流体力学第八章(湍流)

u u u u p ( uu) ( uv ) ( uw) ( u v w ) 2 u t x y z x x y z v v v v p ( v u) ( v v ) ( v w) ( u v w ) 2 v t x y z y x y z w w w w p ( wu) ( wv ) ( ww) ( u v w ) 2 w x y z z x y z t
二、平均运动方程—雷诺方程
均匀不可压缩流体，不受质量力作用，流体运动方程为：
dV 1 2 p V dt
以x方向的运动方程为例：
u u u u 1 p u v w 2 u t x y z x
为了平均化运算的方便，进行适当变换，可得：
对上式求平均，不难得到：
u v w 0 x y z
u v w 0 x y z
这就是不可压缩流体平均速度和脉动速度所满足的连续方 程，它表明不可压缩流体作湍流运动时，平均速度和脉动 速度的散度均为零，即：
div 0, div 0 V V
二、层流到湍流的过渡（临界雷诺数）
层流和湍流反映了流体运动的两种典型运动形态。 通常，层流和湍流在一定的条件下是可以相互转 化的。 如何判断流体运动的属性？确定湍流发生的条 件－－湍流判据问题。
以下简单介绍相关的 雷诺实验 在此基础上给出确定湍流发生的判据－－临界雷 诺数及其在湍流研究中的应用。
雷诺试验（1883年） 有色液体 流速V 管道直径d
u (uu ) (uv ) (uw ) 1 p u v w 2 u u( ) t x y z x x y z
u (uu ) (uv ) (uw ) 1 p 2 u t x y z x
边界层是与地表面直接接触的大气最底层，受到地 表面热力和动力作用的影响。大气运动的层流状态 受到干扰和破坏形成了各种大小不同的不规则涡旋， 因此这一层空气具有明显的湍流运动特征。
湍流运动在大气中的重要作用
大 气
湍流运动
动量交换
物质交换
能量交换
湍流交换（输送）
地
表
湍流通量
由于湍流运动是实际问题中经常遇到的，尤其是在 边界附近的流体运动，大多数均属于湍流运动。特 别，在大气科学的研究中，边界层的湍流运动对地 -气系统之间的动量、能量和水汽的交换具有重要 的作用。 因此很有必要研究湍流运动 湍流的基本概念、描述湍流的基本方法和基本理论。
为平均运动的 形变率分量
其中
雷诺应力的物理意义？ 由于脉动（速度扰动），单 位时间内通过AB的流体质 量为 v dx ，它所带 入的 x 方向的动量流为： v udx 其时间平均值为： v udx y
dx
流体质量 A
v dx
B
x
相当于AB下部（负方向） 的流体通过AB面元对AB上 于是，单位面积上的作用力为： 部（正方向）的流体的作用 v u 力。
将任意物理量表示为： A A A
速度分量为：
u u u; v v v ; w w w; p p p
（其中参数
,
为常数）
将其代入方程，并对等式求平均，可以得到：
(u u) (u u)(u u) (u u)(v v) (u u)(w w) t x y z
A x, t dx
③ 系统平均（统计平均）值： 通常用概率密度函数来表示，又称（统计）概率平均。 概率密度函数通常记为： f ( A) 它表示了 A 值在区间 A ~ A dA 的概率为 f ( A)dA 。 显然，概率密度函数满足：
f AdA 1


系统平均值表示为： A系 x , t
主要内容： 第一节 湍流概述
第二节 湍流平均运动方程和雷诺应力
第一节 概
一、层流和湍流
述
粘性流体运动存在两种截然不同的运动状态：层流和湍流。
①层流：流体运动具有规则性，流体运动时层次分明，没有 混合现象。流体质点的轨迹是光滑的曲线，其对应的物理量 场如速度、压强等随时间、空间作平缓而连续的变化。
②湍流：流体运动杂乱而无规律性（运动具有脉动性），不 同层次的流体质点发生激烈的混合现象，流体质点的运动轨 迹杂乱无章，其对应的物理量随空间激烈变化。
实际上，单位时间通过单位面积的动量流，可以看 作该面积元上所受的应力。
考虑应力符号： p yx vu
p yx pyx
pyx vu
与流体脉动状态有关。 可见，雷诺应力的实质是湍流脉动所引起的单位时间单 位面积上的动量的统计平均值，也就是脉动运动产生的 附加力。
① 说明： ①平均压力梯度力；
②
③
② 平均运动的粘性力； ③ 由于流体中存在脉动的附加应力，类似于粘性应力
称为湍流（雷诺）应力，它是一个二阶张量。
雷诺应力（湍流应力）的定义为：
px x px y px z uu uv uw p pyx pyy pyz v u v v v w p p p w u w v w w zx zy zz
第八章 湍 流
前面的内容主要集中讨论了描述规则流体运动的基本 方法和理论。
实际上，流体运动存在两种截然不同的运动状态：规 则的流体运动（层流）和不规则的流体运动（湍流）。
这里重点讨论后者－－－湍流。
湍流发生的两种情况： 1）壁湍流：流体与固体相互作用而产生的湍流， 如大气边界层，飞机，船体的附面层等。 2）自由湍流：各层流体相对流动，当有强大的速 度切变而引起的湍流。
本 章 小 结
ห้องสมุดไป่ตู้、连续方程
不可压缩流体的连续方程：
u v w 0 x y z
根据前面的讨论，将速度分量表示为：
u u u; v v v; w w w
于是，流体的连续方程可以变为：
u v w u v w 0 x y z x y z
u u u u p ( uu) ( uv ) ( uw) 2 v w ) u ( u x y z x x y z t v v v v p ( v u) ( v v ) ( v w) ( u v w ) 2 v x y z y x y z t w w w w p ( wu) ( wv ) ( ww) ( u v w ) 2 w x y z z x y z t
流体
V
d
流体的粘性
层流
过渡流
湍流
层流和湍流在一定的条件下是可以相互转化的
Re Vd /
雷诺试验表明：流动速度越大，湍流就更容易发生。 层流和湍流的转换，主要取决于 Re Vd / 的大小。
R Re0 临界 Re 数下界， e < Re0 层流； Rec 临界 Re 数上界， e > Rec 湍流； R Re0 < Re < Rec不稳定过渡流。



Af AdA
而由于物理量量的值通常总是发生一定的有限范围之 内的，故通常采用下式来计算有限范围 A1 ~ A1 内 系统平均值：
A系 x, t
A1
A1
Af AdA
以上就是处理湍流运动将经常用到的平均值的定义， 尤其是时间平均用得最多。
定义平均值后，可以将湍流运动表示为： 湍流运动 = 平均运动+脉动运动 而把任意实际物理量表示为：
对于湍流平均运动而言，应力包括三部分：正压力、分子 粘性力和湍流应力，即：
i , j pI 2 ei , j p, j i
1 ui u j ei , j ( ), (i, j 1,2,3), 2 x j xi u1 u, u2 v, u3 w x1 x, x2 y, x3 z
1 A时 x, t T

2 T t 2
t
A x, t dt
其中， T 为平均周期，它的选取一般要求大于脉动周期 ，而小于流体的特征时间尺度。
②空间平均值： 对于任意时间 t ，以某一空间点 x 为中心，对一定 的空间尺度求平均，即：
1 A空 x, t X

X 2 X x 2 x
根据定义，平均化运算满足以下法则：
(a) A A A A (b) A A
(c ) A 0
平均值再求平均仍然为平均值；
脉动值求平均为零；
(d ) A B ( A A)( B B) A B A B AB AB A B AB
1 ( p p) 2 (u u) x
根据平均化运算法则有：
u uu uv uw uu uv uw 1p 2 u t x y z x y z x
将上式展开，利用平均化的连续方程，进行简化，可 以得到：
(e ) A B A B
A A ( f ) t t
A A s s
( g) Ads Ads
第二节 湍流平均运动方程和雷诺应力
流体运动： 湍流运动 = 平均运动+脉动运动 湍流运动同样满足连续方程及纳维斯托克斯方程，但由 于湍流运动随时间、空间的剧变性（脉动性），考虑细 致的其真实的运动几乎是不可能的，也是没有意义的。 通常采用平均运动方程组来描述湍流运动。
u u u u 1p uu uv uw 2 u v w u t x y z x x y z
u v w u( )0 x y z
这就是 x 方向的平均运动方程（雷诺方程）
同理，可以得到 y ，z 方向的平均运动方程，最终得到形式如 下的平均运动（雷诺）方程：
A A A
或
A A A
A A A
A 表示有规律的流体运动，反映物理量变化的主要趋势
；而 A 为叠加于平均值之上的脉动或涨落，它体现了无 规则的湍流运动。 也就是说，可以把实际物理量分解为两部分：有规则的平 均运动和极不规则的脉动部分，这就是研究湍流运动的基 本方法。
湍流运动极不规则和不稳定，并且每一点的物理量随 时间、空间激烈变化，显然，很难用传统的方法来对湍 流运动加以研究。
但湍流的杂乱无章及随机性可以用概率论及数理统计 的方法加以研究。 也就是说，湍流一方面具有随机性，而另一方面其统 计平均值却符合一定的统计规律。
三、平均值运算法则 ①时间平均值： 考虑一维流体运动，对于物理量 A( x, t ) ，对于任意空间 点 x ，以某一瞬时 t 为中心，在时间间隔 T 内求平均， 即： T