第3章：摄影测量中的投影变换理论
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q 空间相似变换式
X Y Z a 11 = λ a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 X m ∆ X Y + ∆Y a 23 m a 33 Zm ∆Z
仿射变换
平面仿射变换的实质是平面与平面之间 的平行投影 q 经仿射变换后线段间保持其平行性，但 不保持其垂直性。
q
仿射变换
q 平面仿射变换数学模型：
x = a1 X + a 2Y + a 3 wenku.baidu.com y = b1 X + b 2 Y + b 3
仿射变换在摄影测量中的主要应用是什么？
仿射变换应用举例
应加上一个平面约束条件(像点坐标共面)：
像片面 P(x,y) 投影中心 S
投影面 M(X,Y)
透视变换应用举例
q
平坦地区像片纠正的 实质就是透视变换 c d
a1 X + a 2Y + a 3 x = c1 X + c 2Y + 1 b1 X + b 2 Y + b 3 y = c1 X + c 2Y + 1
b
a11 v a = 21 w a 31 t a 41 a11 a = 21 a 31 a 41
a12 a 22 a 32 a 42 a12 a 22 a 32 a 42
a13 a 23 a 33 a 43 a13 a 23 a 33 a 43
a
S
A
B
D
C
摄影测量中的 投影变换理论拓展
投影变换
q
最一般的线性变换是投影变换，或称直射变 换（共线变换），其在3D中的解析式为：
a 11 X x = a 41 X a X y = 21 a 41 X + + + + a 12 Y a 42 Y a 22 Y a 42 Y + + + + a 13 Z a 43 Z a 23 Z a 43 Z + a 14 + a 44 + a 24 + a 44
高等摄影测量研究范畴
* 摄影（成像）→ 记录（胶片、数字）→ 处理、加工 定量的（几何的）→ 解决是多少？ 定性的（解译的）→ 解决是什么？ → 表达（产品）→ 存贮、管理、更新 → 发布、应用 → 新的应用需求、认识水平提高 → 促成新的成像/非成像方式的研究、集成 → 回到 *
第三讲 摄影测量中的 投影变换理论及其拓展
投影变换
z =
a 31 X + a 32 Y + a 33 Z + a 34 a 41 X + a 42 Y + a 43 Z + a 44
当满足：a41= a42 =a43 = 0
a44≠0 则有： 仿射变换
x = a 11 X + a 12 Y + a 13 Z + a 14 y = a 21 X + a 22 Y + a 23 Z + a 24 z = a 31 X + a 32 Y + a 33 Z + a 34
（摄影测量的数学基础）
投影变换回顾
Planar Geometric Projections Parallel Orthographic Top (Plan) Front elevation Side elevation Isometric Other Cabinet Three-point Cavalier Other Oblique Perspective One-point Two-point
比较 线性分 数形式 线性形式
（便于处理）
a 31 X + a 32 Y + a 33 Z + a 34 a 41 X + a 42 Y + a 43 Z + a 44
可得：
u = a11U + a12V + a13W + a14 T v = a 21U + a 22V + a 23W + a 24 T w = a 31U + a 32V + a 33W + a 34 T t = a 41U + a 42V + a 43W + a 44 T
q 像片内定向和底片变形改正
x = a 0 + a1 x ′ + a 2 y ′ ′ ′ y = b 0 + b1 x + b 2 y
仿射变换
y
y’ a
x
x（像）
y
o O
x’
y’
x’（仪、扫）
仿射变换应用举例
q 内定向步骤(以仿射变换为例)： ü 框标识别 ü 利用框标的像片坐标和扫描坐标求转换 公式中的系数: x = a0 + a1x’+ a2 y’ y = b0 + b1x’+ b2 y’ ü 将所求得的系数回代转换公式求任意一 点扫描坐标所对应的像片坐标
x a1 y = b 1
a 2 X a3 + b2 Y b3
a2 b2 0 a3 X Y b3 1 1
齐次坐标表示
x a1 y = b 1 1 0
−1
u v w t
上式运算的前提是矩阵A必须是非奇异的。 但在摄影测量中，把三维的物点映射到一 个二维的影像上，这种变换是属于奇异 的，此时对A的求逆要使用广义逆的理论。
齐次坐标
q 仿射变换的齐次坐标表示 仿射变换 矩阵形式
x = a1 X + a 2Y + a 3 y = b1 X + b 2 Y + b 3
仿射变换的特例
x = a 11 X + a 12 Y + a 13 Z + a 14 y = a 21 X + a 22 Y + a 23 Z + a 24 z = a 31 X + a 32 Y + a 33 Z + a 34
仿射变换
在仿射变换中当满足下列行列式条件
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 = 1 a 33
如：齐次坐标（4,8,2,2）与（2,4,1,1）代表同一点
齐次坐标
q 齐次坐标的不唯一性 ü 齐次坐标中位于无穷远的点表示为： （u, v, w , 0） ü 齐次坐标中原点的坐标表示为： （0, 0, 0 , t）
齐次坐标
q 齐次坐标的应用 反算式为：
U V W T a11 a = 21 a 31 a 41 a12 a 22 a 32 a 42 a13 a 23 a 33 a 43 a14 a 24 a 34 a 44
齐次坐标
也可将
u = a11U + a12V + a13W + a14 T v = a 21U + a 22V + a 23W + a 24 T w = a 31U + a 32V + a 33W + a 34 T t = a 41U + a 42V + a 43W + a 44 T
写成矩阵形式： u
中心投影
q
航空影像是中心投影（透视投影）
c b a
S
B A C
正射投影
q
地图、正射影像是正射投影（竖直平行投影）
正射投影
中心投影与正射投影的差别
问：何时中心投影与正射投影等效？
斜平行投影
q
斜平行投影
斜平行投影
立体匹配片制作
正射投影
坐标变换回顾
q 常用的空间几何坐标变换有： ü 刚体变换（仅局限于平移和旋转） ü 空间相似变换（含平移、旋转和缩放） ü 仿射变换（适用于平移、旋转、缩放） ü 投影变换（透视变换） ü 非线性变换（多项式变换）
投影变换的特例 q 仿射变换是投影变换的一种特例
x = a 11 a 41 a 21 y = a 41 X X X X + + + + a 12 Y a 42 Y a 22 Y a 42 Y + + + + a 13 Z a 43 Z a 23 Z a 43 Z + + + + a 14 a 44 a 24 a 44
u a 11 v a = 21 w a 31 t a 41 a 12 a 22 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 a 43 a 14 U V a 24 a 34 W a 44 T
摄影测量中的情况
q 摄影过程是属于3D到2D的映射
x a11 a12 y = a 21 a22 X a13 × Y a23 Z
2D
3D
其中：变换矩阵 A 代表了摄影成像系统 的映射作用。
摄影测量中的情况
q 摄影映射的齐次坐标表示 对于用齐次坐标表示的投影变换矩阵：
投影变换
a 31 X + a 32 Y + a 33 Z + a 34 z = a 41 X + a 42 Y + a 43 Z + a 44
该式表示由三维空间的一个点（X，Y，Z）变换 成另一个点（x，y，z），即3D到3D的变换
投影变换 q 投影变换的重要特征
ü 一条曲线经变换后其曲线的项次不变 § 一条直线上的点经变换后仍位于一条直 线上（line-based photogrammetry） § 一个平面上的点经变换后仍位于一个平 面上 ü 对于空间中的点，在有限空间与无限 空间之间没有基本的区分
a14 U V a 24 a 34 W a 44 T a14 a 24 a 34 a 44
−1
反算式为：
U V W T
u v w t
齐次坐标
q 齐次坐标的不唯一性 假设把齐次坐标都乘以一个非零的因子λ， 获得新的齐次坐标（λu,λv,λw,λt）,其 所对应的空间直角坐标将保持不变。 说明： ü 一个点的笛卡尔（空间直角）坐标是唯 一的 ü 而一个点的齐次坐标则仅在一种比例尺 上唯一
《高等摄影测量》
主讲：王树根
武汉大学遥感信息工程学院
高等摄影测量研究范畴
* 摄影（成像）→ 记录（胶片、数字）→ 处理、加工 定量的（几何的）→ 解决是多少？ 定性的（解译的）→ 解决是什么？ → 表达（产品）→ 存贮、管理、更新 → 发布、应用 → 新的应用需求、认识水平提高 → 促成新的成像/非成像方式的研究、集成 → 回到 *
齐次坐标
若将
X = W V U , Y = , Z = T T T
和
u v w x= , y= , z= t t t
代入投影变换式：
a 11 x = a 41 a 21 y = a 41 z = X X X X + + + + a 12 Y a 42 Y a 22 Y a 42 Y + + + + a 13 Z a 43 Z a 23 Z a 43 Z + + + + a 14 a 44 a 24 a 44
透视变换
q
平面透视变换的实质就是平面与平面之间 的中心投影（属于投影变换）
透视变换数学模型：
a1 X + a 2Y + a 3 x = c1 X + c 2Y + 1 b1 X + b 2 Y + b 3 y = c1 X + c 2Y + 1
透视变换应用举例
q
平坦地区像片纠正的 实质就是透视变换
λ=1 时 如何？
齐次坐标 q 齐次坐标的引入
假设把空间某个点的空间直角坐标 （X Y Z）和（x y z）代以下列关系：
U X = , T u x = , t V Y = , T v y = , t W Z = T w z = t
则该空间点的齐次坐标可表示为 （U V W T）和（u v w t）
则变换图形保持其面积，但不保持其形状
仿射变换的特例
q 当仿射变换中其变换矩阵
a 11 A = a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
满足
AT A = k 2E
则仿射变换成为（空间）相似变换（保 持形状而不保持体积）。
仿射变换的特例
X Y Z a 11 = λ a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 X m ∆ X Y + ∆Y a 23 m a 33 Zm ∆Z
仿射变换
平面仿射变换的实质是平面与平面之间 的平行投影 q 经仿射变换后线段间保持其平行性，但 不保持其垂直性。
q
仿射变换
q 平面仿射变换数学模型：
x = a1 X + a 2Y + a 3 wenku.baidu.com y = b1 X + b 2 Y + b 3
仿射变换在摄影测量中的主要应用是什么？
仿射变换应用举例
应加上一个平面约束条件(像点坐标共面)：
像片面 P(x,y) 投影中心 S
投影面 M(X,Y)
透视变换应用举例
q
平坦地区像片纠正的 实质就是透视变换 c d
a1 X + a 2Y + a 3 x = c1 X + c 2Y + 1 b1 X + b 2 Y + b 3 y = c1 X + c 2Y + 1
b
a11 v a = 21 w a 31 t a 41 a11 a = 21 a 31 a 41
a12 a 22 a 32 a 42 a12 a 22 a 32 a 42
a13 a 23 a 33 a 43 a13 a 23 a 33 a 43
a
S
A
B
D
C
摄影测量中的 投影变换理论拓展
投影变换
q
最一般的线性变换是投影变换，或称直射变 换（共线变换），其在3D中的解析式为：
a 11 X x = a 41 X a X y = 21 a 41 X + + + + a 12 Y a 42 Y a 22 Y a 42 Y + + + + a 13 Z a 43 Z a 23 Z a 43 Z + a 14 + a 44 + a 24 + a 44
高等摄影测量研究范畴
* 摄影（成像）→ 记录（胶片、数字）→ 处理、加工 定量的（几何的）→ 解决是多少？ 定性的（解译的）→ 解决是什么？ → 表达（产品）→ 存贮、管理、更新 → 发布、应用 → 新的应用需求、认识水平提高 → 促成新的成像/非成像方式的研究、集成 → 回到 *
第三讲 摄影测量中的 投影变换理论及其拓展
投影变换
z =
a 31 X + a 32 Y + a 33 Z + a 34 a 41 X + a 42 Y + a 43 Z + a 44
当满足：a41= a42 =a43 = 0
a44≠0 则有： 仿射变换
x = a 11 X + a 12 Y + a 13 Z + a 14 y = a 21 X + a 22 Y + a 23 Z + a 24 z = a 31 X + a 32 Y + a 33 Z + a 34
（摄影测量的数学基础）
投影变换回顾
Planar Geometric Projections Parallel Orthographic Top (Plan) Front elevation Side elevation Isometric Other Cabinet Three-point Cavalier Other Oblique Perspective One-point Two-point
比较 线性分 数形式 线性形式
（便于处理）
a 31 X + a 32 Y + a 33 Z + a 34 a 41 X + a 42 Y + a 43 Z + a 44
可得：
u = a11U + a12V + a13W + a14 T v = a 21U + a 22V + a 23W + a 24 T w = a 31U + a 32V + a 33W + a 34 T t = a 41U + a 42V + a 43W + a 44 T
q 像片内定向和底片变形改正
x = a 0 + a1 x ′ + a 2 y ′ ′ ′ y = b 0 + b1 x + b 2 y
仿射变换
y
y’ a
x
x（像）
y
o O
x’
y’
x’（仪、扫）
仿射变换应用举例
q 内定向步骤(以仿射变换为例)： ü 框标识别 ü 利用框标的像片坐标和扫描坐标求转换 公式中的系数: x = a0 + a1x’+ a2 y’ y = b0 + b1x’+ b2 y’ ü 将所求得的系数回代转换公式求任意一 点扫描坐标所对应的像片坐标
x a1 y = b 1
a 2 X a3 + b2 Y b3
a2 b2 0 a3 X Y b3 1 1
齐次坐标表示
x a1 y = b 1 1 0
−1
u v w t
上式运算的前提是矩阵A必须是非奇异的。 但在摄影测量中，把三维的物点映射到一 个二维的影像上，这种变换是属于奇异 的，此时对A的求逆要使用广义逆的理论。
齐次坐标
q 仿射变换的齐次坐标表示 仿射变换 矩阵形式
x = a1 X + a 2Y + a 3 y = b1 X + b 2 Y + b 3
仿射变换的特例
x = a 11 X + a 12 Y + a 13 Z + a 14 y = a 21 X + a 22 Y + a 23 Z + a 24 z = a 31 X + a 32 Y + a 33 Z + a 34
仿射变换
在仿射变换中当满足下列行列式条件
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 = 1 a 33
如：齐次坐标（4,8,2,2）与（2,4,1,1）代表同一点
齐次坐标
q 齐次坐标的不唯一性 ü 齐次坐标中位于无穷远的点表示为： （u, v, w , 0） ü 齐次坐标中原点的坐标表示为： （0, 0, 0 , t）
齐次坐标
q 齐次坐标的应用 反算式为：
U V W T a11 a = 21 a 31 a 41 a12 a 22 a 32 a 42 a13 a 23 a 33 a 43 a14 a 24 a 34 a 44
齐次坐标
也可将
u = a11U + a12V + a13W + a14 T v = a 21U + a 22V + a 23W + a 24 T w = a 31U + a 32V + a 33W + a 34 T t = a 41U + a 42V + a 43W + a 44 T
写成矩阵形式： u
中心投影
q
航空影像是中心投影（透视投影）
c b a
S
B A C
正射投影
q
地图、正射影像是正射投影（竖直平行投影）
正射投影
中心投影与正射投影的差别
问：何时中心投影与正射投影等效？
斜平行投影
q
斜平行投影
斜平行投影
立体匹配片制作
正射投影
坐标变换回顾
q 常用的空间几何坐标变换有： ü 刚体变换（仅局限于平移和旋转） ü 空间相似变换（含平移、旋转和缩放） ü 仿射变换（适用于平移、旋转、缩放） ü 投影变换（透视变换） ü 非线性变换（多项式变换）
投影变换的特例 q 仿射变换是投影变换的一种特例
x = a 11 a 41 a 21 y = a 41 X X X X + + + + a 12 Y a 42 Y a 22 Y a 42 Y + + + + a 13 Z a 43 Z a 23 Z a 43 Z + + + + a 14 a 44 a 24 a 44
u a 11 v a = 21 w a 31 t a 41 a 12 a 22 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 a 43 a 14 U V a 24 a 34 W a 44 T
摄影测量中的情况
q 摄影过程是属于3D到2D的映射
x a11 a12 y = a 21 a22 X a13 × Y a23 Z
2D
3D
其中：变换矩阵 A 代表了摄影成像系统 的映射作用。
摄影测量中的情况
q 摄影映射的齐次坐标表示 对于用齐次坐标表示的投影变换矩阵：
投影变换
a 31 X + a 32 Y + a 33 Z + a 34 z = a 41 X + a 42 Y + a 43 Z + a 44
该式表示由三维空间的一个点（X，Y，Z）变换 成另一个点（x，y，z），即3D到3D的变换
投影变换 q 投影变换的重要特征
ü 一条曲线经变换后其曲线的项次不变 § 一条直线上的点经变换后仍位于一条直 线上（line-based photogrammetry） § 一个平面上的点经变换后仍位于一个平 面上 ü 对于空间中的点，在有限空间与无限 空间之间没有基本的区分
a14 U V a 24 a 34 W a 44 T a14 a 24 a 34 a 44
−1
反算式为：
U V W T
u v w t
齐次坐标
q 齐次坐标的不唯一性 假设把齐次坐标都乘以一个非零的因子λ， 获得新的齐次坐标（λu,λv,λw,λt）,其 所对应的空间直角坐标将保持不变。 说明： ü 一个点的笛卡尔（空间直角）坐标是唯 一的 ü 而一个点的齐次坐标则仅在一种比例尺 上唯一
《高等摄影测量》
主讲：王树根
武汉大学遥感信息工程学院
高等摄影测量研究范畴
* 摄影（成像）→ 记录（胶片、数字）→ 处理、加工 定量的（几何的）→ 解决是多少？ 定性的（解译的）→ 解决是什么？ → 表达（产品）→ 存贮、管理、更新 → 发布、应用 → 新的应用需求、认识水平提高 → 促成新的成像/非成像方式的研究、集成 → 回到 *
齐次坐标
若将
X = W V U , Y = , Z = T T T
和
u v w x= , y= , z= t t t
代入投影变换式：
a 11 x = a 41 a 21 y = a 41 z = X X X X + + + + a 12 Y a 42 Y a 22 Y a 42 Y + + + + a 13 Z a 43 Z a 23 Z a 43 Z + + + + a 14 a 44 a 24 a 44
透视变换
q
平面透视变换的实质就是平面与平面之间 的中心投影（属于投影变换）
透视变换数学模型：
a1 X + a 2Y + a 3 x = c1 X + c 2Y + 1 b1 X + b 2 Y + b 3 y = c1 X + c 2Y + 1
透视变换应用举例
q
平坦地区像片纠正的 实质就是透视变换
λ=1 时 如何？
齐次坐标 q 齐次坐标的引入
假设把空间某个点的空间直角坐标 （X Y Z）和（x y z）代以下列关系：
U X = , T u x = , t V Y = , T v y = , t W Z = T w z = t
则该空间点的齐次坐标可表示为 （U V W T）和（u v w t）
则变换图形保持其面积，但不保持其形状
仿射变换的特例
q 当仿射变换中其变换矩阵
a 11 A = a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
满足
AT A = k 2E
则仿射变换成为（空间）相似变换（保 持形状而不保持体积）。
仿射变换的特例