曲面的参数方程

z
y
x
z
y -x 0.
解 : 设M ( x, y )是yoz面上任 一点，根据题意有：x 0.
另两个坐标面的方程呢？
M
o
x
y
17
例4
例4. 求球心在原点，半径为R的球面的方程。 z 解：设 M(x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有： | OM | R，
x 2 y 2 z 2 R，化简得球面的
返回 13
复习
1.平面曲线的参数方程。定理： a i | a | cos j | a | sin .
向量式： r (t ) x(t )i y(t ) j ；坐标式：

x x(t ) 。 y y(t )
2.平面曲线普通方程的定义
如果曲线C 与二元方程 F x, y 0 存在下述关系：
当A2 B2 C 2 4D 0时表示实球面；当A2 B2 C 2 4D = 0
时表示一点叫点球；当 A2 B2 C 2 4D 0时表示虚球面。
19
四、圆柱面方程讨论
讨论：在平面坐标系中，x2 y 2 １ 表示一个圆。 而在空间坐标系中表示什么图形呢？


5.平面上设 (i, r) ，则 r = | r |[icos jsin]。
在高中的平面曲线内容中我们重点学了的普通方 程，但对复杂的平面曲线普通方程是远远不够的，需 要进一步学习平面曲线的参数方程。
结束
4
一、向量函数
1. 变向量：当动点按照某种规律变化时，以它为 终点的向径也在变化，我们称这样的向径为变向量。
定理：1.（ | a, b, c） | V；
2. 三向量a 、 b 、共面 c (a b) c 0；
3. (a b c ） =(b c a) (c a b) (b a c) (c b a) (a c b)； x1 y1 z1 4.设a = x1 , y1 , z1 , b = x2 , y2 , z2 ,c = x3 , y3 , z3 ,则 a b c = x2 y2 z2 ； x3 y3 z3
10
例5
例5：一半径为R的圆在一直线上 无滑动地滚动，求圆周上一点的轨迹。
解：适当建立直角坐标系，设P点开
O
Y
P
C

A X
始在原点O，经过一段时间后，圆与直线的切点为A，圆心到了C，
此时 r OA AC CP， 设 (CP, AC)，而OA a i，AC aj，
又 (i,CP) ( )，| CP | a， CP a[i cos( )] j sin( )] 2 2 2 ia sin ja cos ， 所以 r ia( sin ) ja(1 cos ) 即动点的向
(1)曲线C上任意一点的坐标都满足方程； (2)满足方程的点的坐标都在曲线C上。那么方程F （x, y） 0 就叫做曲线C 的方程，而曲线C 就叫做方程F （x, y） 0的图形。
作业： P 6、 9. 77 习题 5、
结束
12
§2.2 曲面的普通方程
教学时数： 2课时 教学重点：曲面方程的定义和球面的普通方程； 教学难点：1.球面的普通方程和标准方程； 2.圆柱面的方程。 教学目标： 1.理解曲面方程的定义； 2.掌握球面的普通方程和标准方程； 3.熟悉圆柱面的普通方程； 4.培养学生的空间想象能力。
O
Y
B P A X
| BP | BA R， BP R [i cos( ) jsin( )] 2 2 R (i sin j cos )，故 r iR(cos sin ) jR(sin cos )，
为动点的向量式参数程。而坐标式参数方程呢？
x2 y 2 z 2 2ax2by2cz (a2 b2 c2 R2 ) 0.
即：x2 y 2 z 2 Ax ByCz D 0 (1) 其特点是：
1. 平方项系数相等； 2. 交叉项系数为 0。
反之，由一般式方程（1），经过配方又可得到：
( x A/2)2 ( y B/2)2 ( z C /2)2 ( A2 B2 C 2 4D) / 4.
(1)曲线C上任意一点的坐标都满足方程； (2)满足方程的点的坐标都在曲线C上。那么方程F （x, y） 0 就叫做曲线C 的方程，而曲线C 就叫做方程F （x, y） 0的图形。
结束
14
一、曲面方程的定义
如果曲面S与三元方程F x, y, z 0存在下述关系：
(1)曲面S 上任意一点的坐标都满足方程； (2) 满足方程 F ( x, y, z ) 0的点的坐标都在曲面S 上。那 么方程就叫做曲面S的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。
M
C
标准方程：x y z R .
2 2 2 2
B
O A
y
当球心在M 0 ( x0 , y0 , z0 )时球面的
2 2 2
x
方程为 x x0 y y0 z z0 R 2。
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三、球面方程的讨论
2 2 2 由 （xx0）（ y y0）（ zz0） R2 展开得球面的一般方程：

M
为该圆的向量式参数方程。 x a cos 2 而坐标式参数方程为 。 y a cos sin
8
例3
例3. 求半径为a 的圆的渐伸线方程。
解：显然 r OP OB BP，设 (i, OB) , OB R(i cos j sin )， (i, BP) （大小是 方向相反） 2 2
有 | MA || MB |, 即 x 1 y 2 z 3
2

2x 6 y 2z 7 0。 x2 y1 z 4 , 化简得所求方程：
2 2 2
16
例 2、 3
例2. 求两坐标面xoz和yoz所成 二面角的平分面方程。
解: 设M ( x, y, z)是曲面上任一点， 依题意： | y | | x |，所求方程为：y x 0. 例3. 求三个坐标面的方程。
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2
§2.1 平面曲线的参数方程
教学时数： 2课时 教学重点：求平面曲线的参数方程； 教学难点：1.平面曲线参数方程的求法； 2.几类常见曲线的参数方程。 教学目标： 1.理解向量函数、参数方程的概念； 2.掌握求平面曲线参数方程的步骤； 3.熟悉几种常见曲线的参数方程.
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3
复习
定义: 把数量(a b) c 叫三向量 a 、 b 、的混合积 c , 记作 (a b c)。
设A( x1 , y1 ) 在圆上， 即 x12 y12 1， 则A 在空间直角坐标系中的坐标是 ( x1 , y1 , 0) 也满足上面方程， 类似地 ( x1 , y1 , h)同样满足上述方程，而点 ( x1 , y1 , h) 可认为是点 ( x1 , y1 , 0 ) 向 上平移h个单位而得到。
2 2
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二、求曲面方程的步骤
（）建立适当的空间直角坐标系； 1 （2） 设曲面上动点P( x, y, z ), 按已知条件推出动点满足的方程； （3） 对方程进行同解化简。
例1. 已知A 1, 2,3、B 2, 1,3， 求线段AB的垂直平分面的方程.
解： 设是所求平面上任一点，
A
2 2
解析几何
第二章 轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程—参数方程
§2.2 曲面的方程—普通方程 §2.2 曲面的方程—参数方程 §2.3 空间曲线的方程
1
第二章 轨迹与方程 教学安排说明
教学时数： 8课时 本章教学目标及要求：通过本章的学习，使学生掌握平面曲 线、空间曲线的参数方程； 理解曲面的普通方程和参数方程；掌 握球面、 圆柱面的普通方程和参数方程；理解轨迹与方程的概念。 本章教学重点： 1.空间曲线的参数方程； 2. 平面平面曲线的 参数方程；3.空间曲面的普通方程和参数方程。 本章教学难点： 1. 平面曲线的参数方程； 2. 曲面和空间曲线 的方程。
2.向量函数: 在某个变化过 程中， 有一个变量 t和一个变向 量 r， 若对t D 的每一个t值, 按 照某种对应法则，r 都有唯一确 定的值和它对应， 我们就称 r 是 t 的向量函数。记作：r = r (t )。
0
y
x
5
二、平面曲线的参数方程
1.向量式参数方程: 设曲线 C 和向量函数 r (t ) x(t )e1 y (t )e2 (1), 如果对任意 t D的值，向量 r (t ) 的终点总在曲线C上；反之曲线 C 上任意一点， 总对应 以它为终点的向径 r ( t )。就称 C是 (1) 的曲线， (1) 是 C 的 向量式参数方程,其中t为参数。
设OM =r， OM 0 r0，因为M 0 M与 v 共线， 即 M 0 M t v，有 r r0 tv， r r0 tv ， 是l 的向量式参数方程，t 为参数。
M0
Y
M
O
X
x x0 Xt 得l 的坐标式参数方程 ， (t为参数) (1) y y0 Yt
量式参数方程，坐标式参数方程呢？
11
小结
1.平面曲线的参数方程。定理： a i | a | cos j | a | sin .
向量式： r (t ) x(t )i y(t ) j ；坐标式：

x x(t ) 。 y y(t )
2.平面曲线普通方程的定义
如果曲线C 与二元方程 F x, y 0 存在下述关系：
可见：空间曲面普通方程的形式是：F ( x, y, z) 0 。
它一般表示空间曲面，特殊情况可表示一 点、一条直线、甚 至不表示任何图形。 如：① 方程 x2 y 2 z 2 0 表示原点；
②方程 x2 y 2 z 2 1 0 不表示任何实图形，叫虚曲面；
③方程 x y 0 表示一条直线即z轴， 点(0,0, z)满足方程。
2.坐标式参数方程：曲线的向量式参数方程改写 成： x x(t ), t D，t为参数，叫做曲线的坐标式参
,
y y (t )
数方程。
6
例1
例1. 已知直线 l 过定点 M 0 ( x0 , y0 ), 且它与非零向量 v = { X , Y } 共线, 求直线 l 的方程。
解：设M ( x, y)是 l 上的任意一点，
当v 是单位向量时有 | M0M || t | ，即M 到M0 间的距离为| t | 。
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例2
a a 例2. 求圆心在A( , 0)，半径为 的圆的参数方程。 2 2 解： 如图设M 为圆上任意一点， Y
且 (i, OM ) ，则 (i , AM ) 2，
2 a 得 r OA AM，而 OA = i, 所以 O A X 2 a AM (i cos 2 j sin 2 ), 2 故 r i(a cos 2 ) j (a cos sin )，( 为参数且0 )
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例4
例4：求圆的内摆线的方程。解：设运动开始时动点 P 和大圆上的 A点重合，经一过程后，大小圆的切点 为B，圆心到了C，此时r OP OC CP，
O Y
B C

A
X
P
设 (i, OC )， (CP, CB)，而| OC | a b， OC i (a b) cos j (a b)sin ， a AB PB b， a a ba ，又 | CP | b， (i, CP) ( ) ， b b b ba ba 所以 r i[(a b) cos b cos ] j[(a b)sin b sin ]， b b ( 为参数) 为内摆线的向量式参数方程。