测量不确定度与数据处理
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8·16光大证券乌龙指事件 程序把买入24个成分股，写成了买入24组180ETF成分股，结 果生成巨量订单。 2002年11月，一名经纪人看错了爱尔兰低价航空公司Ryanair 的股票价格的货币单位，把先令和欧元弄混，结果该股票在伦 敦市场的报价上涨了61%，从404.5先令上升到653.7先令。
1.直接测量与间接测量
由同一观察者用同一仪器、同一方法、同一环境测量n次 ，所得测量值为x1、x2….xn，则把这样在同一种条件下的
重复测量称为等精度测量。
在不同条件（观察者、仪器、方法、环境）下的重复测量
称为不等精度测量。
3.重复测量和单次测量
在等精度的条件下对待测量进行多次直接测量，每一次
测量是测量全过程的重新调节，称为重复测量。
用测量的算术平均值来表示 xx1x2xn n
测量 结 xu 果 p
表示真值在量值 xu,xu之中，显然，量
值范围越窄，则测量不确定度越小，用测量值表 示真值的可靠性就越高
2、分类
可用概率统计法计算的A类评定
用其它非统计方法估算的B类评定
3、物理意义：更科学地表示了测量结果的可靠性
二、直接测量标准不确定度的A类评定
凡是可以直接用计量仪器和测量量进行比较，便可获得测
量结果的，该测量属于直接测量。
如：米尺测长度、温度计测温度......
凡是通过与被测量有函数关系的其他量，才得到被测量量
值的测量，称为间接测量。
如：电功率......
1.直接测量与间接测量是相对的。 2.直接测量是测量的基础。
2.等精度测量和不等精度测量
• 单峰性 • 对称性 • 有界性 • 抵偿性
3 x x x
概率含量99.7%
x
3 x
§1-2 实验测量不确定度的评定
一、不确定度的定义与物理意义
1、定义：
由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度，称为不确定度， 它是与测量结果相联系的一个参数。
测量 结 xu 果 p
测量值
测量不确定度
1.用贝塞尔公式求标准偏差
n
xi x2
n
Vi2
x
i1
n1
i1
n1
2. 求测量列平均值的标准偏差
n
x
xi x2
i1
nn1
x
n
当测量次数足够多时，测量值分布满足正态分布
f (x)
置信概率68.3%
x
x x
但实验测量中，次数有限所以测量值不满足正态分布， 而是遵循t分布。
tvp x x x tvp x
二、测量结果分析的基本概念
1. 多次等精度测量结果的估算
（1） 算术平均值与数学期望
x
1 n
n i 1
xi
n
x xi fi i 1
随机变量的算术平均数，等于“试验结 果 的 各 个 可 能 值 与 其 相 应 的 频 率 f(x=xi) 乘 积 之 和 ” 。 由 于 频 率 f(x=xi) 要 试 验 后 才能确定，因而算术平均数也必须到试 验后才能求出，而且各次试验后，所得 到算术平均数也不一定相同，具有随机 性。
为达到同样的置信概率，应把测量偏差范围扩大， 乘上一个t因子，即：
tvp x
三种概率下的不同自由度v的tvp值(v=n-1)
tv p
2
3
4
5
6
7
0.68 1.32 1.20 1.14 1.11 1.09 1.08
0.95 4.30 3.18 2.78 2.57 2.46 2.37
0.99 9.93 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50
选择测量仪器应考虑：准确度等级、测量范围、实际 测量量对精度的要求等。
仪器的精密度：仪器的最小读数。最小读数的数值越 小，仪器的精密度越高，误差越小。
测量结果的精密度和准确度与测量仪器的精确度等级 密切相关。
仪器的公差：Δ仪
l游标卡尺：出厂公差就是该游标卡尺类精密度。 l指针式电表：Δ仪 = Amα% l数字式仪表：Δ仪 = K%V + ND
E(x)
x p x是连续的 ii
i1
概率
其中， p i 1
i1
E(x) x(fx)dx
概率密度函数
p 算术平均值与数学期望
数学期望E(x)与算术平均值有紧密联系，都是反映随机变量x 的“平均特征”这一统计特征，但它们又有质的差别， E(x) 是一个客观存在的理论值，而算术平均值是一个试验值，具 有随机性。
tv p
8
9 14 19
0.68 1.07 1.06 1.04 1.03 1
0.95 2.31 2.26 2.15 2.09 1.96
0.99 3.36 3.25 2.98 2.86 2.58
所以直接测量量不确定度A类评定为：
uA
tv
px
tv
p
x
n
注意：对于不同的置信概率p，具有不同的A类不确定度。
主要内容
§1-1 实验测量的基本知识 §1-2 实验测量不确定度的评定 §1-3 有效数字及其运算 §1-4 实验测量数据的处理
§1-1 测量的基本知识
一、物理测量的基本概念
运用各种物理仪器和物理方法把待测未知量与已知标准 单位同类量作比较，即待测量是该计量单位的多少倍。
大多数的测量结果不但有数值而且有单位。
只对测量量进行一次测量，称为单次测量。
1. 测量结果的准确度要求不高，允许粗略地估计误差的大小。 2. 测量误差远小于仪器误差。 3. 受条件的限制，如在动态测量中，无法对待测量做重复测量。
4.测量的精密度、准确度、精确度
精密度 准确度 精确度
精密、不准确
准确、不精密
精确
不精确
5.仪器的准确度等级与仪器的公差
例：
零件重 x
公斤
99
件数 m
25
100
101
50
25
频率 f
25/100
50/100
百度文库25/100
x9 92 510 5 0 010 21 51公 00斤 100 100100
p 数学期望
在大量试验下，频率f(x=xi)稳定于概率p(x=xi),而随机变量x的算术平 均值也一定稳定于“随机变量x的各个可能值与其相应概率p(x=xi)乘 积的总和”，这个“总和”是一个常数，它是算术平均值的稳定值 ，称为随机变量x的数学期望。
（2）测量列及测量列平均值的标准偏差
p 测量列的标准偏差：
n
n
xi x2
Vi2
x
i1
n1
i1
n1
p 测量列平均值的标准偏差：
n
x
xi x2
i1
nn1
x
n
（3）正态分布
u 概率密度函数：
f(x)1 exp1([xμ)] σ2π 2 σ
u 正态分布曲线：
f (x)
概率含量68.3%
特点：
1.直接测量与间接测量
由同一观察者用同一仪器、同一方法、同一环境测量n次 ，所得测量值为x1、x2….xn，则把这样在同一种条件下的
重复测量称为等精度测量。
在不同条件（观察者、仪器、方法、环境）下的重复测量
称为不等精度测量。
3.重复测量和单次测量
在等精度的条件下对待测量进行多次直接测量，每一次
测量是测量全过程的重新调节，称为重复测量。
用测量的算术平均值来表示 xx1x2xn n
测量 结 xu 果 p
表示真值在量值 xu,xu之中，显然，量
值范围越窄，则测量不确定度越小，用测量值表 示真值的可靠性就越高
2、分类
可用概率统计法计算的A类评定
用其它非统计方法估算的B类评定
3、物理意义：更科学地表示了测量结果的可靠性
二、直接测量标准不确定度的A类评定
凡是可以直接用计量仪器和测量量进行比较，便可获得测
量结果的，该测量属于直接测量。
如：米尺测长度、温度计测温度......
凡是通过与被测量有函数关系的其他量，才得到被测量量
值的测量，称为间接测量。
如：电功率......
1.直接测量与间接测量是相对的。 2.直接测量是测量的基础。
2.等精度测量和不等精度测量
• 单峰性 • 对称性 • 有界性 • 抵偿性
3 x x x
概率含量99.7%
x
3 x
§1-2 实验测量不确定度的评定
一、不确定度的定义与物理意义
1、定义：
由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度，称为不确定度， 它是与测量结果相联系的一个参数。
测量 结 xu 果 p
测量值
测量不确定度
1.用贝塞尔公式求标准偏差
n
xi x2
n
Vi2
x
i1
n1
i1
n1
2. 求测量列平均值的标准偏差
n
x
xi x2
i1
nn1
x
n
当测量次数足够多时，测量值分布满足正态分布
f (x)
置信概率68.3%
x
x x
但实验测量中，次数有限所以测量值不满足正态分布， 而是遵循t分布。
tvp x x x tvp x
二、测量结果分析的基本概念
1. 多次等精度测量结果的估算
（1） 算术平均值与数学期望
x
1 n
n i 1
xi
n
x xi fi i 1
随机变量的算术平均数，等于“试验结 果 的 各 个 可 能 值 与 其 相 应 的 频 率 f(x=xi) 乘 积 之 和 ” 。 由 于 频 率 f(x=xi) 要 试 验 后 才能确定，因而算术平均数也必须到试 验后才能求出，而且各次试验后，所得 到算术平均数也不一定相同，具有随机 性。
为达到同样的置信概率，应把测量偏差范围扩大， 乘上一个t因子，即：
tvp x
三种概率下的不同自由度v的tvp值(v=n-1)
tv p
2
3
4
5
6
7
0.68 1.32 1.20 1.14 1.11 1.09 1.08
0.95 4.30 3.18 2.78 2.57 2.46 2.37
0.99 9.93 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50
选择测量仪器应考虑：准确度等级、测量范围、实际 测量量对精度的要求等。
仪器的精密度：仪器的最小读数。最小读数的数值越 小，仪器的精密度越高，误差越小。
测量结果的精密度和准确度与测量仪器的精确度等级 密切相关。
仪器的公差：Δ仪
l游标卡尺：出厂公差就是该游标卡尺类精密度。 l指针式电表：Δ仪 = Amα% l数字式仪表：Δ仪 = K%V + ND
E(x)
x p x是连续的 ii
i1
概率
其中， p i 1
i1
E(x) x(fx)dx
概率密度函数
p 算术平均值与数学期望
数学期望E(x)与算术平均值有紧密联系，都是反映随机变量x 的“平均特征”这一统计特征，但它们又有质的差别， E(x) 是一个客观存在的理论值，而算术平均值是一个试验值，具 有随机性。
tv p
8
9 14 19
0.68 1.07 1.06 1.04 1.03 1
0.95 2.31 2.26 2.15 2.09 1.96
0.99 3.36 3.25 2.98 2.86 2.58
所以直接测量量不确定度A类评定为：
uA
tv
px
tv
p
x
n
注意：对于不同的置信概率p，具有不同的A类不确定度。
主要内容
§1-1 实验测量的基本知识 §1-2 实验测量不确定度的评定 §1-3 有效数字及其运算 §1-4 实验测量数据的处理
§1-1 测量的基本知识
一、物理测量的基本概念
运用各种物理仪器和物理方法把待测未知量与已知标准 单位同类量作比较，即待测量是该计量单位的多少倍。
大多数的测量结果不但有数值而且有单位。
只对测量量进行一次测量，称为单次测量。
1. 测量结果的准确度要求不高，允许粗略地估计误差的大小。 2. 测量误差远小于仪器误差。 3. 受条件的限制，如在动态测量中，无法对待测量做重复测量。
4.测量的精密度、准确度、精确度
精密度 准确度 精确度
精密、不准确
准确、不精密
精确
不精确
5.仪器的准确度等级与仪器的公差
例：
零件重 x
公斤
99
件数 m
25
100
101
50
25
频率 f
25/100
50/100
百度文库25/100
x9 92 510 5 0 010 21 51公 00斤 100 100100
p 数学期望
在大量试验下，频率f(x=xi)稳定于概率p(x=xi),而随机变量x的算术平 均值也一定稳定于“随机变量x的各个可能值与其相应概率p(x=xi)乘 积的总和”，这个“总和”是一个常数，它是算术平均值的稳定值 ，称为随机变量x的数学期望。
（2）测量列及测量列平均值的标准偏差
p 测量列的标准偏差：
n
n
xi x2
Vi2
x
i1
n1
i1
n1
p 测量列平均值的标准偏差：
n
x
xi x2
i1
nn1
x
n
（3）正态分布
u 概率密度函数：
f(x)1 exp1([xμ)] σ2π 2 σ
u 正态分布曲线：
f (x)
概率含量68.3%
特点：