2013年高考数学总复习7-3简单的线性规划问题新人教B版

y＝2，
∴ P(1,2) ，此时 m＝ 1.
[ 点评 ] 对于可行域中含有参数的情形，不妨先取特殊值来帮助分析思路． 7．(2011 ·广州一测 ) 某校计划招聘男教师 x 名，女教师 y 名， x 和 y 满足约束条件
2x－ y≥5， x－ y≤2， x<6.
则该校招聘的教师最多是 ________名．
D． 3
[ 答案 ] A
[ 解析 ] 由图可知，当 z＝ 3x＋ 5y 经过点 A(4,0) 时， z 取最大值，最大值为 12，故选
A.
2x－ y≤0， ( 理 ) 已知正数 x、 y 满足
x－ 3y＋5≥0.
则 z＝
1 4
x·
1 2
y 的最小值为
(
)
A． 1
3 2
B. 4
4
1 C.
16
1 D.
| － 1－1| 2 5
到直线 2y－ x＝ 1 的距离，即为
5 ＝5.
9．(2012 ·安徽理， 11) 若 x、 y 满足约束条件
x≥0， x＋ 2y≥3， 2x＋ y≤3，
则 x－ y 的取值范围是
________ ．
[ 答案 ] [ － 3,0]
[ 解析 ] 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想．
y－2≤0.
y
则 u＝ x的取值范围是 (
)
1 A． [ 3， 2]
11 B． [ 3， 2]
1 C． [ ， 2]
2
5 D． [2 ， ]
2
[ 答案 ] A
[ 解析 ] 在坐标平面上点 ( x， y) 所表示的区域如图所示，令
y t ＝ x，根据几何意义， t
的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然
x－ y＝ 1，
得 A( － 1，
－2) ， ∴ zmin＝－ 1＋2×( － 2) ＝－ 5. [ 点评 ] 画可行域时使用“直线定界，特殊点定域”的方法．
x＋ 2y≤4， 5． ( 文) 实数 x、 y 满足条件 x＋ y≥1，
y≥0.
则 3x＋ 5y 的最大值为 ( )
A． 12
B． 9
C． 8
) 设变量 x、 y 满足约束条件
x≥0， y≥３x， x＋ ay≤7，
若目标函数 z＝ x＋ y 的最大值为 4，则 a 的值为 ________． [ 答案 ] 2 [ 解析 ]
其中 a>1，
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．∵
y＝－ x＋z，∴欲使 z 最大，只
需使直线 y＝－ x＋ z 的纵截距最大，∵ a>1，∴直线 x＋ ay＝ 7 的斜率大于－ 1，故当直线 y
y≤x， y≥－ x， x≤ a，
表示的平面区域 S 的面积为 4，
点 P( x， y) ∈ S，则 z＝ 2x＋ y 的最大值为 ________． [ 答案 ] 6
[ 解析 ]
由题意知
1
2
a
a>0，
a＝4，
∴ a＝ 2，
易得 z＝ 2x＋ y 的最大值为 6.
15．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知
则实数 m的最大值为 ( ) A．－ 1 3 C. 2
B． 1 D． 2
[ 答案 ] B [ 解析 ] 本题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结合思想解决问题的能力． 由约束条件作出其可行域，如图
5
由图可知当直线 x＝ m过点 P 时， m取得最大值，
y＝ 2x， 由
x＋ y－ 3＝ 0，
x＝ 1， 得，
7
21
＝－ x＋ z 经过直线 y＝ 3x 与直线 x＋ ay＝ 7 的交点 ( 1＋ 3a，1＋ 3a) 时，目标函数 z 取得最大
28
28
值，最大值为
1＋
. 3a
由题意得
1＋3a＝4，解得
a＝ 2.
能力拓展提升
11.( 文) 已知变量 x、y 满足约束条件
x＋ y≥2， x－ y≤2， 0≤ y≤3.
平面区域的公共点有 (
)
A． 0 个
B． 1 个
C． 2 个
D．无数个
[ 答案 ] B
[ 解析 ] 直线 2x＋ y－ 10＝ 0 与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线
与此区域的公共点只有 1 个，选 B.
1
( 理)(2012 ·安徽文， 8) 若 x、y 满足约束条件
x≥0， x＋ 2y≥3， 2x＋ y≤3，
) 显然点 B(2,3)
13．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里
48 名同学去水上公园坐船观赏风景，
支部先派一人去了解船只的租金情况， 看到的租金价格如下表， 那么他们合理设计租船方案
后，所付租金最少为 ________元 .
船型
每只船限载人数
租金 ( 元 / 只 )
大船
5
12
小船
3
8
[ 答案 ] 116
kOA最小， kOB最大，
1 ∵点 A(3,1) ，点 B(1,2) ，故 3≤ t ≤2.
10
2x＋ y－2≥0， ( 理 ) 已知实数 x、 y 满足 x－ 2y＋4≥0，
3x－ y－3≤0.
则 x2＋ y2 的最大值为 (
A． 1
B． 4
C． 13
16 D.
3
[ 答案 ] C [ 解析 ] 作出可行域如图， x2＋ y2 表示可行域内的点到原点距离的平方， 使 x2＋ y2 取最大值 13.
2x＋ y＝ 0，平移该直线，当
平移到经过平面区域内的点 (3,0) 时，相应的直线在 x 轴上的截距最大， 此时 z＝ 2x＋ y 取得
最大值，最大值是 6，故选 C.
( 理)(2012 ·广东文， 5) 已知变量 x，y 满足约束条件
x＋ y≤1， x－ y≤1， x＋1≥0，
则 z＝ x＋ 2y 的最
7-3 简单的线性规划问题
基础巩固强化
1. 在平面直角坐标系中，若不等式组
x＋y－1≥0， x－1≤0， ax－ y＋1≥0.
( a 为常数 ) 所表示的平面区域
的面积等于 2，则 a 的值为 ( )
A．－ 5
B． 1
C． 2
D． 3
[ 答案 ห้องสมุดไป่ตู้ D
[ 解析 ] 由题意知 a>－ 1，此时不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，记为△
0≤ x≤1， 0≤ y≤2， 2y－ x≥1.
则
x－ 2＋ y2
的最小值为 ________．
25 [ 答案 ] 5
[ 解析 ] 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，
注意到
x－ 2＋ y2可
视为该区域内的点 ( x，y) 与点 (1,0) 之间距离， 结合图形可知， 该距离的最小值等于点 (1,0)
[ 答案 ] 10
[ 解析 ] 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线
x＋ y＝ 0，平移该直
线，因为 x∈N，y∈ N，所以当平移到经过该平面区域内的整点 (5,5) 时，相应直线在 y 轴上
的截距最大，此时 x＋ y 取得最大值， x＋ y 的最大值是 10.
6
8．(2011 ·苏北四市三调 ) 已知 ( x，y) 满足约束条件
2
x ＋ 2y
2 <4，∴
x＋
2y<2，即
x＋2y－ 2<0，故选
D.
4．( 文)(2012 ·山西大同调研 ) 设变量 x、y 满足约束条件
y≥0， x－ y＋1≥0， x＋ y－3≤0，
则 z＝ 2x
＋y 的最大值为 ( A．－ 2
) B． 4
C． 6
D． 8
2
[ 答案 ] C [ 解析 ]
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．作出直线
[ 解析 ] 设租大船 x 只，小船 y 只，则 5x＋ 3y≥48，租金 z＝12x＋ 8y，作出可行域如
图，
53 ∵－ 3<－ 2，∴当直线 z＝ 12x＋ 8y 经过点 (9.6,0) 时， z 取最小值，但 x， y∈ N，
11
∴当 x＝ 9， y＝1 时， zmin＝ 116.
14．(2012 ·内蒙包头模拟 ) 已知不等式组
根据约束条件，画出可行域如图，其中
3 A(0,3) ，B(0 ，2) ，C(1,1) ，令 t ＝ x－ y 作直线
l 1：x－ y＝ 0，平移 l 0，当平移到经过点 A(0,3) 时， t min＝－ 3，当平移到经过点 C(1,1) 时，
t ＝ max 0，∴ t ∈ [ － 3,0] ．
7
10．(2012 ·河南洛阳市模拟
3．若
x
y
2 ＋ 4 <4，则点
( x， y) 必在 (
)
A．直线 x＋ y－2＝ 0 的左下方
B．直线 x＋ y－2＝ 0 的右上方
C．直线 x＋ 2y－ 2＝ 0 的右上方
D．直线 x＋ 2y－ 2＝ 0 的左下方
[ 答案 ] D [ 解析 ] ∵ 2x＋ 4y≥２ 2x＋2y，由条件 2x＋ 4y<4 知，
(1) 的条件下，求 x， y 为何值时，
P甲－P乙＝ 0.25 ， [ 解析 ] (1) 依题意得
1－ P甲＝ P乙－ 0.05.
P甲＝ 0.65 ， 解得
P乙＝ 0.4.
故甲产品为一等品的概率 P 甲＝ 0.65 ，乙产品为一等品的概率 (2) 依题意得 x、 y 应满足的约束条件为
P 乙＝ 0.4.
若目标函数 z＝ y－ ax 仅在点 (5,3)
8
处取得最小值，则实数 a 的取值范围为 ( )
A． (1 ，＋∞ )
B． ( －∞， 1)
C． ( －1，＋∞ )
D． ( －∞，－ 1)
[ 答案 ] A
[ 解析 ] 点 M(5,3) 为直线 y＝ 3 与 x－ y＝2 的交点，画出可行域，让直线
32
[ 答案 ] C
[ 解析 ]
作出可行域如图，
易得 2x＋ y 的最大值为
4，从而
z
＝
(
1 2
)
2x
·
1 2
y＝
1 2
2x＋y 的最
1 小值为 16，选 C.
6．(2012 ·福建文， 10) 若直线 y＝ 2x 上存在点 ( x，y) 满足约束条件
x＋y－3≤0， x－2y－3≤0， x≥ m，
x＋2y＝ 8， 解方程组
4x＋y＝ 11.
得 x＝2， y＝ 3.
故 M的坐标为 (2,3) ，所以 z 的最大值为 z ＝ max 0.65 ×2＋0.4 ×3＝ 2.5 16．某人有楼房一幢，室内面积共计 180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间 每间面积 18m2，可住游客 5 名，每名游客每天住宿费 40 元；小房间每间面积 15m2，可住游 客 3 名，每名游客每天住宿费为 50 元； 装修大房间每间需要 1000 元，装修小房间每间需要 600 元．如果他只能筹款 8000 元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各 多少间，能获得最大收益？ [ 解 析] 设隔 出大房 间 x 间， 小房间 y 间时收 益为 z 元 ，则 x，y 满 足
点 M(5,3) 旋转，欲使仅在 M点 z 取最小值，应有 a>1.
y＝ ax＋ z 绕
y≥1， ( 理 ) 已知实数 x，y 满足 y≤２x－ 1，
x＋ y≤ m.
如果目标函数 z＝x－ y 的最小值为－ 1，则实
数 m等于 ( )
A． 7
B． 5
C． 4
D． 3
[ 答案 ] B
[ 解析 ] 由选项知 m>0，作出可行域如图．目标函数
甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多
0.25 ，甲产品为二等品的概率比乙产品
为一等品的概率少 0.05.
(1) 分别求甲、乙产品为一等品的概率 P 甲， P 乙；
(2) 已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，
且该厂有工人 32 名，可用资
12
金 55 万元．设 x， y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在 z＝ xP 甲＋ yP 乙最大，最大值是多少？
行域内的点 A 时，－ z 取最大值，从而 z 取最小值－ 1.
z＝ x－ y 对应直线 y＝ x－ z 经过可
9
y＝ 2x－ 1， 由
x＋y＝ m.
得
A(
1＋ 3
m ，
2m－ 3
1 )
，
1＋ m 2m－ 1 2－ m ∴ z＝ 3 － 3 ＝ 3 ＝－ 1，∴ m＝ 5.
x－ y－2≤0， 12． ( 文 ) 设实数 x、 y 满足 x＋ 2y－5≥0，
() A．－ 3 3 C. 2
B． 0 D． 3
[ 答案 ] A
[ 解析 ]
x≥0， 由 x＋ 2y≥3，
2x＋ y≤3.
画出可行域如图：
则 z＝x－ y 的最小值是
令 z＝0，得 l 0： x－ y＝ 0，平移 l 0，当 l 0 过点 A(0,3) 时满足 z 最小，此时 zmin＝0－ 3＝
－3.
4x＋ 8y≤32， 20x＋ 5y≤55， x≥0， y≥0.
且 z＝ 0.65 x＋ 0.4 y.
作出以上不等式组所表示的平面区域 ( 如图阴影部分 ) ，即可行域．
13
作直线 b： 0.65 x＋ 0.4 y＝ 0 即 13x＋ 8y＝ 0，把直线 l 向上方平移到 l 1 的位置时，直线 经过可行域内的点 M，且 l 1 与原点的距离最大，此时 z 取最大值．
ABC，则 A(1,0) ， B(0,1) ， C(1,1 ＋ a) ，
1 ∵ S△ ＝ ABC 2，∴ 2×(1 ＋ a) ×1＝ 2，解得 a＝ 3.
2． ( 文)(2011 ·湖北高考 ) 直线 2x＋y－ 10＝ 0 与不等式组
x≥0， y≥0， x－ y≥－ 2， 4x＋ 3y≤20.
表示的
小值为 ( )
A． 3
B． 1
C．－ 5
D．－ 6
[ 答案 ] C
[ 解析 ] 本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，线性目标函数最值．
x＋ y≤1， 由 x－ y≤1，
x＋1≥0.
画出可行域如图．
3
x＋ 1＝ 0， 令 z＝0 画出 l 0： x＋ 2y＝ 0，平移 l 0 至其过 A 点时 z 最小，由