浙江省金华市东阳中学2020届高三最后一模数学试题含解析【附15套高考模拟卷】
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浙江省金华市东阳中学 2020 届高三最后一模数学试题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1．若数列 是公比不为 1 的等比数列,且
,则
（）
A． B． C． D．
2．已知 m, n 是两条不同直线，, , 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
数），则实数 m 的取值范围是（ ）
A．
16 ( 5e4
,
9 4e 3
]
16 9
94
C．[5e4 , 4e3 ) D．[ 4e3 , 3e2 )
B．
(
9 4e3
,
4 3e 2
]
9．已知 m, n 是空间中两条不同的直线，, 是两个不同的平面，有以下结论：
① m α, n β, m n α β ② m / /, n / /, m , n / /
15．在锐角三角形 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c, a 1，且 (bc 2) cos A ac cos B 1 b2 ， 则 ABC 面积的最大值为______________． 16．在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P 为圆 C : (x 1)2 y2 4 上的任意一点，点 Q(2a, a 3) (a R) ， 则线段 PQ 长度的最小值为__________．
要求的。 1、C 2、D 3、A 4、C 5、D 6、A 7、B 8、D 9、B 10、B 11、C 12、C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13、4
9 14、 10
3 15、 4
16、 5 2
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20．（12 分）斜三棱柱 ABC A1B1C1 中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形， A1B 7 ， A1AB A1AC 60 .
证明：平面 A1BC 平面 ABC ；求四棱锥 A1 BCC1B1 的体积.
21．（12
分）已知函数
f
(x)
2x ln
x
x
1 x
2
.求曲线
y
f
(x) 在点 (1,
2
1
1
1
A． 3 B． 2 C． 3 D． 4
12．图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为 2 和 3 的两矩形所构成．设函数 S S ( a ) ( a 0)
是图中阴影部分介于平行线 y 0 及 y a 之间的那一部分的面积，则函数 S ( a ) 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
A．若 m‖ , n‖ , 则 m‖n C．若 m‖, m‖ , 则‖
B．若 , , 则‖ D．若 m ,n , 则 m‖n
3．已知函数
的最小正周期为 ，且图象关于直线 对称，若函数 的
图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则函数 的一个对称中心为（ ）
A．
B．
C． D．
4．函数 f x sin x cos x 在,3 上零点的个数是（ ）
D．
二、填空题：本题共 4 小题，Βιβλιοθήκη Baidu小题 5 分，共 20 分。
13．圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，
水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是
cm.
14．已知函数 y sin(x )( 0, ) 的图象如图所示，则 __________．
B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
7．若函数 f x =- 3 x3 ln x x ，则曲线 y f x 在点 -1,f -1 处的切线的倾斜角是（ ） 3
2
5
A． 6 B． 3 C． 3 D． 6
8．已知关于 x 的不等式 x(x mex ) mex 有且仅有两个正整数解（其中 e 2.71828...为自然对数的底
中点．
1 证明： BM / / 平面 PCD； 2 若 PD 与平面 PAC 所成角的正切值为 6 ，求二面角 C PD M 的余弦值．
2
19．（12 分）如图所示，在 ABC 中，D 是 BC 边上一点，AB 14, BD 6, AD 10 ，cos DAC 7 ．求 14
ADB；求 AC 的长．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
5． “ x 5 ”是“ log5 x 1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
6．已知过点 A（a，0）作曲线 C：y＝x•ex 的切线有且仅有两条，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）如图，在平行四边形 ABCD中，A 45 , AB 2, BC 2, BE AD 于点 E ，将 ABE 沿 BE 折起，使 AED 90 ，连接 AC, AD ，得到如图所示的几何体．
求证：平面
1 ACD 平面 ABC ；若点 P 在线段 AB 上，直线 PD 与平面 BCD 所成角的正切值为 5 ，求三棱锥 P BCD 的体积． 18．（12 分）如图所示， PA 平面 ABCD， ABC 为等边三角形， PA AB， AC CD ，M 为 AC 的
f
(1)) 处的切线方程；求证：
(x 1) f (x) 0 .
22．（10
分）设数列 {an } 满足
a1
1,
an1
an
n
1(n
N*)
1 { .求数列{an} 的通项公式；若数列 an
}
的前
n
项和为 Tn ，求 Tn .
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
③ m β, n α, m n α β ④ m α, m / /n n / /α .
其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知定义在 R 上的函数 f x 满足：对任意 x R, f x f x, f 3 x f x ，则 f 2019
A． 3 B．0 C．1 D．3 11．已知 A(2，0) ，在⊙O： x2 y2 1 上任取一点 P，则满足 | PA |≤ 3 的概率为
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1．若数列 是公比不为 1 的等比数列,且
,则
（）
A． B． C． D．
2．已知 m, n 是两条不同直线，, , 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
数），则实数 m 的取值范围是（ ）
A．
16 ( 5e4
,
9 4e 3
]
16 9
94
C．[5e4 , 4e3 ) D．[ 4e3 , 3e2 )
B．
(
9 4e3
,
4 3e 2
]
9．已知 m, n 是空间中两条不同的直线，, 是两个不同的平面，有以下结论：
① m α, n β, m n α β ② m / /, n / /, m , n / /
15．在锐角三角形 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c, a 1，且 (bc 2) cos A ac cos B 1 b2 ， 则 ABC 面积的最大值为______________． 16．在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P 为圆 C : (x 1)2 y2 4 上的任意一点，点 Q(2a, a 3) (a R) ， 则线段 PQ 长度的最小值为__________．
要求的。 1、C 2、D 3、A 4、C 5、D 6、A 7、B 8、D 9、B 10、B 11、C 12、C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13、4
9 14、 10
3 15、 4
16、 5 2
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20．（12 分）斜三棱柱 ABC A1B1C1 中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形， A1B 7 ， A1AB A1AC 60 .
证明：平面 A1BC 平面 ABC ；求四棱锥 A1 BCC1B1 的体积.
21．（12
分）已知函数
f
(x)
2x ln
x
x
1 x
2
.求曲线
y
f
(x) 在点 (1,
2
1
1
1
A． 3 B． 2 C． 3 D． 4
12．图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为 2 和 3 的两矩形所构成．设函数 S S ( a ) ( a 0)
是图中阴影部分介于平行线 y 0 及 y a 之间的那一部分的面积，则函数 S ( a ) 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
A．若 m‖ , n‖ , 则 m‖n C．若 m‖, m‖ , 则‖
B．若 , , 则‖ D．若 m ,n , 则 m‖n
3．已知函数
的最小正周期为 ，且图象关于直线 对称，若函数 的
图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则函数 的一个对称中心为（ ）
A．
B．
C． D．
4．函数 f x sin x cos x 在,3 上零点的个数是（ ）
D．
二、填空题：本题共 4 小题，Βιβλιοθήκη Baidu小题 5 分，共 20 分。
13．圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，
水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是
cm.
14．已知函数 y sin(x )( 0, ) 的图象如图所示，则 __________．
B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
7．若函数 f x =- 3 x3 ln x x ，则曲线 y f x 在点 -1,f -1 处的切线的倾斜角是（ ） 3
2
5
A． 6 B． 3 C． 3 D． 6
8．已知关于 x 的不等式 x(x mex ) mex 有且仅有两个正整数解（其中 e 2.71828...为自然对数的底
中点．
1 证明： BM / / 平面 PCD； 2 若 PD 与平面 PAC 所成角的正切值为 6 ，求二面角 C PD M 的余弦值．
2
19．（12 分）如图所示，在 ABC 中，D 是 BC 边上一点，AB 14, BD 6, AD 10 ，cos DAC 7 ．求 14
ADB；求 AC 的长．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
5． “ x 5 ”是“ log5 x 1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
6．已知过点 A（a，0）作曲线 C：y＝x•ex 的切线有且仅有两条，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）如图，在平行四边形 ABCD中，A 45 , AB 2, BC 2, BE AD 于点 E ，将 ABE 沿 BE 折起，使 AED 90 ，连接 AC, AD ，得到如图所示的几何体．
求证：平面
1 ACD 平面 ABC ；若点 P 在线段 AB 上，直线 PD 与平面 BCD 所成角的正切值为 5 ，求三棱锥 P BCD 的体积． 18．（12 分）如图所示， PA 平面 ABCD， ABC 为等边三角形， PA AB， AC CD ，M 为 AC 的
f
(1)) 处的切线方程；求证：
(x 1) f (x) 0 .
22．（10
分）设数列 {an } 满足
a1
1,
an1
an
n
1(n
N*)
1 { .求数列{an} 的通项公式；若数列 an
}
的前
n
项和为 Tn ，求 Tn .
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
③ m β, n α, m n α β ④ m α, m / /n n / /α .
其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知定义在 R 上的函数 f x 满足：对任意 x R, f x f x, f 3 x f x ，则 f 2019
A． 3 B．0 C．1 D．3 11．已知 A(2，0) ，在⊙O： x2 y2 1 上任取一点 P，则满足 | PA |≤ 3 的概率为