高三模拟考试数学试题(理科)

河南省郑州一中、开封高中、洛阳一高、信阳高中届高三四校联考 数学试题（理科）

命题人：朱建阁 肖大宏 学校：信阳高中 第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

已集合P={平面直角坐标系下直线的倾斜角}，Q={两非零向量的夹角}，R={二面角的大小}，S={平面上两相交直线所成的角}，则 A.P

Q=R s ⊆ B.S

P

Q=R C.S

P

Q=R D.S

P

Q

R

2、已知虚数w 满足w2+w+1=0，则集合M={(iw)2n|n ∈N}（其中i2=-1）中有几个元素： A.3 B.6 C.9 D.无数个

3、已知数列{an}为等差数列，且s5=28,s10=36，则s15等于 A.80 B.40 C.24 D.-48

4、函数f(x)=x2-2ax -3在区间[1，2]上存在反函数的充要条件是

A.a ∈（-∞，1]

B.[2,+∞）

C. a ∈[1,2]

D.(- ∞，1]∪[2,+∞)

5、已知f(sinx+cosx)=tanx （x ∈[0,π]），则 f (7

13)等于

A.-125

B. -512

C. ±125

D. -125或-512

6、将函数()3sin 2cos 2f x x x =-的图象向右平移(0)θθ>个单位，所得函数是奇函数，则实数θ的最小值为

A.6π

B. 56π

C. 12π

D. 512π

7、经过抛物线24x y =的焦点F 的弦AB 端点的两切线所成的角

A.锐角

B.直角

C.钝角

D.都可能 8、在四面体ABCD 中，AD ⊥平面DBC ，BD ⊥DC ，AD=3,2BD DC ==，

则二面角A —BC —D 的大小为

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

9、设A1、A2是椭圆22

194x y +=的长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2

的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为

A. 22194x y +=

B. 22194y x +=

C. 22194x y -=

D. 22

194y x -=

10、若曲线y=x4的一条切线与直线480x y +-=垂直，则l 的方程是 A.4x -y -3=0 B.x+4y -5=0 C.4x -y+3=0 D.x+4y+3=0

11、袋中装有编号从1、2、3、4的四个球，四个人从中各取一个球，则甲不取1号球，乙不取2号球，

丙不取3号球，丁不取4号球的概率

A.14

B.38

C.1124

D.2324

12、如图所示，O 、A 、B 是平面上三点，向量,,OA a OB b ==在平面AOB 上，P 为线段AB 的垂直平分线上任一点，向量,3,2,

OP p a b ===则p ·（a b -）

值是

A.52

B.5

C.3

D. 32

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案直接题中横线上。 13、若

1010012210(2),

x a a a x a x -=+++⋯+则

20282log log log 45a a +-=

；

14、已知变量x,y 满足约束条件230,330,10,

x y x y y +-≤⎧⎪

+-≥⎨⎪-≤⎩若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点（3，0）处

取得最大值，则a 的取值范围是

15、若()()f x m m R ≤∈，则我们称m 是f(x)的上确界，如sin ,cos x x 的上确界都是1，现已知a 、b 均为正数，a+b=1，则2121a b +++的上确界是

16、已知函数f(x)= 2

(1)

3(1)1x b x x ax x x +≤⎧⎪⎨+->⎪-⎩在x=1处连续，则3lim n n

n n x b a b a →∞+=-

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、（本题满分10分） 设(3sin 2,cos 2),(sin 2,sin 2)a x x b x x ==，若函数()f x a =·()b t t R +∈ （Ⅰ）指出函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）当

[,]

126x ππ

∈-

时，函数()f x 的最大值为3,求函数()f x 的最小值,并求此时的x 值.

18、（本题满分12分）

甲乙两人参加某电视台举办的抽奖游戏，参与游戏者可以从一个不透明的盒子中抽取标有1000元、800元、600元、0元的四个相同的小球中的任意一个，所取到的小球上标有的数字，就是其获得奖金，取后放回同时该人摸奖结束。规定若取到0元，则可再抽取一次，但所得奖金减半，若再次抽取到0元，则没有第三次抽取机会。

（Ⅰ）求甲、乙两人均抽中1000元奖金的概率； （Ⅱ）试求甲抽得奖金数的期望值；

19、（本题满分12分） 如图,在直四棱柱

1111

ABCD A B C D -中,底面

1111

A B C D 为梯形,且

11

A B ∥

11

C D ,

111111111

1,,2A D D D D C A B AD C E 1===

=⊥A 是棱11A B 的中点.

（Ⅰ）求证CD AD ⊥； （Ⅱ）求点

111

C C

D B 到平面的距离； （Ⅲ）求二面角11

D C

E B --的余弦值.

20、（本小题满分12分）

已知函数21

()ln (,[,2])

2a x f x x a R x x -=+∈∈ （Ⅰ）当

1

[2,]

4a ∈-，求()f x 的最大值； （Ⅱ）设 ()[()ln ]g x f x x =-·2

,()x k g x 是图象上不同两点连线的斜率，是否存在实数a,使得1k <恒

成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.

21、（本题满分12分）

已知数列

1{}(01)(1)1n n a

a a a a a n Sn a a =≠≠=

--满足且其前项的和.

（Ⅰ）求证：{}

n a 的等比数列；

（Ⅱ）若

7

,lg (*)

3n n n a b a a n N =-

=∈记问是否存在正整数m ，使得对于任意正整数n,都有n m b b ≥？

若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由.

22、（本题满分12分）

在直面坐标平面中，△ABC 的两个顶点AB 的坐标分别为

77

(,0),(,0)(0),A a B a a -

>两动点