【建模 精品资源】动态仿真

t t
t pO ( )rO ( )d
由假设知道pO(t)＝p(t)，则
t t
p(t t)V (t t) p(t)V (t) t
[ pI ( )rI ( ) p( )rO ( )]d
• 利用积分中值定理，可得
p(t t)V (本t 节t) 内 p(容t)V结(t) 束
[ pI (t t)rI (t t) p(t t)rO (t t)]t 两边除以Δt，令 Δt→0
系统动态的仿真模型
一. 系统仿真（Simulation） 1. 系统仿真： 使用计算机对一个系统的结构和行为进行动态模拟 为决策提供必要的参考信息。 2. 仿真模型：
由计算机程序控制模型的运行 从数值上模仿实际系统的动态行为。
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3. 仿真模型的特点： 对象真实、复杂，进行模仿。
4. 关于仿真技术 仿真技术已经成为最重要的和最流行的分析动态
V (t t) V (t) (rI rO )t S(t t) S(t) [rI pI rO p(t)]t
p(t t) S(t t) /V (t t)
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• 动态系统仿真的伪代码
• 运算 池水含盐动态系统模拟
• 变量 V(n)=时刻 n 池中盐水体积
•
p(n)=时刻 n 池中盐水浓度
•
p(n+1)←S(n+1)/V(n+1)
•
End
•
End
• 输出 V(1), V(2), … , V(n)
•
S(1), S(2), … , S(n)
•
p(1), p(2), … , p(n)
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系统仿真流程图 初始化V(0),S(0),p(0)
仿真时钟 t=0 打印时钟T=0
数学模型。
例 池水含盐 问题
池中有一定体积的盐水， 从池的上部向池中注入一定浓度的盐水
本 节 内 容 结 束 混合后的盐水将从池的下部流出。
建模描述池中盐水浓度的动态。 假设：
1. 盐水注入池中后迅速混合 2. 池中盐水浓度均匀。
• 平衡关系 • 在时间段[t,t+Δt]内, 池中盐水体积的改变 量等于这段时间内流入盐水的体积与流出盐水 体积之差；
了解背景，明确目的，提出总体方案。
☻组确建定模变型量：, 明确关本系,节设内计流容程结, 编束制程序
☻运行检验： 确定初始状态，参量数值， 运行程序，检验结果，改进模型。
☻输出结果： 清单、记录、重要的中间结果等。
微分方程模型的示例
• 微分方程（连续模型）组建的微元法
本节内容结束 • 在自变量的微小的区间内以简单的形式描述有关变量之间的平衡关 系, • 再利用微积分学的思想进一步处理它,得到以微分方程的形式描述的
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回顾——机理模型
V
(t)
dp(t) dt
rI
(t)[
pI
(t)
p(t)]
t
V (t) V0 0 [rI ( )d rO ( )]d
p(0) p0
dp rI p(t) rI pI
dt V (t)
V (t)
dV dt
rI
rO
r,
V (t) rt V (0)
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• 系统分析： • 池中有盐水， • 匀速注入浓盐水， • 匀速流出混合后的盐水， • 池中盐水的浓度变化。
dp(t ) dt
r (t V0
)
[
pI
(t )
p(t )]
• 二. 系统仿真举例
• 例 1. 池水含盐 • 池中有盐水 2000 m3，含盐 2 kg， • 以 6m3 / 分 的速率向池中注入浓度 0.5 kg / m3 的 盐水， • 又以 4 m3 / 分的速率从池中流出混合后的盐水。 • 如果池中盐水浓度达到 0.2 kg / m3时， • 将注入池中的盐水改变为清水， • 问何时池中盐水的浓度能够 • 被稀释到这个浓度的50%，即达到0.1 kg / m3？
• 在时间段[t,t+Δt]内, 池中(纯)盐的改变量
等于这段时本间节内内流入容的结(纯束)盐的量与流出的(纯)
盐的量之差。
• 变量、参量： • 池中盐水体积 V(t), 池中盐水浓度 p(t); • 流入盐水速度 rI(t), 流入盐水浓度 pI(t); • 流出盐水速度 rO(t), 流出盐水浓度 pO(t).
• 模型分析
• 池中盐水的改变量 V(t+Δt)-V(t)
•
• 流入盐水量 t t
• 本 流出盐水量 节t 内rI (容 )d结 束 t t
• 池中纯盐的改变量t p(tr+OΔ(t)V)d(t+Δ t)-p(t)V(t)
•
ห้องสมุดไป่ตู้
• 流入纯盐量
• • 流出纯盐量 •
t t
t pI ( )rI ( )d
系统模型的方法。 ☻微分方程的精确解方法具有局限性。
非常多的微分方程我们不知道如何求解。 ☻定性分析方法可用于讨论系统的动态行为，
但是对某些问题我们需要定量的答案。 ☻仿真技术非常灵活。
可以不困难地将诸如时滞或随机因素等复杂的属 性引入模型。
这些是难以用解析的方法处理的。
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4. 仿真过程 ☻ 现实系统的分析：
d dt
[
p(t)V (t)]
pI
(t)rI
(t)
p(t)rO (t)
类似地有
dV dt
rI (t) rO (t)
• 模型
V
(t)
dp(t
本dt
) rI (t)[ pI (t)
节内容结束
p(t)]
t
V (t) V0 0 [rI ( )d rO ( )]d
p(0) p0
特别，当 rI (t)= rO (t)=r(t) 时, V(t)=V0
• 目的：仿真池中盐水浓度的变化，给出达到给定浓 度的时间。
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• 变量、参量 • 时间 t，体积 V(t), 盐量 S(t), 浓度 p(t); • 流入流速 rI=6, 流入浓度 pI=0.5, • 流出流速 rO=4, • 改变时候的盐水浓度 p*=0.2，改变的时刻t*， • 终止时候的盐水浓度 p*=0.1，终止的时刻t**。 • 时间步长 Δt , 打印步长 T. • 关系: 在 [t, t+Δt] 内有
•
S(n)=时刻 n 池中盐水含盐量
•
Δt = 时间单位
•
N = 仿真时间长度
• 输入 Δt，V(0), p(0), S(0), N
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• 过程 Begin
•
for n=0 to N do
•
Begin
•
V(n+1)←V(n)+(rI-r0) Δt
•
S(n+1)←S(n)+[ripi-r0p(n)]Δt