超强数据结构教学 图
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5
7.1 图的定义和术语
例1
245
1
3
G1
例2
1
57
路径：1，2，3，5，6，3 路径长度：5 简单路径：1，2，3，5 6 回路：1，2，3，5，6，3，1 简单回路：3，5，6，3 路径：1，2，5，7，6，5，2，3 路径长度：7
简单路径：1，2，5，7，6
32
4
G2
回路：1，2，5，7，6，5，2，1
7.1 图的定义和术语
图G1中： V(G1)={1,2,3,4,5,6}
E(G1)={<1,2>, <2,1>, <2,3>, <2,4>, <3,5>, <5,6>, <6,3>}
例 245
例 1
57
1
3
6
32 4 6
G1
G2
无向图 若图中的边是顶点的无序对，则称此图为无向图。通
常用园括号表示无向边。（v,w）或（w,v)，并且（v,w)=(w,v)
4
7.1 图的定义和术语
7、路径 在无向图 G＝(V, E) 中, 若存在一个顶点序列 vp1, vp2, …, vpm，
使得(vi, vp1)、(vp1, vp2)、 ...、(vpm, vj)均属于E，则称顶点vi到vj 存在一 条路径。路径长度定义为路径上边或弧的数目。 若一条路径上除了vi 和vj 可以相同外， 其余顶点均不相同，则 称此路径为一条简单路径 。 起点和终点相同的路径称为简单回路或简单环。
TD（V）=ID（V）+OD（V）
例1
例2
245
1
57
1
3
6
G1 顶点2入度：1 出度：3
顶点4入度：1 出度：0
32
46
G2 顶点5的度：3
顶点2的度：4
3
7.1 图的定义和术语
6、子图 设有两个图 G＝(V, E) 和 G‘＝(V’, E‘)。若 V’ V 且
E‘E, 则称 图G’ 是 图G 的子图。
每个结点有三个域组成： adjvex nextarc info
邻接结点域(adjvex)：指示与顶点Vi邻接的点在图 中的位置。
链域(nextarc)：指示下一条边或弧的结点。 数据域(info)：存储和边相关的信息，如权值等
14
二、图的邻接表存储表示
头结点
data firstarc
2
2
1
3
1
3
有向完全图
无向完全图
4、相邻顶点、相关联弧或边
若<V1,V2> E或(V1,V2) E ，则V1，V2是相邻顶点，弧 <V1,V2>或边(V1,V2)是与顶点V1和V2相关联弧或边。
2
7.1 图的定义和术语
5、度 一个顶点V的度是与该顶点相关联的边的数目，记为TD（V）。
对于有向图，则把以顶点V为弧尾的数目称为点V的出度， 记为OD（V），把以顶点V为头的弧的数目称为顶点V的入 度，记为ID（V）。 顶点V的度为：
6
简单回路：1，2，3，1
6
7.1 图的定义和术语
8、图的连通 在无向图G中，若两个顶点vi和vj之间有路径存 在，则称vi 和vj 是连通的。若G中任意两个顶点都是连通的， 则称G为连通图。
非连通图的极大连通子图叫做连通分量。
9、强连通图与强连通分量 在有向图中, 若对于每一对顶点vi 和vj, 都存在一条从vi到vj和从vj到vi的路径,则称此图是强连通 图。非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量。
例
1
2
3
4
5
G2
0 1 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 0 1 1
1 0 1 0 0
0 1 1 0 0
11
一、数组表示法（邻接矩阵）
借助邻接矩阵容易判定任意两个顶点之间是否有边（或弧）相 连，并容易求得各个顶点的度。
对于无向量，顶点Vi的度是邻接矩阵中第i行（或第i列）的元
素之和，即
例
例
例
5
245
245
1
3
连通图
3
6
61
3
6
强连通图
非连通图，连通分量
7
7.1 图的定义和术语
10、带权图或网
若给图中每一条边附加一个实数作为权，则该图称 为带权图或网。
这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或
花费的代价。
7
10 2
5 9
1
12
63
8
15
76
6
3
4
16
7
60
A
B 40 80 C
图G2中： V(G2)={1,2,3,4,5,6,7}
E(G1)={(1,2), (1,3), (2,3), (2,4),(2,5), (5,6), (5,7)}
1
7.1 图的定义和术语
3、有向完全图、无向完全图
有向完全图：具有n(n-1)条弧的有向图称为有向完全图。
无向完全图：n个顶点的无向图最大边数是n(n-1)/2，具有 n(n-1)/2条边的无向图称为无向完全图。
30
75
35
D
E
45
8
7.2 图的存储结构
一、图的数组(邻接矩阵)存储表示 二、图的邻接表存储表示 三、有向图的十字链表存储表示 四、无向图的邻接多重表存储表示
9
一、数组表示法（邻接矩阵）
用两个数组分别存储数据元素（顶点）的信息和数据元素 之间的关系（边或弧）的信息。
在图的邻接矩阵表示中，有一个记录各个顶点信息的顶点 表，还有一个表示各个顶点之间关系的邻接矩阵。
网的邻接矩阵可定义为：
A[i,
j]
wij , 若(vi , v j)或 ，其它
vi ,
vj
E(G)
例Βιβλιοθήκη Baidu
1
52
3
7
8 5
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1
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3
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2
5 7 5 7 4 2 3 8 1
3
4 8
2
1
6
6
13
二、图的邻接表存储表示
邻接表是图的一种链式存储结构。在邻接表中，对 图中每个顶点建立一个单链表，第i个单链表中的 结点表示依附于顶点Vi的边（对有向图中指以顶点 Vi为尾的弧）。
设图 A = (V, E)是一个有 n 个顶点的图，则图的邻接矩阵
定义：
A[i,
j]
1,若(vi , v j )或 0，其它
vi , v j
E(G)
无向图的邻接矩阵是对称的，有向图的邻接矩阵可能是不
对称的。
10
一、数组表示法（邻接矩阵）
0 1 1 0
例
1
2
0
0
0
0
3
4
G1
0 0 0 1 1 0 0 0
n1
TD(Vi ) A[i][ j]
(n MAX _VERTEX _ NUM )
对于有向图，第i行的j元0 素之和为顶点Vi的出度OG（ Vi ），
第j列的元素之和为顶点Vj的入度ID(Vj)。
例
1
2
3
4
G1
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
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一、数组表示法（邻接矩阵）
7.1 图的定义和术语
例1
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G1
例2
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路径：1，2，3，5，6，3 路径长度：5 简单路径：1，2，3，5 6 回路：1，2，3，5，6，3，1 简单回路：3，5，6，3 路径：1，2，5，7，6，5，2，3 路径长度：7
简单路径：1，2，5，7，6
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G2
回路：1，2，5，7，6，5，2，1
7.1 图的定义和术语
图G1中： V(G1)={1,2,3,4,5,6}
E(G1)={<1,2>, <2,1>, <2,3>, <2,4>, <3,5>, <5,6>, <6,3>}
例 245
例 1
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G1
G2
无向图 若图中的边是顶点的无序对，则称此图为无向图。通
常用园括号表示无向边。（v,w）或（w,v)，并且（v,w)=(w,v)
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7.1 图的定义和术语
7、路径 在无向图 G＝(V, E) 中, 若存在一个顶点序列 vp1, vp2, …, vpm，
使得(vi, vp1)、(vp1, vp2)、 ...、(vpm, vj)均属于E，则称顶点vi到vj 存在一 条路径。路径长度定义为路径上边或弧的数目。 若一条路径上除了vi 和vj 可以相同外， 其余顶点均不相同，则 称此路径为一条简单路径 。 起点和终点相同的路径称为简单回路或简单环。
TD（V）=ID（V）+OD（V）
例1
例2
245
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G1 顶点2入度：1 出度：3
顶点4入度：1 出度：0
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G2 顶点5的度：3
顶点2的度：4
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7.1 图的定义和术语
6、子图 设有两个图 G＝(V, E) 和 G‘＝(V’, E‘)。若 V’ V 且
E‘E, 则称 图G’ 是 图G 的子图。
每个结点有三个域组成： adjvex nextarc info
邻接结点域(adjvex)：指示与顶点Vi邻接的点在图 中的位置。
链域(nextarc)：指示下一条边或弧的结点。 数据域(info)：存储和边相关的信息，如权值等
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二、图的邻接表存储表示
头结点
data firstarc
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有向完全图
无向完全图
4、相邻顶点、相关联弧或边
若<V1,V2> E或(V1,V2) E ，则V1，V2是相邻顶点，弧 <V1,V2>或边(V1,V2)是与顶点V1和V2相关联弧或边。
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7.1 图的定义和术语
5、度 一个顶点V的度是与该顶点相关联的边的数目，记为TD（V）。
对于有向图，则把以顶点V为弧尾的数目称为点V的出度， 记为OD（V），把以顶点V为头的弧的数目称为顶点V的入 度，记为ID（V）。 顶点V的度为：
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简单回路：1，2，3，1
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7.1 图的定义和术语
8、图的连通 在无向图G中，若两个顶点vi和vj之间有路径存 在，则称vi 和vj 是连通的。若G中任意两个顶点都是连通的， 则称G为连通图。
非连通图的极大连通子图叫做连通分量。
9、强连通图与强连通分量 在有向图中, 若对于每一对顶点vi 和vj, 都存在一条从vi到vj和从vj到vi的路径,则称此图是强连通 图。非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量。
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G2
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1 0 1 0 1
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一、数组表示法（邻接矩阵）
借助邻接矩阵容易判定任意两个顶点之间是否有边（或弧）相 连，并容易求得各个顶点的度。
对于无向量，顶点Vi的度是邻接矩阵中第i行（或第i列）的元
素之和，即
例
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连通图
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强连通图
非连通图，连通分量
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7.1 图的定义和术语
10、带权图或网
若给图中每一条边附加一个实数作为权，则该图称 为带权图或网。
这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或
花费的代价。
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A
B 40 80 C
图G2中： V(G2)={1,2,3,4,5,6,7}
E(G1)={(1,2), (1,3), (2,3), (2,4),(2,5), (5,6), (5,7)}
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7.1 图的定义和术语
3、有向完全图、无向完全图
有向完全图：具有n(n-1)条弧的有向图称为有向完全图。
无向完全图：n个顶点的无向图最大边数是n(n-1)/2，具有 n(n-1)/2条边的无向图称为无向完全图。
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7.2 图的存储结构
一、图的数组(邻接矩阵)存储表示 二、图的邻接表存储表示 三、有向图的十字链表存储表示 四、无向图的邻接多重表存储表示
9
一、数组表示法（邻接矩阵）
用两个数组分别存储数据元素（顶点）的信息和数据元素 之间的关系（边或弧）的信息。
在图的邻接矩阵表示中，有一个记录各个顶点信息的顶点 表，还有一个表示各个顶点之间关系的邻接矩阵。
网的邻接矩阵可定义为：
A[i,
j]
wij , 若(vi , v j)或 ，其它
vi ,
vj
E(G)
例Βιβλιοθήκη Baidu
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52
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5 7 5 7 4 2 3 8 1
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二、图的邻接表存储表示
邻接表是图的一种链式存储结构。在邻接表中，对 图中每个顶点建立一个单链表，第i个单链表中的 结点表示依附于顶点Vi的边（对有向图中指以顶点 Vi为尾的弧）。
设图 A = (V, E)是一个有 n 个顶点的图，则图的邻接矩阵
定义：
A[i,
j]
1,若(vi , v j )或 0，其它
vi , v j
E(G)
无向图的邻接矩阵是对称的，有向图的邻接矩阵可能是不
对称的。
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一、数组表示法（邻接矩阵）
0 1 1 0
例
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TD(Vi ) A[i][ j]
(n MAX _VERTEX _ NUM )
对于有向图，第i行的j元0 素之和为顶点Vi的出度OG（ Vi ），
第j列的元素之和为顶点Vj的入度ID(Vj)。
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一、数组表示法（邻接矩阵）