立体几何中的截面问题

立体几何中的截面问题

傅钦志

(浙江省衢州中专,324000)

收稿日期:2006-12-19　修回日期:2006-12-28

(本讲适合高中)

截面问题涉及到截面形状的判定、截面面积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形的性质及截面图形的最值.本文介绍此类问题的求解方法.1　判断截面图形的形状

例1　过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 的中点E 、F 作一个截面,使截面与底面所成的角为45°.则此截面的形状为( ).

(A )三角形或五边形(B )三角形或六边形(C )六边形

(D )三角形或四边形

(第六届希望杯全国数学邀请赛)图1

讲解:如图1,显然,过点E 、F 必有一个截面与棱BB 1相交,此截面是三角形.

设过点D 1的截面与底面所成的角为α,易求得

tan α=tan ∠D 1G D

=22

3

<1.故α<45°.

设过A 1C 1的截面与底面所成的角为β,易求得

tan β=tan ∠O 1G O =22>1.

故β>45°.

于是,所求的另一截面应与A 1D 1、D 1C 1

相交(不过其端点),为六边形.故选(B ).

评注:先计算出特殊位置的截面与底面所成的角,再根据截面所处的位置确定截面的形状.若截面与棱DD 1相交,则截面为五边形;若截面与棱A 1D 1、D 1C 1都相交(但不过其端点),则截面为六边形;若截面与棱

A 1

B 1、B 1

C 1都相交(但不过点B 1),则截面

为四边形.

2　截面面积和周长的计算

例2　如图2,正方体的三条棱为AB 、

图2

BC 、CD ,AD 是体对角

线.点P 、Q 、R 分别在

AB 、BC 、CD 上,A P =

5,P B =15,BQ =15,

CR =10.那么,平面PQR 向各方向延伸后

与正方体的交线组成的多边形的面积是多少?

(第16届美国数学邀请赛)

讲解:因为B P =BQ ,所以,PQ ∥AC .这样,过点R 且平行于PQ 的直线交A F 于点

U ,且AU =CR .

因为过点R 且平行于PQ 的直线在平面

PQR 上,所以,U 是相交得出的多边形的顶

点.又UR 的中点是正方体的中心,故相交得出的多边形上的点关于正方体中心对称.因此,它的面积是梯形PQRU 面积的2倍.

易知UR =202,PQ =152,PU =5 5.故所求面积为

(UR +PQ )PU 2

-

UR -PQ

2

2

=35×2×

225

2

=525.评注:解此题的关键是,正确画出平面PQR 与正方体相截的截面,并判断出它是关于正方体中心对称的.

例3　一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”.棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是

AB 的中点,F 是CC 1的中点.则过D 1、E 、F

三点的截面图形的周长等于(

).(A )1

12(25+213+95)

(B )1

12(15+413+95)

(C )1

12(25+213+65)

(D )1

12

(15+413+65)

(第十四届希望杯全国数学邀请赛)

分析:要计算截面图形的周长,先要作出截面,其依据是平面的基本性质和确定平面

的条件.作截面一般有两种方法:一是延长交

线得交点;二是作平行线.

图3

解法1:如图3,分别延长D 1F 、DC 得交点P ,作直线EP 交BC 于点N ,

交DA 的延长线

于点S ,联结

D 1S 交A 1A 于点M ,则五边形D 1MEN F 为截面图形.

由相似三角形对应边成比例得A 1M =3MA ,CN =2NB .

易得截面五边形D 1MEN F 的周长为1

12

(25+213+95).

故选(A ).

图4

解法2:如图4,作EM ∥A 1S ∥D 1F 交A 1A 于点M (S 为

B 1B 的中点),作FN

∥C 1T ∥D 1M 交BC

于点N (B T =AM ),则五边形D 1MEN F

为截面图形.同解法1知应选(A ).3　计算截面图形的个数

例4　设四棱锥P -ABCD 的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形.则这样的平面α( ).

(A )不存在(B )只有一个(C )恰有两个(D )有无数多个(2005,全国高中数学联赛江苏赛区初赛)图5讲解:如图5,延长BA 、CD 交于点M ,联结PM ,则PM 为侧面P AB 与侧面PCD 的交线.

同理,PN 为侧面P AD 与侧面P BC 的交线.

设由直线PM 、PN 所确定的平面为β.作与平面β平行的平面α与四棱锥的各个侧面相截,则截得的四边形是平行四边形(图5中的四边形A 1B 1C 1D 1).易知,这样的平面α有无数个.故选(D ).

例5　过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面,且使截面与底面BCD 所成的角为75°.这样的截面共可作出个.

(第六届希望杯全国数学邀请赛)

讲解:设正四面体的棱长为1.过点A 作

AO ⊥平面BCD 于点O ,则AO =

6

3

.以O 为