人教A版选修1-1教案11变化率问题12导数的概念含答案

§3．1.1 变化率问题
§3．1.2 导数的概念
【学情分析】：
本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：
1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.
2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.
学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。

【教学目标】：
知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义. 【教学重点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.
【教学难点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
(1)引入变化率和瞬时速
度
1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速
度，叫做瞬时速度.
2. 确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：
要确定物体在某一点A处的瞬时速度，从A点起取一小
段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均
速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.
当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速
的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度了.
我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知
道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s=s(t)，也
叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t0，0+Δt，
现在问从t0到t0+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各
是：
位移为Δs=s(t0+Δt)－s(t0)(Δt称时间增量)
为导数概
念的引入
做铺垫平均速度
()()
00
s t t s t
s
v
t t
+-
∆
==
根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移
由时间t来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于
瞬时速度.
现在是从t0到t0+Δt，这段时间是Δt. 时间Δt足够短，
就是Δt无限趋近于0. 当Δt→0时，平均速度就越接近于瞬
时速度，用极限表示瞬时速度
瞬时速度
()()
00
00
lim lim
t t
s t t s t
v v
t
→→
+-
==
所以当Δt→0时，平均速度的极限就是瞬时速度
(2)例题讲解
例1、物体自由落体的运动方程s=s(t)=
2
1
gt2，其中位移单
位m，时间单位s，g=9.8 m/s2. 求t=3这一时段的速度.
解：取一小段时间［3，3+Δt］，位置改变量Δs=
2
1
g(3+
Δt)2－
2
1
g·32=
2
g
(6+Δt)Δt，平均速度
2
1
=
∆
∆
=
t
s
v g(6+Δt) 瞬时速度为：
m/s
4.
29
3
)
(
2
1
lim
lim
=
=
∆
+
=
=
→
∆
→
∆
g
t
t
g
v
v
t
t
由匀变速直线运动的速度公式得v=v0+at=gt=g·3=3g=29.4
m/s
例2、已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：
cm，时间单位：s)，
(1)当t=2，Δt=0.01时，求
t
s
∆
∆
.
(2)当t=2，Δt=0.001时，求
t
s
∆
∆
.
(3)求质点M在t=2时的瞬时速度.
让学生进
一步认识
瞬时速
度，为引
入导数的
概念做好
铺垫.
分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，
t
s
∆
∆
即
平均速度，当Δt越小，求出的
t
s
∆
∆
越接近某时刻的速度.
解：∵
t
t
t
t
t
t s
t
t s
t
s
∆
+
-
+
∆
+
=
∆
-
∆
+
=
∆
∆)3
2(
3
)
(2
)(
)
(2
2
=4t+2
Δt
∴(1)当t=2，Δt=0.01时，
t
s
∆
∆
=4×2+2×0.01=8.02 cm/s
(2)当t=2，Δt=0.001时，
t
s
∆
∆
=4×2+2×0.001=8.002 cm/s
(3)v =0
0lim lim →∆→∆=∆∆t t t s (4t +2Δt )=4t =4×2=8 cm/s
(3) 导数的概念
设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在
0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量
)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比
x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x
y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导
数，记作0/x x y =，即 x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/
注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在
(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、
但不为0，而y ∆可能为0
(3)
x y ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率.
要让学生理解导数概念
例3、求y =x 2在点x =1处的导数.
分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先
求Δy ，再求x y ∆∆，最后求0lim →∆x x
y ∆∆. 解：Δy =(1+Δx )2－12=2Δx +(Δx )2，
x
x x x y ∆∆+∆=∆∆2
)(2=2+Δx ∴0lim →∆x x y ∆∆=0
lim →∆x (2+Δx )=2. ∴y ′|x =1=2. 注意：(Δx )2括号别忘了写.
学生自学教材P75 例1
(4)课堂小结 (1)理解函数的概念。

（2）求函数)(x f y =的导数的一般方法：
①求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆.
②求平均变化率
x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(. ③取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim .
补充题目：1.一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t
∆→∆∆为
（ ）
Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度
2．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s =s (t )=t 2 (位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在t =5时的瞬时速度
解：瞬时速度v =22
00(5)(5)(5)5lim lim t t s t s t t t
∆→∆→+∆-+∆-=∆∆ 0
lim t ∆→=(10+Δt )=10 m/s. ∴瞬时速度v =2t =2×5=10 m/s.
3.质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，求质点M 在t =2时的瞬时速度.
解：瞬时速度v =t
t t s t s t t ∆+⋅-+∆+=∆-∆+→∆→∆)322(3)2(2lim )2()2(lim 2200 =0
lim →∆t (8+2Δt )=8 cm/s.。