数字电路、圈卡诺图、最大项最小项
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AB C 0 1 00 m0 m1 01 m2 m3 11 m6 m7 10 m4 m5
3 变量卡诺图
网络教育学院
逻辑函数化简—卡诺图化简
4变量的最小项有4个最小项与它相邻
小小 同 项项 一 也与 行 是最 最 相右 左 邻列 列 的的 的 最最
AB CD 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10
M0 A B C
M2 A BC M5 A BC M6 A BC M7 A BC
F M0 M2
M5 M6 M 7
M (0,2,5,6,7)
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逻辑函数表达式的转换
一个逻辑函数的最小项表达式和最大项表达式之间有互 补的关系。
F ( A, B, C) m(2,4,5,6) M (0,1,3,7)
可以简写为： F（A，B，C）=m0+m1+m3+m6+m7
=∑m（0，1，3，6，7）
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逻辑函数表达式的转换
2、 真值表转换法
最小项表达式 真值表中每一个对应函数值为1的输入变量实际上就是一个
函数包含的最小项，例如三变量ABC=111，函数F=1，就对应最
小项 m7。如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些 最小项取出相加，便是函数的最小项表达式。
将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且 使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照循环码的顺序 排列，这样构成的图形就是卡诺图。
所谓循环码，即相邻的两个码只有一位取不同的值。 例如，两位码的循环码依次为：00、01、11、10，
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逻辑函数化简—卡诺图化简
下图显示的是三变量（A、B、C）的卡诺图。格中标出相 应的最小项mi。 三变量的每个最小项有三个相邻的最小项，图中m2有三个 相邻最小项：m0、m3 、m6
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逻辑函数表达式的转换
例 将函数 F ( A, B, C ) AB BC 转换为最小项表达式。
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 1 0 1 1 1 0
最小项 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
m 2 AB C m 4 A BC m 5 A BC m 6 AB C
F ( A, B, C) m2 m4 m5 m6 m(2,4,5,6)
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逻辑函数表达式的转换
最大项表达式 真值表中每一个对应函数值为0的输入变量实际上就是一个 函数包含的最大项，例如三变量ABC=111，函数F=0，就对应最 大项 M7。如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为0的那些 最大项取出相与，便是函数的最大项表达式。
A B C A BC ABC AB C ( A B A B AB AB )C C
A BC A BC ABC ABC ( A C A C AC AC) B B
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逻辑函数化简—卡诺图化简
AB CD 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 0 1 1 0
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逻辑函数表达式的转换
例 将函数 F ( A, B, C ) AC ABC 转换为最大项表达式。
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 1 0 1 1 0 0 0
最大项 M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
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逻辑函数化简—代数化简
（3）消去法
利用公式 （4）配项法
A AB A B
，消去多余的项。
利用公式 A 1 A及A A 1 化简。
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逻辑函数化简—代数化简
例 化简
并项 吸收 消去
F AD AD AB AC BD BE DE A AB AC BD BE DE A AC BD BE DE A C BD BE
m（）形式。
m（1,2,4,7）
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逻辑函数表达式的标准形式
（2）标准或-与表达式 由若干个最大项相与构成的，也称为最大项表达式。任 何一个逻辑函数都可以表示成唯一的最大项表达式。例如 F（A，B，C）=（A+ B+C）（A+B+ C）（A+B+C） 例如上式可以 写成为F（A，B，C）= M0M5M7 =
第二步：将所有非最小项的与项扩展为最小项。
F ( A, B, C) AB (C C) A C(B B) ( A A)BC AB(C C)
A B C A B C A B C A BC A BC ABC AB C ABC
A B C A B C A BC AB C ABC
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逻辑函数化简—代数化简
逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它 的电路越简单，电路工作越稳定可靠。 1、与-或表达式的化简 最简与-或式应满足两个条件： ① ② 表达式中的与项最少； 在满足①的条件下，每个与项中的变量个数最少。
实现最简与-或式逻辑功能对应的电路所需要的与门最少，并 且与门总的输入引脚最少，因而电路的连线最少。
4 变量卡诺图
相一 的 同 邻行 最 一 的的 小 列 最项最 小与上 项最面 也下一 是面行
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逻辑函数化简—卡诺图化简
2、逻辑函数在卡诺图中的表示 （1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺 图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余 的方格内填入0。例
F ( A, B, C ) m(1,2，7) 3,
M (0,5,7)
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逻辑函数表达式的转换
1、 代数转换法
利用逻辑代数公理、定理和三大规则进行逻辑 变换将逻辑函数转变为其标准形式。 将逻辑函数转变为最小项表达式的步骤分为两步：
（1）将函数转变为与-或表达式；
（2）反复使用公式X=X · （Y+Y）= XY+XY
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逻辑函数表达式的转换
例 将逻辑函数F（A，B，C）=（A B+B C）AB 转换为标准的与-或表达式。 第一步：将函数表达式转换为与-或表达式。即 F（A，B，C）=（A B+B C）AB = AB+BC+AB = (A+B)(B+C)+AB = A B + A C + BC + AB
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逻辑函数表达式的转换
A B C 、A B C、A BC 、A BC、AB C 、AB C、ABC 、ABC
通常用符号mi来表示最小项。
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逻辑函数表达式的标准形式
3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：
m0 A B C 、m1 A B C、m2 A BC 、m3 A BC m4 AB C 、m5 AB C、m6 ABC 、m7 ABC
AB C 0 1 00 1 0 01 0 1 11 0 1 10 1 0
A B C AB C
BC
A BC ABC
BC
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逻辑函数化简—卡诺图化简
（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项， 可以合并为一项，并消去2个变量。
AB C 0 1
00 1 0
01 1 1
11 1 1
10 1 0
AB C 0 1 00 0 1 01 1 1 11 0 1 10 0 0
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逻辑函数化简—卡诺图化简
（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换 为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后再填 入逻辑值。 将“与项”填入卡诺图的方法：与项中变量为原变量对应 该变量所在行（或列）取值为1的行（或列），与项中变量为 反变量对应该变量所在行（或列）取值为0的行（或列），这 些行与列共同覆盖的格子里填1，其余格子里填0。
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逻辑函数化简—代数化简
例 化简
F ( A B)( A B)( B C )( B C D) ( A B)( A B)( B C ) A( B C )
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逻辑函数化简—卡诺图化简
也称为图形化简法，是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用 卡诺图来化简逻辑函数。 1、卡诺图的构成
真值表？
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逻辑函数表达式的标准形式
最小项性质 a) 任意一个最小项，只有一组变量取值使其为1 。 b) 任意两个不同的最小项之积必为0 。 c) n个变量所有最小项之和为1。 d) n个变量构成的每一个最小项都有n个相邻最小项。
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逻辑函数表达式的标准形式
（2）最大项
n个变量可以构成2n个最大项。例如，3个变量A、B、C可 组成8个最大项：
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逻辑函数表达式的标准形式
（3）最小项与最大项之间的互补关系
mi= Mi
或者
mi = Mi
例如： m3 = ABC = A+B+C = M3 M3 = A+B+C = ABC = m3
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逻辑函数表达式的标准形式
2、 逻辑函数表达式的标准形式
（1）标准与-或表达式 由若干个最小项相或构成的,也称为最小项表达式。任何一 个逻辑函数都可以表示成唯一的最小项表达式。 例如，F（A，B，C）=AB C+ABC+ABC+ A B C 最小项表达式可以简写为 例如上式可以
第2章 数字电路基础
本节主要内容
1、逻辑函数表达式 基本形式：与-或，或-与 标准形式：最小项，最大项 2、逻辑函数的转换 代数法和真值表法 3、逻辑函数的化简 代数法和卡诺图法 卡诺图：构成、表示、合并规律、步骤
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逻辑函数表达式的标准形式
1、 最小项与最大项 （1）最小项 n个变量可以构成2n个最小项。例如，3个变量A、B、C可 组成？个最小项：
A B C 、A B C、A B C 、A B C、A B C 、A B C、A B C 、A B C
通常用符号Mi来表示最大项。
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逻辑函数表来自百度文库式的标准形式
最大项性质 a) 任意一个最大项，只有一组变量取值使其为0 。 b) 任意两个不同的最大项之和必为1。 c) n个变量所有最大项之积为0。 d) n个变量构成的每一个最大项都有n个相邻最大项。
冗余项
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逻辑函数化简—代数化简
思考题 化简
F AB AC BC BC BD B D ADE
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逻辑函数化简—代数化简
2、或-与表达式的化简
最简或-与式应满足两个条件： ① ② 表达式中的或项最少； 在满足①的条件下，每个或项中的变量个数最少。
实现最简或-与式逻辑功能对应的电路所需要的或门最 少，并且或门的输入引脚最少，因而电路的连线最少。
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逻辑函数化简—代数化简
逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定 理和规则来化简逻辑函数。 （1）并项法 利用公式 AB A B A 将两个与项合并成一个与 项，合并后可以消去一个变量。 （2）吸收法 利用公式 A AB A ，消去多余的项。 例如： AB ABC D( E F ) AB
ＢＤ
BD
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逻辑函数化简—卡诺图化简
（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为 一项，并消去3个变量。
AB CD 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 0 1 1 0 11 0 1 1 0 10 0 1
Ｄ1
0
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AB CD 00 01 11 00 1 0 0 1 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 1 0 0 1
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逻辑函数化简—卡诺图化简
例如 与项AB对应AB=11一列所覆盖的4个格子里填1；
AB CD 00 01 11 10 00 0 0 0 1 01 0 0 0 0 11 1 1 1 1 10 0 0 1 0
与项AB覆盖的4个格子
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逻辑函数化简—卡诺图化简
3、卡诺图上最小项的合并规律 （1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项， 并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
3 变量卡诺图
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逻辑函数化简—卡诺图化简
4变量的最小项有4个最小项与它相邻
小小 同 项项 一 也与 行 是最 最 相右 左 邻列 列 的的 的 最最
AB CD 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10
M0 A B C
M2 A BC M5 A BC M6 A BC M7 A BC
F M0 M2
M5 M6 M 7
M (0,2,5,6,7)
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逻辑函数表达式的转换
一个逻辑函数的最小项表达式和最大项表达式之间有互 补的关系。
F ( A, B, C) m(2,4,5,6) M (0,1,3,7)
可以简写为： F（A，B，C）=m0+m1+m3+m6+m7
=∑m（0，1，3，6，7）
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逻辑函数表达式的转换
2、 真值表转换法
最小项表达式 真值表中每一个对应函数值为1的输入变量实际上就是一个
函数包含的最小项，例如三变量ABC=111，函数F=1，就对应最
小项 m7。如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些 最小项取出相加，便是函数的最小项表达式。
将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且 使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照循环码的顺序 排列，这样构成的图形就是卡诺图。
所谓循环码，即相邻的两个码只有一位取不同的值。 例如，两位码的循环码依次为：00、01、11、10，
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下图显示的是三变量（A、B、C）的卡诺图。格中标出相 应的最小项mi。 三变量的每个最小项有三个相邻的最小项，图中m2有三个 相邻最小项：m0、m3 、m6
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逻辑函数表达式的转换
例 将函数 F ( A, B, C ) AB BC 转换为最小项表达式。
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 1 0 1 1 1 0
最小项 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
m 2 AB C m 4 A BC m 5 A BC m 6 AB C
F ( A, B, C) m2 m4 m5 m6 m(2,4,5,6)
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最大项表达式 真值表中每一个对应函数值为0的输入变量实际上就是一个 函数包含的最大项，例如三变量ABC=111，函数F=0，就对应最 大项 M7。如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为0的那些 最大项取出相与，便是函数的最大项表达式。
A B C A BC ABC AB C ( A B A B AB AB )C C
A BC A BC ABC ABC ( A C A C AC AC) B B
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AB CD 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 0 1 1 0
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逻辑函数表达式的转换
例 将函数 F ( A, B, C ) AC ABC 转换为最大项表达式。
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 1 0 1 1 0 0 0
最大项 M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
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（3）消去法
利用公式 （4）配项法
A AB A B
，消去多余的项。
利用公式 A 1 A及A A 1 化简。
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例 化简
并项 吸收 消去
F AD AD AB AC BD BE DE A AB AC BD BE DE A AC BD BE DE A C BD BE
m（）形式。
m（1,2,4,7）
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（2）标准或-与表达式 由若干个最大项相与构成的，也称为最大项表达式。任 何一个逻辑函数都可以表示成唯一的最大项表达式。例如 F（A，B，C）=（A+ B+C）（A+B+ C）（A+B+C） 例如上式可以 写成为F（A，B，C）= M0M5M7 =
第二步：将所有非最小项的与项扩展为最小项。
F ( A, B, C) AB (C C) A C(B B) ( A A)BC AB(C C)
A B C A B C A B C A BC A BC ABC AB C ABC
A B C A B C A BC AB C ABC
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逻辑函数化简—代数化简
逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它 的电路越简单，电路工作越稳定可靠。 1、与-或表达式的化简 最简与-或式应满足两个条件： ① ② 表达式中的与项最少； 在满足①的条件下，每个与项中的变量个数最少。
实现最简与-或式逻辑功能对应的电路所需要的与门最少，并 且与门总的输入引脚最少，因而电路的连线最少。
4 变量卡诺图
相一 的 同 邻行 最 一 的的 小 列 最项最 小与上 项最面 也下一 是面行
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逻辑函数化简—卡诺图化简
2、逻辑函数在卡诺图中的表示 （1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺 图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余 的方格内填入0。例
F ( A, B, C ) m(1,2，7) 3,
M (0,5,7)
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逻辑函数表达式的转换
1、 代数转换法
利用逻辑代数公理、定理和三大规则进行逻辑 变换将逻辑函数转变为其标准形式。 将逻辑函数转变为最小项表达式的步骤分为两步：
（1）将函数转变为与-或表达式；
（2）反复使用公式X=X · （Y+Y）= XY+XY
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逻辑函数表达式的转换
例 将逻辑函数F（A，B，C）=（A B+B C）AB 转换为标准的与-或表达式。 第一步：将函数表达式转换为与-或表达式。即 F（A，B，C）=（A B+B C）AB = AB+BC+AB = (A+B)(B+C)+AB = A B + A C + BC + AB
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A B C 、A B C、A BC 、A BC、AB C 、AB C、ABC 、ABC
通常用符号mi来表示最小项。
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3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：
m0 A B C 、m1 A B C、m2 A BC 、m3 A BC m4 AB C 、m5 AB C、m6 ABC 、m7 ABC
AB C 0 1 00 1 0 01 0 1 11 0 1 10 1 0
A B C AB C
BC
A BC ABC
BC
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（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项， 可以合并为一项，并消去2个变量。
AB C 0 1
00 1 0
01 1 1
11 1 1
10 1 0
AB C 0 1 00 0 1 01 1 1 11 0 1 10 0 0
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（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换 为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后再填 入逻辑值。 将“与项”填入卡诺图的方法：与项中变量为原变量对应 该变量所在行（或列）取值为1的行（或列），与项中变量为 反变量对应该变量所在行（或列）取值为0的行（或列），这 些行与列共同覆盖的格子里填1，其余格子里填0。
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例 化简
F ( A B)( A B)( B C )( B C D) ( A B)( A B)( B C ) A( B C )
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也称为图形化简法，是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用 卡诺图来化简逻辑函数。 1、卡诺图的构成
真值表？
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逻辑函数表达式的标准形式
最小项性质 a) 任意一个最小项，只有一组变量取值使其为1 。 b) 任意两个不同的最小项之积必为0 。 c) n个变量所有最小项之和为1。 d) n个变量构成的每一个最小项都有n个相邻最小项。
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（2）最大项
n个变量可以构成2n个最大项。例如，3个变量A、B、C可 组成8个最大项：
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（3）最小项与最大项之间的互补关系
mi= Mi
或者
mi = Mi
例如： m3 = ABC = A+B+C = M3 M3 = A+B+C = ABC = m3
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2、 逻辑函数表达式的标准形式
（1）标准与-或表达式 由若干个最小项相或构成的,也称为最小项表达式。任何一 个逻辑函数都可以表示成唯一的最小项表达式。 例如，F（A，B，C）=AB C+ABC+ABC+ A B C 最小项表达式可以简写为 例如上式可以
第2章 数字电路基础
本节主要内容
1、逻辑函数表达式 基本形式：与-或，或-与 标准形式：最小项，最大项 2、逻辑函数的转换 代数法和真值表法 3、逻辑函数的化简 代数法和卡诺图法 卡诺图：构成、表示、合并规律、步骤
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逻辑函数表达式的标准形式
1、 最小项与最大项 （1）最小项 n个变量可以构成2n个最小项。例如，3个变量A、B、C可 组成？个最小项：
A B C 、A B C、A B C 、A B C、A B C 、A B C、A B C 、A B C
通常用符号Mi来表示最大项。
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最大项性质 a) 任意一个最大项，只有一组变量取值使其为0 。 b) 任意两个不同的最大项之和必为1。 c) n个变量所有最大项之积为0。 d) n个变量构成的每一个最大项都有n个相邻最大项。
冗余项
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思考题 化简
F AB AC BC BC BD B D ADE
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2、或-与表达式的化简
最简或-与式应满足两个条件： ① ② 表达式中的或项最少； 在满足①的条件下，每个或项中的变量个数最少。
实现最简或-与式逻辑功能对应的电路所需要的或门最 少，并且或门的输入引脚最少，因而电路的连线最少。
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逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定 理和规则来化简逻辑函数。 （1）并项法 利用公式 AB A B A 将两个与项合并成一个与 项，合并后可以消去一个变量。 （2）吸收法 利用公式 A AB A ，消去多余的项。 例如： AB ABC D( E F ) AB
ＢＤ
BD
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（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为 一项，并消去3个变量。
AB CD 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 0 1 1 0 11 0 1 1 0 10 0 1
Ｄ1
0
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AB CD 00 01 11 00 1 0 0 1 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 1 0 0 1
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例如 与项AB对应AB=11一列所覆盖的4个格子里填1；
AB CD 00 01 11 10 00 0 0 0 1 01 0 0 0 0 11 1 1 1 1 10 0 0 1 0
与项AB覆盖的4个格子
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3、卡诺图上最小项的合并规律 （1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项， 并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。