12-2 能量均分定理、麦克斯韦速率分布

CV, m R i 2R 仅取决于分子的自由度， C p,m
2
与气体种类、温度无关！
五、能量均分定理
自由度相同的气体， 热容并不相同；
单原子分子气体的热 容实验、理论值相符；
（3）理论值与实验值的比较
气体的热容与温度有关；
五、能量均分定理
（3）理论值与实验值的比较
多原子分子气体的热容 随温度呈阶梯状增长；
dN vx vx dvx ,
v y v y dv y vz vz dvz x x dx y y dy z z dz
m 32 N( ) e 2πkT


k P
kT
dvx dv y dvz dxdydz
dN x x dx n0e
y y dy z z dz
五、能量均分定理
1. 空间自由度
刚体的一般运动包括： 刚体质心的平动和绕质心的转动。 要确定刚体在空间的位置，需要确定：
决定物体的空间位置至少需要的独立坐标的数目。
①质心的位置（x,y,z）；
②刚体绕过质心的转轴的方位（θ，φ）； ③刚体转轴从起始位置转过的角度ψ。 自由刚体有6个自由度。 3个平动 + 3个转动
不同点：
经典统计 量子统计
以经典力学为基础，粒子运动状态具有连续性； 粒子全同可分辨，交换后状态变化; 例如：玻尔兹曼分布（如气体分子的最概然分布）。
以量子力学为基础，粒子运动状态不连续； 粒子全同不可分辨，交换后状态不变！ 例如：玻色分布（光子、介子等玻色子的最概然分布）、费米分 布（电子、质子等费米子的最概然分布）。 详见《基础物理学教程》(第二版) ,陆果,高等教育出版社，655－657
对于处在温度为T 的平衡态的经典系统，粒子每个 自由度对应的平均能量相等，均为 k T / 2
五、能量均分定理
分子
自由度
t 平动 r
3 3
3 3 3
转动
v
振动
i
总
单原子分子
刚性双原子分子 非刚性双原子 分子 刚性三原子分子 非刚性三原子 分子
0 2 2 3 3
0 0 2 0 6
3 5 7 6 12

1 2 2n π d
kT 2 2 πd p
1 例 已知空气处于标准状态（0C，.0110 Pa）， 3 摩尔质量为 M 28.9 10 kg/mol，分子的碰撞截面
5
为 5 10 15 cm2 ， 求: 1） 空气分子的有效直径d; 2） 平均自由程和平均碰撞频率。
五、能量均分定理
思考：经典热容理论存在哪些缺陷？
（1）能量均分定理采用理性气体模型，认为分子 为无相互作用的弹性质点； 而实际分子间有相互作用、分子有大小。 （2）能量均分定理以经典力学为基础建立，认为 原子、分子等微观粒子的能量可以连续变化； 而近代物理学表明：原子、分子等微观粒子的运动 遵循量子力学规律（能量不连续，只能取一些分立 的值）。
3
1
1 .29 kg m 3
求：(1) 空气的平均平动动能总和； (2) 如果温度升高1.0K，则气体内能变化多大?
3 V (1) Ekt RT 7.31106 J 2 M 5 V (2) E RT 4.16 104 J 2 M
2. 处于平衡态的气体分子具有确定的速 3kT 2 v 度平方平均值（ ），反 m 映了大量分子无规则运动的统计规律性。
d1 , d 2 , d3 ,
v1 v, v2 v, v3 v, 金属蒸气
N1 N 2 N 3 , , , N N N
Hg

狭 缝

显 示 屏
l
六、麦克斯韦气体分子速率分布律
1. 气体分子速率分布的测定
（2）实验结果 一定种类的气体在一定温度下，其分子按速率的 分布是确定的，其具有一些共同的特点： ①
NO. 12－2
2011－12－2
一、能量均分定理 ຫໍສະໝຸດ Baidu、理想气体的内能及摩尔热容 三、麦克斯韦气体分子速率分布律 及 三个统计速率 四、分子平均自由程 及 平均碰撞频率
1.对于双原子分子或多原子分子， 分子有一定的内部结构，除平动外还有 分子的转动和分子内原子间的相对运动， 分子的平均动能和温度关系 3 kT k 2 是否仍然成立？
五、能量均分定理
2. 能量（按自由度）均分定理
（1）分子平动动能按自由度分配
1 1 2 1 2 2 1 mv x mv y mv z kT 2 2 2 2
对于刚性分子 vk 0
1 （2）分子动能按自由度分配 k (t r vk )kT 2 （3）分子能量按自由度分配——能量均分定理 i t r v 1 (t r v) kT i kT 能量自由度 2 2 刚性分子 v 0 非刚性分子 v 2vk
m M
（2）平均速率
RT M
v
RT 8kT v 1.60 M m
（3）方均根速率
v
2
f (v)
3kT RT vrms 2 1.73 v M m
o
vp v vrms
v
例： 同一种气体，在不同温度下的速率分布曲线如 图所示。则 T1 ＜ T2；
f (v)
1
2
o
vp1 vp2
态下，分子速率在 v附近单位 速率区间的概率（概率密度）.
o
v v dv
f (v) 的具体形式是
v


0
f (v ) d v 1
（归一化条件）
六、麦克斯韦气体分子速率分布律
2. 麦克斯韦气体分子速率分布律
麦克斯韦速率分布率（无外场作用时，近独立经典
m 32 ) e 麦氏速率分布函数 f ( v) 4π( 2πkT
Mean Free Path; Mean Collision Frequency
1. 气体分子碰撞的微观模型：无引力的弹性小球
2. 描述分子间碰撞的物理量
（1）平均碰撞频率 Z 有效直径
Z 2n π d v
2
一个分子在单位时间内与其它分子碰撞的平均次数。
（2）平均自由程
分子在连续两次碰撞间所经过的自由路程的的平均值。
v
例：两种气体（氢气和氧气），在相同温度下的速 率分布曲线如图所示。则 a为 氧气 ，b为 氢气 。
f (v)
a
b
vpa vpb 最概然速率两侧概率相等？ o v N左 f(v)dv＝42.8％ 0 N 不等！ N右 f(v)dv＝57.2％ v N
p p
v
例： 你能用所学的知识解释大气中氢气含量比氧气 少吗？
N 相对分子数 与分子的速率 v 以及所取速率间隔 v N
的大小有关；
② 速率特别大或者特别小的分子的相对分子数都很小，
而位于某一速率间隔中的相对分子数最大；
③ 速率间隔取得越大，则相对分子数越大。
N 用 来消除 v 的影响，表示在速率v 附近单位速率区间 N v 内的相对分子数。
六、麦克斯韦气体分子速率分布律
例 某种理想气体的定压摩尔热容量 1 1 Cpm 29.1J mol K
求该气体分子在T=273K时的平均转动动能
i 5
r2
2 kt kT 3.77 10 21 J 2
3 例 闭合容器（ V 5 3 3 m，T=293K）内有空气
(视为理想气体)空气的M= 29 10 kg mol ，密度
P
kT
dxdydz
势能为零处单位体积内 各种速度的分子数密度
n n0 e

P
kT
p p0e

mgz kT
3. 室温下，氧气分子的平均速率为数百米
每秒（ v 1.60 RT ），
M
为什么花露水的香味扩散几米却需要几秒
的时间呢？
今日作业
12－13，17，21，24
八、分子平均自由程及平均碰撞频率
麦氏速率分布曲线
dN m 32 4 π( ) e N 2πkT

mv 2 kT
2
全同自由粒子的最概然分布）
v 2dv
mv 2 2 kT
v2
f (v)
最概然速率
f max
2kT vp m
o
vp
v
六、麦克斯韦气体分子速率分布律
3. 三种统计速率
v p v p 2kT 2 RT 1.41 （1）最概然速率
vrms H 2 vrms O2
3RT 3 8.31 300 1.93 103 m s -1 M 0.002 3RT 3 8.31 300 483 m s -1 M 0.032
第二宇宙速度(逃逸速度)：使物体脱离地球引 力范围所需的最小速度。
2GmE v2 2 gRE 11.2 103 m s 1 RE
气体分子的速度遵循怎样的分布规律？
六、麦克斯韦气体分子速率分布律
Law of Maxwell Speed Distribution of Gas Molecules
1. 气体分子速率分布的测定
（1）实验装置及原理
l , v l 2 v

接抽气泵
1 , 2 , 3 ,
能量均分定理是经典的Boltzman统计中一个重要定 理，只有对于满足经典极限条件的粒子系统才成立。 （在各个能级上的粒子数远小于该能级的简并量子态数） （高温，低密度）
五、能量均分定理
经典统计和量子统计的研究对象和研究方法相同：
都根据对物质微观结构和相互作用的认识，用概率统计的 方法，为由大量粒子组成的系统的宏观物理性质及其所遵 循的宏观规律提供微观解释，并揭示由大量微观粒子组成 的系统所固有的统计规律性。
例 已知分子数
N ，分子质量 m，分布函数 f (v)
求: 1） 速率在 vp
~ v 间的分子数； 2）速率在 vp ~ 间所有分子动能之和 .
N1 N f(v)dv
vp v
1 2 k N mv f(v)dv vp 2

七、玻耳兹曼能量分布率
Law of Boltzmann Energy Distribution 在外力场作用下，分子同时具有动能和势能， 分子的分布需同时考虑速率分布和空间位置分布。
1. 气体分子速率分布的测定
（2）实验结果
N /( Nv)
N S N
o
v v v
v
④ 若改变气体种类或温度再做实验，分布情况会 有差异，但仍然具有上述特点。
六、麦克斯韦气体分子速率分布律
1. 气体分子速率分布的测定 N 1 dN （3）速率分布函数 lim f (v) v 0 Nv N dv f (v) 物理意义 速率分布曲线 表示在温度为 T 的平衡状
五、能量均分定理
3. 理想气体的内能和摩尔热容
（1）一般气体的内能：
所有分子无规则运动的能量＋分子间势能
理想气体的内能： 所有分子无规则运动的能量
i E RT 2
（2）理想气体的摩尔热容 ——经典热容理论 1 dQV 1 dE i CV, m Cp,m i 2 R dT d T 2 CV, m i