 是（4）的解，考虑 xn 的变化性态，
，则方程（4）两边取极限（ x
就存在在这里面），应当有
x F (n, x,..., x)



（3）如果（4）的解 xn 使得 x x 既不是最终正的， n 也不是最终负的，则称 xn 为关于平衡点 x 是振动解.
C 为任意常数， i=1,…,k。 i
情况3 若特征方程（7.3）有单重复根
a i

通解中对应它们的项为 C1 t cos t C2 t sin t 2 2 arctan 为λ的幅角。 为λ的模，
情况4 若
解对应于它们的项为 (C1 Ck t k 1 ) t cos t ( Ck 1 C2k t k 1 ) t sint （步三） 求非齐次方程 (7.1)的一个特解 y t .若yt为方程(7.2)的 yt yt 通解,则非齐次方程 (7.1)的通解为 求非齐次方程（7.1）的特解一般 要用到 常数变易法，计算较繁。 对特殊形式 的b(t)也可使用 待定 系数法。
P 3, C 2
t
yt A3 1.
（2） 当
f (t ) Cbt （ C, b为非零常数且 b 1 ）.
b P时，设 yt* kbt 为非齐次方程的特解，其中
k为待定系数.将其代入方程,得
kb
解得
t 1
Pkb Cb
t
t
C k bP
，于是，所求特解为
C t y b bP
xt c1 xt(1) c2 xt( 2)
也是方程（7.2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。 此规律对于（7.1）也成立。
方程（7.1）可用如下的代数方法求其通解： （步一）先求解对应的特征方程 （7.3） a0n a1n1 ... an 0
则被称为n阶齐次线性差分方程 。 若所有的 ai(t)均为与t无关的常数，则称其为 常系数差分 方程，即n阶常系数线性差分方程可分成
a0 xnt a1 xnt 1 ... an xt b(t )
的形式，其对应的齐次方程为
（7.1）
a0 xnt a1 xnt 1 ... an xt 0 （7.2） ( 2) (1) 容易证明，若序列 xt 与 xt 均为方程（7.2）的解，则
yt yt y
* t
C APt , 1 P A Ct ,
其中， A为任意常数，且当
P 1 时，
当
P 1 时，
C A y0 A1 , 1 P
A y0 A 1 .
例5 求差分方程
解 由于
yt 1 3 yt 2 的通解.
，故原方程的通解为
yt zt yt yt zt （ ) ( zt 0) （4） zt zt 1 zt
例3 求 yt t 2 3t 的差分.
解 由差分的运算性质，有
yt (t 3 ) 3 t (t 1) (3 )
2 t t 2 2 t
3 (2t 1) (t 1) 2 3 3 (2t 6t 3)
称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地， 一阶常系数线性非齐次差分方程.
1．一阶常系数线性齐次差分方程的通解 一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法求得.
设 y0 已知，将 t 0,1,2, 代入方程
yt 1 Pyt 中，得
3
y1 Py0
y2 Py1 P y0
2
其特点是
yt n , yt n 1,, yt
都是一阶的.
三 、一阶常系数线性差分方程 一阶常系数差分方程的一般方程形式为
yt 1 Pyt f (t )
其中 则方程变为
f (t ) 为已知函数.如果 f (t ) 0 P 为非零常数，
yt 1 Pyt 0
f (t ) 0 时方程
* t
所以
bP
时，方程的通解为
C t yt AP b 1 P
t
当 b P 时，设
y ktb
* t
t
为方程的特解，代入方程得
C k P
所以，当
b P 时，方程的通解为
yt AP Ctb
t
t 1
例7 求差分方程 yt 1 时的特解.
1 3 t yt 3( ) 在初始条件 2 2