简单数学建模应用问题100例

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简单数学建模应用问题100 例

数学建模”之解读

数学教学过程中学习了一个数学公式后，需要做大量的应用题，通过训练加深理解所学

公式。但是在生活中又有多少实际问题是可以直接套用公式的呢？理想状态下的公式直接运用，在生产及生活中的实例是少之又少。为此学生总感到学了数学没有什么实际用处，所以

对学习数学少有兴趣。数学建模的引入对培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径，让中职学生从中体会到数学是来源于生活并应用于生活的

数学建模是一种思维方式，它是一个动态的过程，通过此过程可以将一个实际的问题，经过模型准备、模型假设、模型构成、模型解析、模型检验与应用等五个具体步骤，转变为可以用数学方法（公式）来解决的，在理想状态下的数学问题，上述的整个流程统称为数学建模如果想解决某个实际问题（也许它和数学没有直接的关系），可以按下面流程对问题进行数学建模。

一．模型准备先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题，可能需要用到哪些知识，然后学习或复习有关的知识，为接下来的数学建模做准备.由于人们所掌握的专业知识是有限的，而实际问题往往是多样和复杂的，模型准备对做好数学建模问题是非常重要的.

二．模型假设有了模型准备的基础，要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设.明确了建模目的又掌握了相关资料，再去除一些次要因素.以主要矛盾为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设。模型假设不太可能一蹴而就，可以在模型的不断修改中得到逐步完善.

三．模型构成在模型假设的基础上，选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构（如数学公式、定理、算法等）.做模型构

成时可以使用各种各样的数学理论和方法，但要注意的是在保证精度的条件下尽量用简单的数学方法是建模时要遵循的一个原则.

四．模型解析在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，其中有些可以借助于计算机软件来做这些工作。

五．模型检验与应用把模型解析得到的结果与实际情况对比，以检验其合理和有效性，检验后获取的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释，以供决策者参考称为.

不难发现，在上述的五个步骤中，关键的是第三步“模型构成”——由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。所以说模型构成是数学建模的核心，它和数学的关系最密切。所得出的数学公式、图形或算法称之为数学模型（即解决实际问题的数学描述）。通常所说的数学建模实际上就是：寻找有用的数学模型的过程

为了避免作业书写中不必要的繁琐，通常用“分析”，“假设”，“模型”，“解析”，“检验” 来表示数学建模的五个不同步骤，虽然每题不一定面面俱到，但假设，模型，解析三个步骤要求明确

目录

1•接触数学建模............ 2.初识数学建模

3•了解数学建模•

4. 认知数学建模・

5. 理解数学建模・6•熟悉数学建模・7•掌握数学建模・8•应用数学建模・9•巧用数学建模・10. 融通数学建模

【1】一副扑克牌有54张，从中任取

多少张，可以保证一定有5张牌的花色

是一样的?

分析一副扑克共54张牌，除去大、小鬼还

有52张牌，其中4种花色各13张•在

运气最佳的情况下，只需取5张牌就可

得到同一花色的5张牌。那问题来了，

运气最不佳时至少要取多少张牌，才能保证一定有5张牌的花色是一样的呢？

假设假定至少要取N张扑克牌，才能保证一定有5张牌的花色是一样的。

模型逆向思考问题（考虑极端情况）

解析在运气最不好的情况下，每种花色各有4张，再加大、小鬼2张，共取18张是保证一定没有5张扑克牌的花色一样的最大可能。

所以N 4 4 2 1 19

检验即从54张扑克牌中任取19张，可以保证一定有5张牌的花色是一样的•

在很多情况下采用逆向地思考问题，可以使解题思路清晰、便捷

练习题

从0开始写后面的自然数，一直写到100。问：总共要写多少个“ 9 ”？

【2】一只猫发现离它10步远的前方有一只老鼠在奔跑，猫便紧追。猫的步子大，它跑5步的路程，老鼠要跑9步。但是老鼠的动作频率快，猫跑2步的时间，老鼠能跑3步。

问：按此速度猫能追得上老鼠吗？如果能，它要跑多少步才能追到呢？

假设此题两问可归结为一个问题：假定猫跑X步就能追上老鼠

模型求猫与老鼠之间频率的最小公倍数

解析由频率关系可知，老鼠跑3 3 9步的时间等于猫跑2 3 6步的时间.

根据路程关系知，猫跑6步其中有1步是追上老鼠的路程

X

可得本题的数学模型为10 0

6

解得x 60 （步）

检验由此可见，按照现有速度，猫要跑60步才能追得上老鼠.

练习题

从日历上查得2015年元旦是星期四，请你推算出2017年元旦为星期几？

【3】用长为40米的篱笆，一面靠墙围成一个养鸡场。现有如下三个方案:

方案一：围成一个等腰三角形状，其面积记为

S i ；

方案二：围成一个长方形，其面积记为

S 2 ； 方案三：围成一个半圆形，其面积记为 S 3

(1)求方案一的最大面积；

(2 )求方案二的最大面积；

(3)比较三个方案，哪个方案所围成的面积最大，最大面积为多少？

分析 方案三其面积S 3 = 800 (定值)，S,S 2均可求其最大值，取三者中的最大值。 p

假设 ①设三角形的顶角为 a ，则根据三角形的正弦定理

1

s=—仓吃0 20? sina 200sina 2

②设长方形宽为x ，则S 2 = x(40- 2x)

模型 定义函数：f 二[S i ,S 2,S 3]max 为三者中取最大值•

解析 ①由S 二200sin a 知，当且仅当a = P 时，S i 的最大值为200平方米. 2

② 由S 2 = x(40- 2x)知，当且仅当x= 10时，S 2的最大值为200平方米.

③ S 3 = 800 B 254.65平方米

P

所以0 5冷3扁=S 3

检验 在三个方案中，方案三所围成的面积最大（围成一个半圆形） ，最大面积约为

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