任意角的概念与弧度制ppt

2.在数学上，我们规定，按逆时针方向旋转形成的角 叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。 这样，钟表的指针在旋转时所形成的角总是负角。
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3.在图1.6中，一条射线的 端点是O，它从起始位置 OA按逆时针方向旋转到终 止位置OB，形成了一个正 角，记作α。点O是角的顶 点，射线OA、OB分别是α 的始边、终边。
例2 设P ={锐角}，Q ={小于90的角}， M ={第一象限角}，S = {小于90的正角}，则下 列六个关系：① P=Q ② P=M ③ P=S ④ PQ ⑤ PM ⑥ QM中，正确的有③ ④ ⑤ 个？
例3 在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的 集合(α用0°到360°的角表示)．
（3）β={α| α=n×180º+90º，n∈-Z}
2. 1 rad0.017 ra 4d 5 180
3 . 1ra(d 1 8 ) 0 5.3 70 51 7 8
-
例1（1）将11230’化为弧度；（2）将 5 弧度化为度；
12
5 ; 75
8
例2、把下列角化为2k +（0 < < 2 ，k Z）的形式.
（1） 27 ；（2） 31
4
终边在坐标轴的角，称为象限- 界角，它不属于象限角
三、终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成 一个集合 S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与 角α终边相同的角，都可以表示成α与周角的整数倍 的和．
注意以下几点
（1）kZ ;
（2）是任意角；
（3）终边相同的角不一定是等角；但相等的角一定是终 边相同的角；
150
弧 度
0
12
5 2 6 4 3 12 2 3
3 5
4
6
度 180 210 225 240 270 300 315 330 360
弧 7
5 4
3
5
7 11 2
度
6
4
3
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
4
6
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角度制时弧长公式为：
n
l
其中n表示角度数。
180
弧度制时弧长公式为：
设R是圆的半径，l是所对的弧长，在使用弧度
例4 在0°- 360°间，找出下列各角终边相同 的角，并判断它是哪个象限的角. （1）-140° （2）670° （3）例8550°写3出6‘与60°角终边相同的角的集合S，并把 S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写 出来：
例6 若是第四象限角，则180-是第几象限角？
例7 设为第三象限角，求 所在象限，并画
4.如果一条射线它从起始位置OA没有作任何旋转，终 止位置OB与起始位置OA重合，我们称这样形成的角为 零度角，又称零角，记作α=0°
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角应包括正角、负角和零角
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为了研究问题方便，我们常在直角坐标系内讨论角， 为此使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴 重合． 二、象限角 角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角 是第几象限角． 图1-9中的30°， 390°，-330°角， 都是第一象限角； 图1-10中的300°， -60°角，都是第 四象限角；585° 角是第三象限角。
制时，圆心角α的弧度值通常也用α来表示，
由弧度的定义可知，角α的弧度数的绝对值满
足：
l r
即 l=|α|R
弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半
径的积。
-
例4、利用弧度制证明扇形面积公式S= 1 lR，其
中l是扇形的弧长，R是圆的半径。2
证明：如图1-15，因为圆心角为1
的扇形的面积为
1 R2 2
（4）终边相同的角有无数个，他们相差360º的整数倍；
（5）k∙360º与α之间为“+”-，k∙360º- α看作k∙360º+（-α）
例1 判定下列各角是第几象限角． (1) -60°； (2)585°； (3) -950°12′
（1）四
（2）580°12′=360º+225º，三
（3）-950°12′=-2×360º+（-230º12’）
3. 1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大 小，而1 是圆的 1/360 所对的圆心角（或该弧）的大小；
4. 不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一个与半径的大小无关的定值；
我们规定，在单位圆中长为1 的弧所对应的圆心角称为1弧 度角，它的单位符号是rad， 读作弧度。
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一般地，任一正角的弧度数都是一个正数；任一 负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0。
这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫 做弧度制。
【角度与弧度的互化】
1. 360°=2πrad，180°=πrad .
三角函数
是刻画周期现象的一类重要的函数模型和基本的初等函 数。它是生产实践和科学研究的重要数学工具。它在天 文测量、大地测量、工程测量、机械制造、力学、光学、 电学、地球物理学、图像处理等众多学科和领域中都有 广泛的应用。
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任意角的三角函数之一
角的概念的推广
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一、角的相关概念： 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个位置所形成的图形。
6
(1) 2763;二
4
4
；并指出所在象限.
(2) 3147;三
6
6
{例|32、k用弧度2制k表示第,k一Z —}第{;四|2象k限的角的集2k合,kZ}
2
2
{|2k2k3,kZ};
2
{|2k32k2,k- Z}
2
特殊角的度数与弧度数的对应表
度
0
15
30
90 45 60 75
120
135
而弧长为l的扇形的圆心角的
l
大小为 R rad
所以扇形的面积为
S l 1 R2 1 lR 1 | | R 2 角度制 S： |n|R2
R 2
22
360
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几个需要注意的问题：
1. 在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度）， 只能用角度制或弧度制的一种，绝对不能混用；
2. 用弧度制表示终边相同的角 2k + ( k Z) 时，是的 偶数倍，而不是 的整数倍；
2
图表示在该象限的什么区域内. -
任意角的三角函数之二
弧度制
在物理学和日常生活 中，一个量，常常需 要用不同的方法进行 度量，不同的度量方 法可以满足我们的不 - 同需要。
周角，将它分为360等分，把一等分确定为1 个单位，即1度角。
当半径不同时（如图1-13）， 同样的圆心角所对的弧长与半 径之比是常数。我们称这个常 数为该角度的弧度值。