大数定律在保险中的应用

大数定律在保险中的应用
在概率论中，一切论述“一系列（数目很大）相互独立的随机变量的平均值几乎恒等于一个常数”的定理都称为大数定律。

大数定律是说，数目很多的一些相互独立的随机变量，尽管它们的取值都是随机的，但它们的平均值几乎恒等于一个常数。

n X X X ,,,21"大数定律应用在保险学上，就是保险的赔偿遵从大数定律。

其含义是：参加某项保险的投保户成千上万，虽然每一户情况各不相同，但对保险公司来说，平均每户的赔偿金几乎恒等于一个常数。

假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时，其家属可向保险公司领得1000元。

试问：平均每户支付赔偿金5.9元至6.1元的概率是多少？保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年利润大于4万的概率是多少？
设表示保险公司支付给第户的赔偿金，则，
i X i 6)(=i X E ，
964.5)(=i X D （10000,,2,1"=i ），诸相互独立。

则
i X ∑
==10000
1100001i i X X 表示保险公司平均对每户的赔偿金，6=)(X E ，410964.5(−×=X D ，由中心极限定理，)0244.0,6(~2N X i X 0 1000 P 0.994 0.006 ⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−Φ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Φ=<<0245.061.60245.069.5}1.69.5{X P 99996.01)09.4(2=−Φ= 虽然每一家的赔偿金差别很大（有的是0，有的是1000元），但保险公司平均对每户的支付几乎恒等于6元，在5.9元至6.1元内的概率接近于1，几乎是必然的。

所以，对保险公司来说，只关心这个平均数。

保险公司亏本，也就是赔偿金额大于12万元，即死亡人数大于120人的概率。

设死亡人数为Y ，则，=120×1000)006.0,10000(~B Y 64.59)(,60)(==Y D Y E 。

由中心极限定理，近似服从正态分布，那么
Y )64.59,60(N 0)77.7(1}120{1}120{=Φ−=≤−=>Y P Y P
这说明，保险公司亏本的概率几乎等于零。

甚至我们可以确定赢利低于3万元的概率几乎等于零（即赔偿人数大于90人的概率也几乎等于零）。

如果保险公司每年的利润大于4万元，即赔偿人数小于80人。

则
9952.0)59.2()64.5960
80(}80{=Φ=−Φ=<Y P
可见，保险公司每年利润大于4万元的概率接近100%。

在保险市场的竞争过程中，有两个可以采用的策略，一是降低保险费3元，另一个是提高赔偿金500元，哪种做法更有可能吸纳更多的投保者，哪一种效果更好？对保险公司来说，收益是一样的，而采用提高赔偿金比降低3元保险费更能吸引投保户。

评注：
1、理论依据：
保险的赔偿遵从大数定律，即如果投保人数充分大，则平均赔偿率几乎恒等于一个常数。

利用大数定律与中心极限定理计算相关事件的概率。

2、应用与推广
大数定律的一个重要应用是在保险学方面。

基本原理是一系列相互独立随机变量的平均值几乎恒等于一个常数，这个常数就是它的数学期望，或者说一系列相互独立随机变量的平均值依概率收敛于它的数学期望。

可以广泛应用于保险精算、资源配置等方面。

参考文献：
茆诗松等.概率论与数理统计[M].中国统计出版社.2000.7.。