理论力学总复习

C 、拉格朗日方程 (1) 理想、完整体系的普遍拉格朗日方程 理想、
d T T = Q α , α = 1 ,2 ,L , s . &α dt q qα
(2)理想、完整和保守体系的拉格朗日方程 理想、 理想
r 主动力F 均为保守力, 主动力 i均为保守力 F = V , 则
d L L = 0 , α = 1 ,2 ,L , s . & dt q α qα
2
D、中心势场中单粒子的运动方程和轨道方程 、 粒子运 动方程
r = r (t )
t(r ) = ±
∫
dr L 2 [ E V ( r )] m m 2r
2 2
.
θ = θ (t )
θ ( t ) = ∫ dθ =
∫ mr
L
2
(t )
dt
L dr r2
粒子轨 θ = θ (r ) 道方程 E、有效势场 、
rC
(2)质心运动定理 (2)质心运动定理
∑m r = ∑m
i i i
i i
=
∑m r
i
i i
பைடு நூலகம்
ms
dvC (e ) ms =F dt
C. 角动量定理 1.质点系角动量定理(对惯性系坐标原点) 1.质点系角动量定理(对惯性系坐标原点) 质点系角动量定理
dL = dt
∑
n
i=1
ri × F i
(e )
& & L = L1 ( r0C , r0C ) + L2 ( r , r )
1 & L1 = ( m1 + m 2 )r02C V ( e ) ( r0C ) 2 1 & L2 = m r r 2 V ( i ) ( r ) 2
折合质量
m1m 2 mr = m1 + m 2
C、 在中心势场中单粒子的运动 、 (1) 中心势场中单粒子的拉格朗日函数 1 & & L = T V = m(r 2 + r 2θ 2 ) V (r ) 2 (2) 粒子的两个守恒量
1 1 2 & &2 T = m 1 r 01 + m 2 r02 2 2
V = V ( e ) ( r0C ) + V ( i ) ( r ) 体系势能
1 m2 1 m1 & & & & L = T V = m1 (r0C + r )2 + m2 (r0C r )2 V (e ) (r0C ) V ( i ) (r ) 2 m1 + m2 2 m1 + m2
m2 v01 = v 0 C + v1 = v0 C + v m1 + m 2 m1 v02 = v0 C + v 2 = v0 C v m1 + m 2
相对坐标 与坐标系无关
r = r01 r02 = r1 r2
v = v 01 v 02 = v1 v 2
B、 两粒子体系拉格朗日函数 、 体系动能
& & & y m&& = F y ( x , y , z , x , y , z; t ), m&& = F ( x , y , z , x , y , z; t ). & & & z z
(2)平面极坐标 (2)平面极坐标
& m ( && rθ 2 ) = Fr r & && m ( rθ& + 2rθ ) = Fθ
(3) F3(p,Q,t) 称为第三类正则变换母函数 称为第三类正则变换 第三类正则变换母函数
α α
dF3 ( p, Q , t ) = ∑ qα dpα ∑ Pα dQα + ( H * H )dt
qα = F3 F F3 , pα = 3 ,α = 1,2,L, s; H * = H + pα Qα t
H = & ∑ pα qα L = 常数 α
=1 s
三、经典力学的哈密顿理论
A、正则共轭坐标 、 s对广义坐标 α和广义动量 α称为正则共轭 对广义坐标q 对广义坐标 和广义动量p 称为正则共轭 坐标, 正则共轭变量. 坐标 或正则共轭变量 B、哈密顿函数及正则方程 、 (1) 哈密顿函数 H = p q L ∑ α &α
&& & m ( R R 2 ) = FR , && && m ( R + 2 R ) = F , m&& = F . z z
(5)自然坐标与内禀方程 (5)自然坐标与内禀方程 a.平面曲线 a.平面曲线
m m dv = Ft dt v2 = Fn
b.空间曲线 b.空间曲线
dv m = Ft dt v 2 = Fn m ρ Fb = 0.
1 & E = m ( r 2 + r 2θ& 2 ) + V ( r ) = const . 2
& L = mr2θ = const.
(3) 把关于 θ的两维运动问题约化为关于 的一 把关于r,θ的两维运动问题约化为关于r的一 维运动问题. 维运动问题
dr & r = = ± dt 2 L2 [ E V ( r )] m m 2r
α =1
s
H = T +V
H L = t t
(2) 正则方程
H & qα = , pα .α = 1,2, L , s. H pα = & , qα
C、哈密顿作用量及哈密顿原理 、 (1) 哈密顿作用量 哈密顿作用量: (2) 哈密顿原理 哈密顿原理: D. 正则变换 (1) F1(q,Q,t)称为第一类正则变换母函数 称为第一类正则变换 称为第一类正则变换母函数
∑
i
1 1 2 2 m iv ′ = m svC + T ′ i 2 2
(3) 保守力作用下的质点机械能守恒
二、拉格朗日方程
A、理想约束 (1) 理想约束 (2) 达朗贝尔方程 达朗贝尔方程
∑F
i
i
Ni
δri = 0.
m i && ) δri = 0. ri
∑ (F
i
B、 完整约束 广义坐标 、 完整约束是指约束条件只和体系各质点的坐标 完整约束是指约束条件只和体系各质点的坐标ri 是指约束条件只和体系各质点的坐标 及时间t有关 有关,约束方程可写成 及时间 有关 约束方程可写成
(4) F4(p,P,t) 称为第四类正则变换母函数 称为第四类正则变换 第四类正则变换母函数
α α
dF4 ( p, P , t ) = ∑ qα dpα + ∑ Qα dPα + ( H * H )dt
qα = F4 F , Qα = 4 , α = 1,2, L , s; pα Pα
F4 H*= H + t
θ (r ) =
∫ dθ = ∫
2 m [ E V ( r )]
L r2
2
.
m 2 L2 m 2 & & E= r + + V (r ) = r + Veff (r ) 2 2 2mr 2
m 2 & T = r = E Veff (r ) ≥ 0 2
E ≥ Veff (r )
五、刚 体
A、描述刚体运动的坐标、自由度和广义坐标 、描述刚体运动的坐标、 (1) 描述刚体运动的坐标系 采用两种坐标系: 固定在空间的静坐标系 静坐标系Ox 采用两种坐标系 固定在空间的静坐标系 0y0z0和固 定在刚体上并随刚体一起运动的动坐标系 定在刚体上并随刚体一起运动的动坐标系Cxyz. 动坐标系 (2) 刚体运动的自由度和广义坐标 刚体一般运动可分解为刚体上任一点C的平动和 刚体一般运动可分解为刚体上任一点 的平动和 点的定点转动. 绕C点的定点转动 点的定点转动 刚体一般运动的自由度为6. 刚体一般运动的自由度为 描述平动部分可用
(2) F2(q,P,t) 称为第二类正则变换母函数 称为第二类正则变换 第二类正则变换母函数
α α
dF2 (q , P , t ) = ∑ pα dqα + ∑ Qα dPα + ( H * H )dt
pα = F2 F F2 , Qα = 2 , α = 1,2, L , s; H * = H + qα Pα t
ρ
B. 动量定理 1.质点系动量定理 1.质点系动量定理
n dps = ∑ Fi( e ) = F ( e ) dt i =1
2.质点系动量守恒定律 2.质点系动量守恒定律
F (e) = 0
ps = ∑ m i v i = 常矢量 .
i =1
n
3.质点系动量定理的另一形式--质心运动定理 3.质点系动量定理的另一形式--质心运动定理 质点系动量定理的另一形式-(1)质心定义： (1)质心定义： 质心定义
式中 称为拉格朗日函数 称为拉格朗日函数. 拉格朗日函数
D、拉格朗日方程对平衡问题的应用 、 平衡条件： 平衡条件： (1) 主动力为普通力时 主动力为普通力时:
ri Qα = ∑ Fi = 0, α = 1,2,..., s. qα i =1
n
(2) 主动力为保守力时 主动力为保守力时:
V = 0 , α = 1 ,2 ,L , s. qα
dt t
(2) 泊松括号表示的正则方程：q = [H , q ] 泊松括号表示的正则方程： & α α
(3) 泊松定理： 泊松定理： 都是运动积分, 若f和g都是运动积分 则它们的泊松括号 和 都是运动积分 则它们的泊松括号[f,g]也 也 是运动积分. 是运动积分
& pα = [H , pα ]
E、 哈密顿雅可比方程 、 哈密顿 雅可比方程 (1) 哈密顿主函数 S (q, t ) = F (q, t ) + A 哈密顿主函数:
(2) 哈密顿 雅可比方程 H (q, S (q, t ) , t ) + S (q, t ) = 0 哈密顿-雅可比方程 雅可比方程:
q t
F、泊松括号 、
(1) 力学量 的运动方程：df = f + [ H , f ] 力学量f的运动方程 的运动方程：
理论力学
期末总复习
一、 牛顿动力学方程
A. 牛顿第二定律在常用坐标系中的表示式 1.牛顿第二定律的一般形式 1.牛顿第二定律的一般形式
& m && = F ( r , r , t ) r
2.牛顿第二定律在 2.牛顿第二定律在不同坐标系中的表示式 牛顿第二定律 & & & x (1)直角坐标系 (1)直角坐标系 m&& = Fx ( x , y, z , x , y , z; t ),
& S = ∫ L(q , q , t )dt
t1
t2
& δS = δ ∫ L(q, q, t )dt = 0
t1
t2
dF1 ( q, Q, t ) = ∑ pα dqα ∑ Pα dQα + ( H * H ) dt
α α
F1 F1 F1 pα = , Pα = , α = 1, 2 , L , s. H * = H + qα Qα t
C点的三个坐标 0c、y0c、z0c和定点转动部分的三个 点的三个坐标x 点的三个坐标 欧拉角φ、 、 可作为刚体一般运动的广义坐标. 可作为刚体一般运动的广义坐标 欧拉角 、θ、ψ可作为刚体一般运动的广义坐标
E、 对称性和守恒定律 、 在运动过程中保持不变的广义坐标和广义速度的 函数叫做运动积分 运动积分. 函数叫做运动积分 (1) 广义动量 L中不出现某一广义坐标 α: 中不出现某一广义坐标q 中不出现某一广义坐标
L pα = = 常数,α = 1,2,..., s. & qα
(2) 广义能量
L中不显含时间 中不显含时间t: 中不显含时间
四、 两体问题
* 实验室坐标系是惯性系 静坐标系 实验室坐标系是惯性系 静坐标系); 是惯性系(静坐标系 * 质心坐标系是动坐标系 质心坐标系是动坐标系. 是动坐标系 A. 两粒子体系的不同坐标与速度关系 (1) 实验室坐标系与相对坐标的关 系 m2
r01 = r0 C + r1 = r0 C + m + m r 1 2 m1 r02 = r0 C + r2 = r0 C r m1 + m 2
= M
2.对惯性系中P 2.对惯性系中P点的角动量定理形式 对惯性系中
dL P = v P × m svC + M P dt
D. 能量定理 (1)质点系的动能定理 (1)质点系的动能定理
dT =
∑F
i
(e ) i
dr i + ∑ F i
i
(i)
dr i
(2)寇尼希定理 (2)寇尼希定理
1 2 T = m svC + 2
(3)球坐标 & (3)球坐标 m(&& rθ& 2 r 2 sin 2 θ ) = Fr , r
& &2 && m(rθ& + 2rθ r sin θ cos θ ) = Fθ , m(r sin θ + 2r sin θ + 2rθ cos θ ) = F . && && &&
(4)柱坐标 (4)柱坐标