离散系统的稳定性条件和瞬态响应
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4
at
例
L[sin(t )e at ]
(a s )2 2
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计算机控制技术课件
2.1.3常用的拉氏变换法则
6) 设， F ( s) L[ f (t )] 则 f (t )
t 0 s
lim sF ( s) 和 lim f (t ) 各有极限存在，
s t 0
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计算机控制技术课件
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2.1.2几个常用函数的拉氏变换
f (t )
脉冲函数
阶跃函数 斜坡函数 加速度函数
F ( s)
1
1 s
(t )
1( t )
t
1 2 t 2!
1 s2 1 s3 1 sa s2 2
s s2 2
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指数函数
正弦函数 余弦函数
2
e at
sin(t ) cos(t )
1 n
s pi
n Ai pi t f (t ) L [ F ( s)] L [ ] Ae i s p i 1 i 1 i
7
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计算机控制技术课件
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例2-1 求
F ( s)
s2 s 2 4s 3
的拉氏反变换。
解：将F(s)分解成部分分式，则
F ( s) s2 A1 A2 s 2 4s 3 ( s 1) ( s 3)
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2.1.4拉氏反变换
用部分分式法求拉氏反变换 基本思想：即将F(s)分解成若干有理分式之和的形式，然后利用拉氏变 换对照表查出对应的原函数f(t)。 F(s)的一般形式为：
B( s) b0 s m b1s m1 F ( s) A( s) a0 s n a1s n1
3)
1 1 L[ f (t )dt ] F ( s ) f ( 1) (0) s s 1 1 1 L[ f (t )dt 2 ] 2 F ( s ) 2 f ( 1) (0) f ( 2) (0) s s s
式中： f ( 1) (0)，f ( 2) (0) 分别为 f (t ) 的一、二次重积分在t=0时的值。当
∵
Ai lim ( s pi ) F ( s )
s2 1 s 1 ( s 1)( s 3) 2 s2 1 A2 lim( s 3) s 3 ( s 1)( s 3) 2 将A1、A2代入原式得： A1 lim( s 1)
F ( s) s2 1 1 1 1 s 2 4s 3 2 ( s 1) 2 ( s 3)
bm1s bm an1s an
K ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
式中：-z1,-z2,…,-zm为F(s)的零点；-p1,-p2,…,-pn为F(s)的极点；n≥m。
A(s)的三种情况： 1）A(s)=0均为单根 2）A(s)=0有共轭复根 3）A(s)=0有重根
式中：f(0)是函数f(t)在t=0时的值，f’(0)是函数f(t)的微分在t=0时 的值。当f(0)=f’(0)=0时
L[ df (t ) ] sF ( s ) dt
d 2 f (t ) 2 L[ ] s F ( s) 2 dt
3 计算机控制技术课件
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2.1.常用的拉氏变换法则
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s 2 5s ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 例2-2 求 F ( s) 2 的拉氏反变换。 s 4s 3
解：因为F(s)的分母和分子阶数相同，对其进行分解得：
s 2 5s 5 ( s 2 4s 3) ( s 2) ( s 2) F ( s) 2 1 s 4s 3 s 2 4s 3 s 2 4s 3
计算机控制技术课件
2.1.常用的拉氏变换法则
设： F(s)=L[f(t)]，F1(s)=L[f1(t)]，F2(s)=L[f2(t)] 1)
L[af1 t bf2 (t )] aL[ f1(t )] bL[ f 2 (t )] aF1(s) bF2 (s)
2)
L[ df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) 2 L[ ] s F ( s ) sf (0) f '(0) 2 dt
第二章 计算机控制系统的理论基础
2.1连续线性系统的扼要回顾
2.1.1拉氏变换定义
1
st F ( s) L[ f (t )] f (t )e dt 0
( s j )
f (t ) L1[F (s)]
j 2 j
1
j
F ( s )e st ds
lim f (t ) lim sF ( s)
7) 若原函数f(t)和函数sF(s)在t→∞和s→0
lim f (t ) lim sF ( s)
t s0
例： F ( s )
2 s 2 22
原函数为：
sin(2t )
当t→∞时极限不存在，不能用终值定理。
5
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计算机控制技术课件
f ( 1) (0) f ( 2) (0) 0
1 L[ f (t )dt ] F ( s ) s 1 L[ f (t )dt 2 ] 2 F ( s ) s 4) 时滞定理(实位移定理)
L[ f (t T )] e sT F ( s)
5)
L[ f (t )e ] F ( s a)
6
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1）A(s)=0均为单根
A1 A2 F ( s) s p1 s p2
n An A i s pn i 1 s pi
式中：Ai为常数，可由下式求得
Ai lim ( s pi ) F ( s )
或
1
Ai [ F ( s)(s pi )]s pi
s pi
其拉氏反变换为：
f (t ) L1[ F ( s )] L1[ s2 1 1 1 1 1 1 ] L [ ] L [ ] s 2 4s 3 2 ( s 1) 2 ( s 3)
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1 t 1 3 t e e 2 2
at
例
L[sin(t )e at ]
(a s )2 2
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2.1.3常用的拉氏变换法则
6) 设， F ( s) L[ f (t )] 则 f (t )
t 0 s
lim sF ( s) 和 lim f (t ) 各有极限存在，
s t 0
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2.1.2几个常用函数的拉氏变换
f (t )
脉冲函数
阶跃函数 斜坡函数 加速度函数
F ( s)
1
1 s
(t )
1( t )
t
1 2 t 2!
1 s2 1 s3 1 sa s2 2
s s2 2
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指数函数
正弦函数 余弦函数
2
e at
sin(t ) cos(t )
1 n
s pi
n Ai pi t f (t ) L [ F ( s)] L [ ] Ae i s p i 1 i 1 i
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例2-1 求
F ( s)
s2 s 2 4s 3
的拉氏反变换。
解：将F(s)分解成部分分式，则
F ( s) s2 A1 A2 s 2 4s 3 ( s 1) ( s 3)
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2.1.4拉氏反变换
用部分分式法求拉氏反变换 基本思想：即将F(s)分解成若干有理分式之和的形式，然后利用拉氏变 换对照表查出对应的原函数f(t)。 F(s)的一般形式为：
B( s) b0 s m b1s m1 F ( s) A( s) a0 s n a1s n1
3)
1 1 L[ f (t )dt ] F ( s ) f ( 1) (0) s s 1 1 1 L[ f (t )dt 2 ] 2 F ( s ) 2 f ( 1) (0) f ( 2) (0) s s s
式中： f ( 1) (0)，f ( 2) (0) 分别为 f (t ) 的一、二次重积分在t=0时的值。当
∵
Ai lim ( s pi ) F ( s )
s2 1 s 1 ( s 1)( s 3) 2 s2 1 A2 lim( s 3) s 3 ( s 1)( s 3) 2 将A1、A2代入原式得： A1 lim( s 1)
F ( s) s2 1 1 1 1 s 2 4s 3 2 ( s 1) 2 ( s 3)
bm1s bm an1s an
K ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
式中：-z1,-z2,…,-zm为F(s)的零点；-p1,-p2,…,-pn为F(s)的极点；n≥m。
A(s)的三种情况： 1）A(s)=0均为单根 2）A(s)=0有共轭复根 3）A(s)=0有重根
式中：f(0)是函数f(t)在t=0时的值，f’(0)是函数f(t)的微分在t=0时 的值。当f(0)=f’(0)=0时
L[ df (t ) ] sF ( s ) dt
d 2 f (t ) 2 L[ ] s F ( s) 2 dt
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s 2 5s ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 例2-2 求 F ( s) 2 的拉氏反变换。 s 4s 3
解：因为F(s)的分母和分子阶数相同，对其进行分解得：
s 2 5s 5 ( s 2 4s 3) ( s 2) ( s 2) F ( s) 2 1 s 4s 3 s 2 4s 3 s 2 4s 3
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2.1.常用的拉氏变换法则
设： F(s)=L[f(t)]，F1(s)=L[f1(t)]，F2(s)=L[f2(t)] 1)
L[af1 t bf2 (t )] aL[ f1(t )] bL[ f 2 (t )] aF1(s) bF2 (s)
2)
L[ df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) 2 L[ ] s F ( s ) sf (0) f '(0) 2 dt
第二章 计算机控制系统的理论基础
2.1连续线性系统的扼要回顾
2.1.1拉氏变换定义
1
st F ( s) L[ f (t )] f (t )e dt 0
( s j )
f (t ) L1[F (s)]
j 2 j
1
j
F ( s )e st ds
lim f (t ) lim sF ( s)
7) 若原函数f(t)和函数sF(s)在t→∞和s→0
lim f (t ) lim sF ( s)
t s0
例： F ( s )
2 s 2 22
原函数为：
sin(2t )
当t→∞时极限不存在，不能用终值定理。
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f ( 1) (0) f ( 2) (0) 0
1 L[ f (t )dt ] F ( s ) s 1 L[ f (t )dt 2 ] 2 F ( s ) s 4) 时滞定理(实位移定理)
L[ f (t T )] e sT F ( s)
5)
L[ f (t )e ] F ( s a)
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1）A(s)=0均为单根
A1 A2 F ( s) s p1 s p2
n An A i s pn i 1 s pi
式中：Ai为常数，可由下式求得
Ai lim ( s pi ) F ( s )
或
1
Ai [ F ( s)(s pi )]s pi
s pi
其拉氏反变换为：
f (t ) L1[ F ( s )] L1[ s2 1 1 1 1 1 1 ] L [ ] L [ ] s 2 4s 3 2 ( s 1) 2 ( s 3)
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