差分方程的现状

差分方程的现状

黄梅[1]（2014）在《具连续变量的变系数偶数阶差分方程的有界振动》文中研究说明研究时滞差分方程解的性质在理论和应用中是非常重要的.本文借助研究离散变量的差分方程振动性的一般方法,研究了一类具有连续变量的变系数偶数阶中立型差分方程的有界解的振动性,给出了有界解振动的几个充分条件.

冯青华[2]（2013）在《关于时间尺度上几类积分不等式和动力方程解的定性分析》文中研究说明对于许多微分方程、差分方程以及关于时间尺度上的动力方程，如果不能得到其精确解，则对其解的定性分析如有界性、唯一性、对初值和参数的连续依赖性等将显得比较重要。Gronwall-Bellman型不等式在对解的有界性、唯一性、对初值和参数的连续依赖性研究方面起着不可替代的作用。对该类不等式，已有不少研究成果，但我们注意到目前对关于时间尺度上的Gronwall-Bellman型不等式以及关于不连续函数的Gronwall-Bellman型不等式的研究成果并不十分丰富。对微分方程解的振动性和渐近性研究，近几十年来出现了大量研究成果，但这些研究成果大都是针对整数阶微分方程的，而关于分数阶微分方程的振动性研究成果鲜见报道，同时对时间尺度上三阶带阻尼项的动力方程解振动性和渐近性的研究也相对较少。此外，对某些具有特定形式的微分方程，可以求得其精确解。目前，出现了大量针对微分方程精确解求解的方法，如Exp 函数方法，Jacobi椭圆函数方法，齐次平衡法等。但对微分-差分方程精确解的研究成果并不十分丰富，有待于进一步研究。基于以上分析，本论文将做如下几个方面的研究。第一章讨论了总的研究背景，并给出了时间尺度理论的一些重要的定义和定理，第二章主要研究了几类时间尺度上

Gronwall-Bellman-Volterra-Fredholm型不等式、时间尺度上非线性

Gronwall-Bellman型延时积分不等式、时间尺度上非线性Pachpatte型延时积分不等式，基于这几类不等式，推导并建立了未知函数的界，并在此基础上研究了一些具有特定形式的动力方程解的定性性质。这些结论一方面比文献中已有的Gronwall-Bellman型积分不等式或离散不等式具有更一般的意义，另一方面也统一了连续和离散的分析。第三章主要利用时间尺度理论，并结合利用广义Riccati 技巧、不等式技巧和积分平均技巧研究了时间尺度上带阻尼项的三阶动力方程和三阶延时泛函动力方程解的振动性和渐近性，得出了一些新的解振动和渐近的充分条件，并给出了相关的例子；关键之处在于对阻尼项的处理用到了时间尺度上的指数函数。第四章主要利用广义Riccati技巧并结合不等式技巧和积分平均技巧研究了几类带阻尼项和不带阻尼项的含右边Liouville导数的分数阶微分方程解的振动性，得到了一些新的振动规则，并给出了相关的例子。第五章主要建立了一些不连续函数情形下的Gronwall-Bellman型积分不等式，并将它们应用于某些具有特定形式的关于不连续函数的微分或积分方程解的有界性分析，所建立的各种不等式推广了文献中已有的结果。第六章我们将求解微分方程精确解的Riccati 子方程方法推广到求解微分-差分方程的精确解。利用该方法，结合数学软件Maple，得到了Hybrid点阵方程的若干双曲函数形式解、三角函数形式解、有理函数形式解，以及一类（2+1）维Toda点阵方程的变系数精确解

孙彩萍[3]（2012）在《几类微分方程解的频率振动性》文中研究表明差分方程是用来描述微分方程离散化模型的一个工具。经过长时间的探究，差分方程已经作为研究微分方程解的振动性的主要方法之一。同时，在工程技术和科学领域，例如在控制理论，生命科学，经济，金融等出现的现象也只能用差分方程这种离散的数学模型来描述，因此差分方程的研究受到了高度重视。偏差分方程是

含有两个或两个以上独立变量的差分方程，在用有限差分法求偏微分方程近似解中，在研究分子轨道、数学物理方程等问题中常常会遇到这类方程。近十年来，偏差分方程的振动理论得到了迅速的发展。时标理论的出现开辟了数学研究的新领域，时标理论统一研究了连续和离散两种情况。这一理论不仅可以把微分方程和差分方程的性质统一起来进行研究，同时还揭示了连续和离散的本质，避免了大量的重复性工作，因此对这一理论的研究有重要的现实意义。论文主要内容如下：首先，概述了差分方程、泛函偏差分方程和时标上动力方程的研究背景和研究现状。其次，利用频率测度法讨论了一类二阶具正负系数非线性差分方程组的频率振动性，得到了一些判别准则，并用实例进行说明。再次，利用频率测度法研究了一类非线性变时滞中立型偏差分方程和一类特殊形式的非线性中立型偏差分方程的频率振动性，并举例说明。最后，利用频率测度法研究了时标上三阶动力方程和三阶具正负系数变时滞动力方程的频率振动性。得到了一些引理和判别定理。最后给出实例。

郭瑞霞[4]（2012）在《变系数中立型差分方程非振动解存在性问题的研究》文中进行了进一步梳理差分方程被看作是微分方程及时滞微分方程的离散化和数值解，已经成为数学研究，特别是动力系统中的一个重要分支。差分方程解的非振动性研究是差分方程理论的重要组成部分，具有重要的理论意义和实际应用价值。如今，随着计算机技术的迅速发展，有关它们的研究已成为一个非常活跃的研究领域。本文主要研究了一类带有力迫项的一阶非线性差分方程非振动解的存在性问题和一类变系数高阶中立型差分方程非振动解的存在性问题，分别给出了相应方程存在非振动解的一些判别条件。这两类问题的研究均推广了已有文献中存在的结果。首先，本文回顾了差分方程的发展历史、研究背景以及前人已取

得的研究成果，并且引出了本论文的主要研究工作。其次，本文提出了一类带有力迫项的一阶非线性差分方程非振动解的存在性问题，不仅将已有文献方程中的二元函数推广为三元函数，同时改变已有结果中保证非振动解存在的充分条件，在证明思想和方式上做了相应的变化和调整，利用巴拿赫不动点定理得到了方程存在非振动解的充分必要条件，之后列举实际例子说明定理的正确性和有效性。再次，本文又讨论了另一类变系数高阶中立型差分方程非振动解的存在性问题，不仅删除了原有结果中保证非振动解存在的相对较强的假设条件，而且扩大了参数的取值范围，之后同样利用巴拿赫不动点定理得到了该类方程非振动解存在的充分条件，对于没有考虑到的参数取-1的情况，通过举反例说明此时方程的解可能是振动的。最后，本文对全文的主要工作做了简单的总结，并对提出的一些开问题以及未来潜在可能的工作发展方向进行展望。

豆可可[5]（2012）在《几类具有时滞的中立型差分方程的振动性》文中研究说明微分方程是用来描述自然现象变化规律的有力工具,我们通常将相应的差分方程视作其离散形式,但它也具有自身的特殊性.随着计算机科学技术的发展,在许多学科中,如工程控制、医学、现代物理、生物数学等领域,不断提出了大量中立型差分方程.而差分方程的振动性是差分方程定性理论的重要内容,因此对中立型差分方程振动性的研究不仅是数学理论本身发展的需要,还是实际应用的需要.本文分别讨论了有时滞的常系数、变系数以及具有正负系数的中立型差分方程解的振动性质,全文共分以下几个部分：第一章介绍了几类中立型时滞差分方程的研究背景和基本定义以及本文所要研究的主要内容.第二章讨论了一阶常系数泛函微分方程解振动的一个充分条件以及中立型时滞差分方程一切解振动的若干充分必要条件,推广了现有文献中的结论.第三章讨论了一类二阶非线性变系