微分方程零解的稳定性
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线性近似稳定性方法是一种十分重要而且广泛使用的线性化方法，它是通过分析非线性系统的线性近似系统的特征值分布来判别原非线性系统的稳定性的方法。
运用线性近似稳定性方法在第三章中分析如下这样一类非线性微分方程：
其中 是上式微分方程的解。
然而，线性系统与非线性系统具有根本的区别，因此一般说来，关于线性化系统的解及有关结论是不能随意推广到原来的非线性系统，是有条件的。所以有了更加直接有效的方法，这就是本文中所介绍的Lyapunov第二方法。Lyapunov第二法是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。此外，它还可应用于线性二次型最优控制等许多问题。
Abstract
Utilizingmethods of linearization and Lyapunov second method,the stabilitiesofsolutions forsome kinds ofordinarydifferential equationsareanalyzed in this paper.Because constructingVfunctionsis the key ofLyapunov second method, we introduce a special method, that is differential moment method,todeal with this problem,and we take it as anapproach to solve the stabilities of solutions for somedifferentialequations.
的零解的稳定性。
第二章
为了分析微分方程组零解的稳定性,引入如下定义。
定义1如果对任何给定的 ，存在 （ 一般与 和 有关），使当任一 满足 时，方程组
(2.1)
由初始条件 确定的解 均有
,对一切 ,
则称方程组(2.1)的零解 为稳定的;
如果 的零解稳定，且存在这样的 ，使当 时,满足初始条件 的解 均有
具体地说，
若特征方程（2.4）的根均具有负实部，则方程组(2.2)的零解是渐稳近稳定的；
若特征方程（2.4）的具有正实部的根，则方程组的零解是不稳定的。
关于特征方程（2.4）的特征值的实部的符号，我们给出如下判别定理。
定理2设给定的常系数的n次代数方程
(2.5)
其中 ，作行列式
， ， ，
.
其中 （对于一切 ）。那么方程（2.5）的一切根均具有负实部的充分必要条件是下列不等式同时成立：
微分方程零解的稳定性
中文摘要
本文利用线性近似稳定性方法及李雅普诺夫第二方法，分别讨论了几类微分方程（组）的零解的稳定性。由于构造合适的李雅普诺夫第二函数，即V函数是李雅普诺夫第二方法的关键，因此我们介绍了一类构造V函数的特殊方法，即微分矩法，并将所得的结果应用于具体实例。
关键词：微分方程；稳定性；线性近似稳定性方法；李雅普诺夫第二方法；微分矩法
由（3.14），可得如下组合关系式
（3.15）
对上式右端的第二类函数建立下列等式：
，
，（3.16）
，
，
其中
，
，
。
利用（3.15）（3.16）两式得：
.Biblioteka Baidu
3.求出李雅普诺夫函数 及其导数 ：
,
则
假设方程中函数 均属于 类，并满足条件：
1） ，
2） ，
3） ，
4） ，
5） ，
则
，
，
。
从而
可见 是定正的，另外从给出的条件 ～5），可见 为常负的，所以在1）~5）条件下，由定理4知，方程
。（2.4）
众所周知，线性(化)系统与非线性系统具有根本的区别，因此一般说来，关于线性化系统的解及有关结论是不能随意推广到原来的非线性系统。但是，如果把问题的范围缩小，只考虑的稳定性问题，即考察在什么条件下可用线性近似系统的稳定性来分析非线性系统的解的稳定性。为此，我们给出如下线性近似稳定性定理。
定理1若特征方程（2.4）没有零根或零实部的根，则非线性方程组（2.2）的零解的稳定性与其线性近似方程组（2.3）的零解的稳定性是一致的。
考虑如下带有阻尼的单摆运动方程
（3.6）
其中l为摆长，m为摆的质量，g为重力加速度， 为阻力系数。
若 ，则方程
(3.7)
为无阻力的单摆运动方程。
方程（3.6）等价于方程组
（3.8）
选择V函数为 ，则 为定正的，且
，
由定理3知，
（1）当 ，即无阻尼时， ，从而方程组（3.7）的零解是稳定的；
（2）当 ，即有阻尼时， ，即 是常负的，从而方程组（3.8）的零解是稳定的。
说明：非线性方程组只有在非临界情形下才可以按线性近似决定其稳定性，而且线性近似稳定性理论仅在原点 的某邻域中成立。
那么，当线性近似方程组的特征根属于临界情形，即其特征方程除了有负实部的特征根，还有零根或具有零实部的根时，无法用线性近似方程组决定（3.1）的稳定性。
§
借助构造一个特殊的函数 ，并利用 函数及其通过方程组的全导数 的性质来确定方程组零解的稳定性，这就是李雅普诺夫第二方法的思想，具有此特殊性质的函数 称为李亚普诺夫函数，简称 函数。
Key words:Differential equations; Stability; Methodsof linearization; Lyapunov second method; Differential moment method.
第
众所周知，Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。1892年，伟大的俄国数学力学家亚历山大·米哈依诺维奇·李雅普诺夫(A.M.Lyapunov)(1857-1918)，以其天才条件和精心研究，创造性地发表了其博士论文“运动稳定性的一般问题”，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。
，
则称零解 为渐近稳定的。
定义2设有驻定方程组 ，称同时满足 的点 为方程组的奇点。
对于n阶非线性微分方程组
(2.2)
其中 。显然 是方程组（2.2）的解。
若方程组(2.2)满足条件 （当 时），则称线性方程
(2.3)
为方程组(2.2)的线性近似方程组。
线性近似方程组(2.3)的系数矩阵A的特征方程为
。
定理3如果对n阶自治微分方程组
(2.6)
可以找到一个定正函数 ，其通过（2.6）的全导数 为定负的，则方程组（2.6）的零解为渐近稳定的；
如果存在函数 和某非负常数u，而通过（2.6）的全导数 可表示为
，
且当 时， 为定正函数，而当 时， 为常正函数或恒等与零；又在 时任意小的领域内都至少存在某个 ，使 ，那么方程组（2.6）的零解是不稳定的。
虽然通过构造 函数，我们可以利用Lyapunov第二方法判断微分方程的解的稳定性，但如何构造特定性质的 函数则是一个有趣而复杂的问题。且在具体确定许多非线性系统的稳定性时,技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。本文所介绍的微分矩法也是比较有效的可以解决此类函数的稳定性问题，并且运用它处理如下一类微分方程
对于含于的n阶非自治微分方程组
(2.7)
的零解的稳定性，我们给出定理3的推广。
定理4 若选择可微的 函数 在原点的邻域内为定正的，且对 有 （常负），则方程（2.7）的零解是稳定的。
第三章
§3.1
线性近似方法(忽略高阶小量)是一种十分重要且使用广泛的线性化方法。这是因为，在工程技术中，很多系统实质上都是非线性的，而非线性系统求解十分困难，所以经常使用线性化近似理论来研究非线性方程组的零解的稳定性。
考虑如下一类三阶非线性微分方程，
（3.1）
其中 可在 处的邻域内均可展开为幂级数。
显然 是方程（3.1）的解。
令 ，将方程（3.1）化为微分方程组的形式
（3.2）
因为 均可在 处的邻域内均可展开为幂级数，不妨设
，
。
我们令 ， 。
则（3.2）可以转化为
（3.3）
其非线性项为 ，显然有 ，而且有
（当 时）。
§
李雅普诺夫第二方法是研究非线性方程组零解的稳定性的一个有效的方法，但其核心问题是构造合适的V函数。为此，本节介绍一个构造 函数的方法，即微分矩法。
1965年，P.J .Ponzo首次提出用非线性高阶微分方程的微分矩构造李雅普诺夫函数。1974年,T .Nagoraja和V.V.Chalam对这种方法做了概括和修改，指出微分矩法是构造李亚普诺夫函数的一个新的途径。
故方程组（3.2）的线性近似方程组为
（3.4）
则根据定理1，可利用线性近似方程组（3.4）来分析原微分方程组零解的稳定性。
而线性微分方程组（3.4）的特征方程为
，（3.5）
特征方程是以 为未知量的三次方程，易知：
， 。
显然1>0，所以要使特征方程（3.5）每一根具有负实部，由于 ，故
依据定理2，只要 ， ，也就是说，当 时，非线性微分方程（3.1）的零解是稳定的。
的零解是稳定的。
第四章 总结
线性微分方程组在工程技术的应用上具有十分重要的意义，由于物质运动的复杂性，对它的描述往往归结为一个非线性微分方程，非线性问题要比线性问题复杂得多。本文利用线性近似稳定性方法和李雅普诺夫第二方法分析微分方程的稳定性。
线性近似稳定性方法(忽略高阶小量)是一种十分重要且广泛使用的线性化方法。这是因为，在工程技术中，很多系统实质上都是非线性的，而非线性系统求解十分困难，所以经常使用线性化近似理论来研究非线性方程组的零解的稳定性。但是线性近似稳定性方法需要非线性项 满足如下两个条件
考虑如下一类三阶非线性微分方程
（3.12）
令 ，则有
（3.13）
下面我们介绍微分矩法的基本步骤：
1.建立微分矩方程组：
,
,
,（3.14）
,
,
。
2.确定组合常数 ：
分析微分矩方程组，可以看出第三个与第六个方程右端各函数几乎都是第一第二类函数(其定义见参考文献[8])，因此，可选
，
其中 为 的系数，称为组合系数。 是某个正数
运用线性近似稳定性方法在第三章中分析如下这样一类非线性微分方程：
其中 是上式微分方程的解。
然而，线性系统与非线性系统具有根本的区别，因此一般说来，关于线性化系统的解及有关结论是不能随意推广到原来的非线性系统，是有条件的。所以有了更加直接有效的方法，这就是本文中所介绍的Lyapunov第二方法。Lyapunov第二法是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。此外，它还可应用于线性二次型最优控制等许多问题。
Abstract
Utilizingmethods of linearization and Lyapunov second method,the stabilitiesofsolutions forsome kinds ofordinarydifferential equationsareanalyzed in this paper.Because constructingVfunctionsis the key ofLyapunov second method, we introduce a special method, that is differential moment method,todeal with this problem,and we take it as anapproach to solve the stabilities of solutions for somedifferentialequations.
的零解的稳定性。
第二章
为了分析微分方程组零解的稳定性,引入如下定义。
定义1如果对任何给定的 ，存在 （ 一般与 和 有关），使当任一 满足 时，方程组
(2.1)
由初始条件 确定的解 均有
,对一切 ,
则称方程组(2.1)的零解 为稳定的;
如果 的零解稳定，且存在这样的 ，使当 时,满足初始条件 的解 均有
具体地说，
若特征方程（2.4）的根均具有负实部，则方程组(2.2)的零解是渐稳近稳定的；
若特征方程（2.4）的具有正实部的根，则方程组的零解是不稳定的。
关于特征方程（2.4）的特征值的实部的符号，我们给出如下判别定理。
定理2设给定的常系数的n次代数方程
(2.5)
其中 ，作行列式
， ， ，
.
其中 （对于一切 ）。那么方程（2.5）的一切根均具有负实部的充分必要条件是下列不等式同时成立：
微分方程零解的稳定性
中文摘要
本文利用线性近似稳定性方法及李雅普诺夫第二方法，分别讨论了几类微分方程（组）的零解的稳定性。由于构造合适的李雅普诺夫第二函数，即V函数是李雅普诺夫第二方法的关键，因此我们介绍了一类构造V函数的特殊方法，即微分矩法，并将所得的结果应用于具体实例。
关键词：微分方程；稳定性；线性近似稳定性方法；李雅普诺夫第二方法；微分矩法
由（3.14），可得如下组合关系式
（3.15）
对上式右端的第二类函数建立下列等式：
，
，（3.16）
，
，
其中
，
，
。
利用（3.15）（3.16）两式得：
.Biblioteka Baidu
3.求出李雅普诺夫函数 及其导数 ：
,
则
假设方程中函数 均属于 类，并满足条件：
1） ，
2） ，
3） ，
4） ，
5） ，
则
，
，
。
从而
可见 是定正的，另外从给出的条件 ～5），可见 为常负的，所以在1）~5）条件下，由定理4知，方程
。（2.4）
众所周知，线性(化)系统与非线性系统具有根本的区别，因此一般说来，关于线性化系统的解及有关结论是不能随意推广到原来的非线性系统。但是，如果把问题的范围缩小，只考虑的稳定性问题，即考察在什么条件下可用线性近似系统的稳定性来分析非线性系统的解的稳定性。为此，我们给出如下线性近似稳定性定理。
定理1若特征方程（2.4）没有零根或零实部的根，则非线性方程组（2.2）的零解的稳定性与其线性近似方程组（2.3）的零解的稳定性是一致的。
考虑如下带有阻尼的单摆运动方程
（3.6）
其中l为摆长，m为摆的质量，g为重力加速度， 为阻力系数。
若 ，则方程
(3.7)
为无阻力的单摆运动方程。
方程（3.6）等价于方程组
（3.8）
选择V函数为 ，则 为定正的，且
，
由定理3知，
（1）当 ，即无阻尼时， ，从而方程组（3.7）的零解是稳定的；
（2）当 ，即有阻尼时， ，即 是常负的，从而方程组（3.8）的零解是稳定的。
说明：非线性方程组只有在非临界情形下才可以按线性近似决定其稳定性，而且线性近似稳定性理论仅在原点 的某邻域中成立。
那么，当线性近似方程组的特征根属于临界情形，即其特征方程除了有负实部的特征根，还有零根或具有零实部的根时，无法用线性近似方程组决定（3.1）的稳定性。
§
借助构造一个特殊的函数 ，并利用 函数及其通过方程组的全导数 的性质来确定方程组零解的稳定性，这就是李雅普诺夫第二方法的思想，具有此特殊性质的函数 称为李亚普诺夫函数，简称 函数。
Key words:Differential equations; Stability; Methodsof linearization; Lyapunov second method; Differential moment method.
第
众所周知，Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。1892年，伟大的俄国数学力学家亚历山大·米哈依诺维奇·李雅普诺夫(A.M.Lyapunov)(1857-1918)，以其天才条件和精心研究，创造性地发表了其博士论文“运动稳定性的一般问题”，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。
，
则称零解 为渐近稳定的。
定义2设有驻定方程组 ，称同时满足 的点 为方程组的奇点。
对于n阶非线性微分方程组
(2.2)
其中 。显然 是方程组（2.2）的解。
若方程组(2.2)满足条件 （当 时），则称线性方程
(2.3)
为方程组(2.2)的线性近似方程组。
线性近似方程组(2.3)的系数矩阵A的特征方程为
。
定理3如果对n阶自治微分方程组
(2.6)
可以找到一个定正函数 ，其通过（2.6）的全导数 为定负的，则方程组（2.6）的零解为渐近稳定的；
如果存在函数 和某非负常数u，而通过（2.6）的全导数 可表示为
，
且当 时， 为定正函数，而当 时， 为常正函数或恒等与零；又在 时任意小的领域内都至少存在某个 ，使 ，那么方程组（2.6）的零解是不稳定的。
虽然通过构造 函数，我们可以利用Lyapunov第二方法判断微分方程的解的稳定性，但如何构造特定性质的 函数则是一个有趣而复杂的问题。且在具体确定许多非线性系统的稳定性时,技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。本文所介绍的微分矩法也是比较有效的可以解决此类函数的稳定性问题，并且运用它处理如下一类微分方程
对于含于的n阶非自治微分方程组
(2.7)
的零解的稳定性，我们给出定理3的推广。
定理4 若选择可微的 函数 在原点的邻域内为定正的，且对 有 （常负），则方程（2.7）的零解是稳定的。
第三章
§3.1
线性近似方法(忽略高阶小量)是一种十分重要且使用广泛的线性化方法。这是因为，在工程技术中，很多系统实质上都是非线性的，而非线性系统求解十分困难，所以经常使用线性化近似理论来研究非线性方程组的零解的稳定性。
考虑如下一类三阶非线性微分方程，
（3.1）
其中 可在 处的邻域内均可展开为幂级数。
显然 是方程（3.1）的解。
令 ，将方程（3.1）化为微分方程组的形式
（3.2）
因为 均可在 处的邻域内均可展开为幂级数，不妨设
，
。
我们令 ， 。
则（3.2）可以转化为
（3.3）
其非线性项为 ，显然有 ，而且有
（当 时）。
§
李雅普诺夫第二方法是研究非线性方程组零解的稳定性的一个有效的方法，但其核心问题是构造合适的V函数。为此，本节介绍一个构造 函数的方法，即微分矩法。
1965年，P.J .Ponzo首次提出用非线性高阶微分方程的微分矩构造李雅普诺夫函数。1974年,T .Nagoraja和V.V.Chalam对这种方法做了概括和修改，指出微分矩法是构造李亚普诺夫函数的一个新的途径。
故方程组（3.2）的线性近似方程组为
（3.4）
则根据定理1，可利用线性近似方程组（3.4）来分析原微分方程组零解的稳定性。
而线性微分方程组（3.4）的特征方程为
，（3.5）
特征方程是以 为未知量的三次方程，易知：
， 。
显然1>0，所以要使特征方程（3.5）每一根具有负实部，由于 ，故
依据定理2，只要 ， ，也就是说，当 时，非线性微分方程（3.1）的零解是稳定的。
的零解是稳定的。
第四章 总结
线性微分方程组在工程技术的应用上具有十分重要的意义，由于物质运动的复杂性，对它的描述往往归结为一个非线性微分方程，非线性问题要比线性问题复杂得多。本文利用线性近似稳定性方法和李雅普诺夫第二方法分析微分方程的稳定性。
线性近似稳定性方法(忽略高阶小量)是一种十分重要且广泛使用的线性化方法。这是因为，在工程技术中，很多系统实质上都是非线性的，而非线性系统求解十分困难，所以经常使用线性化近似理论来研究非线性方程组的零解的稳定性。但是线性近似稳定性方法需要非线性项 满足如下两个条件
考虑如下一类三阶非线性微分方程
（3.12）
令 ，则有
（3.13）
下面我们介绍微分矩法的基本步骤：
1.建立微分矩方程组：
,
,
,（3.14）
,
,
。
2.确定组合常数 ：
分析微分矩方程组，可以看出第三个与第六个方程右端各函数几乎都是第一第二类函数(其定义见参考文献[8])，因此，可选
，
其中 为 的系数，称为组合系数。 是某个正数