第九章 直梁弯曲

第九章 直梁弯曲
基本概念
轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 直梁 曲梁 有对称平面的梁称为对称梁 没有对称平面的梁称为非对称梁 对称梁， 非对称梁。 有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁。
平面弯曲（对称弯曲） 若梁上所有外力都作用在纵向对称面内， 平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内， 梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。 梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面， 非对称弯曲： 若梁不具有纵向对称面 ， 或梁有纵向对称面上但 外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。 外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
第九章 直梁弯曲
梁的计算简图—静定梁的形式 §9－2 梁的计算简图 静定梁的形式
梁的载荷
集中力（或集中载荷） 集中力（或集中载荷） 当外力在梁上 的分布范围远远小于梁的长度时， 的分布范围远远小于梁的长度时，便可简 化为作用于一点的集中力。 化为作用于一点的集中力。 分布载荷 沿梁全长或部分长度连续 分布的横向力。 分布的横向力 。 通常以沿梁轴每单位长 度上所受的力， 度上所受的力，即载荷密度 q 来表示 集中力偶 作用在微小梁段的外力 偶称为集中力偶。 偶称为集中力偶。 M F1 集中力 q
第九章 直梁弯曲
例 9-2 一悬臂梁 ，在自由端受集中力 作用， 一悬臂梁AB，在自由端受集中力P 作用， 如图所示。试作此梁的剪力图和弯矩图。 如图所示。试作此梁的剪力图和弯矩图。
列剪力方程和弯矩方程， 解 ： (1) 列剪力方程和弯矩方程 ， 点取作坐标原点。 将梁左端A点取作坐标原点。 剪力方程和弯矩方程
弯矩
第九章 直梁弯曲
剪力Q的符号 若被保留的梁段的截面上的剪力 剪力 的符号：若被保留的梁段的截面上的剪力 对该 的符号 若被保留的梁段的截面上的剪力Q对该 截面作“顺时针转” 为正， 截面作“顺时针转”的Q为正，反之为 为正 弯矩M的符号规定：在图示的变形情况下，即在横截面 的符号规定：在图示的变形情况下， 弯矩负。 的符号规定 m-m处弯曲变形凸向下时，这一横截面上 处弯曲变形凸向下时， 处弯曲变形凸向下时 的弯矩规定为正，反之为负。 的弯矩规定为正，反之为负。
M ( x1 ) = FA x =
x1 FA x2 FB
Pb x1 (0 ≤ x1 ≤a) l
Pab/l
M ( x2 ) = FA x2 − P( x2 − a ) = Pa (l − x2 ) (a ≤x2 < l ) l
(3) 画弯矩图
M max =
Pab l
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弯矩图的特点
梁上没有均布载荷作用的部分,弯矩图为倾斜直线。而且若均布 梁上没有均布载荷作用的部分, 弯矩图为倾斜直线。 向下时, 弯矩图自左而右向下斜；反之, 载荷q向下时, 弯矩图自左而右向下斜；反之, 自左而右向上斜 。 梁上有均布载荷作用的一段，弯矩图为抛物线， 梁上有均布载荷作用的一段，弯矩图为抛物线，而且若均布载 向下时，抛物线开口向下。反之,抛物线开口向上。 荷q向下时，抛物线开口向下。反之,抛物线开口向上。 在集中力作用处，弯矩图上在此出现折角(即两侧斜率不同)。 在集中力作用处，弯矩图上在此出现折角(即两侧斜率不同) 梁上集中力偶作用处,弯矩图有突变， 梁上集中力偶作用处,弯矩图有突变，突变的值即为该处集中力 偶的力偶矩。 若力偶为顺时针转向,弯矩图向上突变, 偶的力偶矩。 若力偶为顺时针转向,弯矩图向上突变,反之弯矩图 向下突变(自左至右) 向下突变(自左至右)。 绝对值最大的弯矩总是出现在下述截面上；集中力作用处；集中 绝对值最大的弯矩总是出现在下述截面上；集中力作用处； 力偶作用处和剪力等于零的截面上。 力偶作用处和剪力等于零的截面上。
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Iz——横截面对中性轴 的惯性矩 横截面对中性轴z的惯性矩 横截面对中性轴
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梁弯曲时任一截面上弯曲正应力的最大值。 梁弯曲时任一截面上弯曲正应力的最大值。
横截面对称于中性轴的梁， 时弯曲正应力最大。 横截面对称于中性轴的梁，当y=ymax时弯曲正应力最大。
σ max
σ max =
My max = IZ
由对称性知： ql FA = FB = 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
Q = FA M = FA x qx = ql 2 qx (0 < x < 1) qx 2 (0 ≤x < 1) 2
FA
FB
qx 2 qlx = 2 2
(3) 画剪力图和弯矩图
Q max = M max ql 2 ql 2 = 8
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=0
若以右部分为研究对 结果相同。 象，结果相同。
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§9－4
梁的剪力和弯矩方程
剪力图和弯矩图
剪力图和弯矩图绘制的基本方法
Q = Q(x)
M = M (x)
x表示横截面在梁 轴线上的位置
剪力和弯矩图： 剪力和弯矩图 ： 根据剪力方程和弯矩方程用图线把剪力和弯矩 沿梁轴线的变化情况表示出来的图线。 沿梁轴线的变化情况表示出来的图线。 作图时，要选择一个适当的比例尺， 为横坐标， 作图时，要选择一个适当的比例尺，以横截面位置 x 为横坐标， 值为纵坐标，并将正剪力和正弯矩画在x轴的上 剪力和弯矩 M 值为纵坐标，并将正剪力和正弯矩画在 轴的上 边，负的画在下面。 负的画在下面。
当梁发生纯弯曲变形时, 当梁发生纯弯曲变形时,可 观察到下列一些现象： 观察到下列一些现象： (1) 两条纵线都弯成曲线 a’a’ 和 b’b’ ,且靠近底面的纵线 伸长了 且靠近底面的纵线bb伸长了 且靠近底面的纵线 伸长了, 而靠近顶面的纵线aa 缩短了。 而靠近顶面的纵线 缩短了。 两条横线仍保持为直线, (2) 两条横线仍保持为直线 , 只 是相互倾斜了一个角度, 是相互倾斜了一个角度,但仍垂 直于弯成曲线的纵线。 直于弯成曲线的纵线。 在纵线伸长区,梁的宽度减小;在纵线缩短区,梁的宽度增大。 (3)在纵线伸长区,梁的宽度减小;在纵线缩短区,梁的宽度增大。情况 与轴向拉伸、压缩时的变形相似。 与轴向拉伸、压缩时的变形相似。
Q= P
(0 < x < 1)
Q O
M = Px (0 ≤x < 1)
(2) 画剪力图和弯矩图 剪力图是水平线 弯矩图是一条倾斜直线
Q max = P M
max
x P
= Pl
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例 9- 3
一简支梁 AB ,受均布载荷 q 的作用，试作此梁的弯矩图。 的作用，试作此梁的弯矩图。
解： 1、求支反力
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§9－5
梁弯曲正应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
各横截面上同时有弯矩M和剪力 ，称为剪切弯曲 剪切弯曲。 各横截面上同时有弯矩 和剪力Q，称为剪切弯曲。 和剪力 各横截面只有弯矩M，而无剪力 ，称为纯弯曲 各横截面只有弯矩 ，而无剪力Q，称为纯弯曲。
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梁在纯弯曲时的实验观察
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纯弯曲时梁的正应力
进一步分析得到 进一步分析得到： 由于直梁弯曲时, (1) 由于直梁弯曲时,横截面上只有正应 而无剪应力。 力σ ，而无剪应力。 (2) 正应力的分布规律 (3) 弯曲时截面上的弯矩可以看成是整 个截面上各点的内力对中性轴的力矩所 组成。 组成。 My 曲梁也适用 σ= 正应力计算公式 Iz σ——横截面上任一点处的正应力 横截面上任一点处的正应力 M —— 横截面上的弯矩 y —— 横截面上任一点到中性轴 的距离
P
横向力： 横向力：作用于杆件 上且都垂直于杆的轴 线的外力。 线的外力。 弯曲： 弯曲 ： 在横向力作用 下 ， 杆的轴线将弯曲 成一条曲线的变形形 式。 梁：凡是以弯曲变 形为主的杆件。 形为主的杆件。
P P P
P P P
工程力学中的梁，包括结构物中的各种梁， 工程力学中的梁，包括结构物中的各种梁，也 包括机械中的转轴和轮齿轴等。 包括机械中的转轴和轮齿轴等。
∑M
A
= 0 FB × 4 − P ×1.5 = 0
FB = 3.75kN
∑Y = 0
FA + FB − P = 0 FA = 6.25kN
（ 2 ） 求 截 面 n-n 上 的 弯 矩 剪 力 和 弯 矩，以 n-n 以左部分为研究对象
∑Y = 0 ∑m
0
Q = FA = 6.25kN M = FA × 0.8 = 5kN ⋅ m
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§9－3
弯曲内力—剪力和弯矩 弯曲内力 剪力和弯矩
截面法过程：切取、替代、 截面法过程：切取、替代、平衡
∑Y = 0 : F
A
− P −Q = 0 1 Q = FA − P 1
剪力
∑M
C
= 0 : FAx + P ( x − a ) + M = 0 1 M = FAx + P ( x − a ) 1
抗弯截面系数 单位：长度的三次方 单位：
M M = I Z / y max WZ
例 9-4 简支梁 ,在C 点处受集中力 作用, 如图所 简支梁AB, 点处受集中力P 作用, 试作此梁的弯矩图。 示。试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
∑ M B = 0 Pb − FAl = 0
∑ Y = 0 FA + FB − P = 0
(2) 列弯矩方程 端为x 距A端为 1和x2两截面处截开 端为 AC 段 CB 段
剪力符号规定
弯矩符号规定
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例9-1 一简支梁 ，如图所示，在点 C 处作 一简支梁AB，如图所示， 用一集中力P=10 ，求距 端0.8 处截面 用一集中力 =10kN，求距A 0.8m处截面 =10 n-n 上的剪力和弯矩。 上的剪力和弯矩。
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解：（1）求支座反力 由静力平衡方程 ：（1
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静定梁的基本形式
简支梁 梁的一端为固定铰 支座，另一端为活动铰支座。 支座，另一端为活动铰支座。 外伸梁 梁有一个固定铰支座和 一个活动铰支座， 一个活动铰支座 ，而梁的一端或两 端伸出支座之外。 端伸出支座之外。 悬臂梁 端自由。 端自由。 梁的一端固定， 梁的一端固定，另一
简支梁或外伸梁的两个铰支座之间的距离称为跨度 简支梁或外伸梁的两个铰支座之间的距离称为跨度 悬臂梁的跨度是固定端到自由端的距离
第九章 直梁弯曲
推断和假设
假设： 梁在纯弯曲时， 假设： (1) 梁在纯弯曲时 ，各横截 面始终保持为平面，并垂直于梁轴。 面始终保持为平面，并垂直于梁轴。 此即弯曲变形的平面假设。 此即弯曲变形的平面假设。 平面假设 纵向纤维之间没有相互挤压, (2) 纵向纤维之间没有相互挤压,每 根纵向纤维只受到简单拉伸或压缩。 根纵向纤维只受到简单拉伸或压缩 。 中性层：从伸长到缩短区，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短。 中性层：从伸长到缩短区，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短。这 一长度不变的过渡层称为中性层。 一长度不变的过渡层称为中性层。 中性轴： 中性轴：中性层与横截面的交线 在纯弯曲的条件下，所有横截面仍保持平面 ， 只是绕中性轴作 在纯弯曲的条件下 ， 所有横截面仍保持平面， 相对转动，横截面之间并无互相错动的变形， 相对转动 ， 横截面之间并无互相错动的变形 ， 而每根纵向纤维 则处于简单的拉伸或压缩的受力状态。 则处于简单的拉伸或压缩的受力状态。
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主要内容： 主要内容：
弯曲的概念与实例 梁的计算简图—静定梁的形式 梁的计算简图 静定梁的形式 弯曲内力—剪力和弯矩 弯曲内力 剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 梁弯曲正应力 梁弯曲正应力强度条件 梁的弯曲变形计算和刚度校核 简单超静定梁的解法 提高梁承载能力的措施 第九章 直梁弯曲
§9－1 弯曲的概念与实例
均布荷载 q(x)
集中力偶
任意分布荷载
第九章 直梁弯曲
梁的支座
固定铰支座 这种支座可阻止梁 在支承处沿水平和垂直方向的移动， 在支承处沿水平和垂直方向的移动 ， 但不能阻止梁绕铰链中心的转动。 但不能阻止梁绕铰链中心的转动。 活动铰支座（ 辊轴支座） 活动铰支座 （ 辊轴支座 ） 这种 支座能阻止梁沿垂直于支承面方向 的移动， 的移动 ， 但不能阻止梁沿着支承面 的移动， 的移动 ， 也不能阻止梁绕铰链中心 的转动。 的转动。 固定端 这种支座使梁的端截 面即不能沿水平方向和垂直方向 移动，也不能绕某一点转动。 移动，也不能绕某一点转动。