建立数学模型的原则

一、单相不可压缩液体稳定渗流综合微分方程
假设：单相均质液体符合线性运动规律，忽略多孔介质及液 体的压缩性(不需要建立状态方程)，等温、稳定渗流。
运动方程： 连续性方程：
v K gradP
div(v)0
(1) (2)
将(1)式代入(2)式
div
K
gradP
0
由于K/μ为常数，故
2P 2P 2P
运动方程：
v K gradP
(1)
状态方程：
对弹性孔隙介质： 0Cf(PP0)
(2)
对弹性液体：
0 e C L ( P P 0 ) 01 C L ( P P 0 )(3)
单相液体质量守恒方程： ()div(v)0
(4)
t
a
5
将(1)(2)(3)代入(4)，第一项中
()div(v)0
voz z
Sto
对于水相：
vxwx
vwy a y
vwz z
Stw
10
将运动方程代入连续性方程得：
x K o o P x y K o o P y z K o o P z S to
x K w w P x y K w w P y z K w w P z S tw
a
14
一、初始条件
指开始时刻整个渗流区域渗流速度和压力的分布(只有不 稳定渗流问题才需要)
(x ,y ,z ,t)|t 0 0 (x ,y ,z ,t) (x ,y ,z ) D
表示的是渗流区域D上t=0时，势函数Φ(x,y,z,t)为Φ0(x,y,z)
势函数Φ为压力的函数,如
K PC
可写成：
Hamilton算子
此外还有
Ko
o
P
So t
Kw
w
P
Sw t
So Sw 1
油水两相渗流的综合微分方程
使用条件：彼此不互溶、不起 化学作用的油水两相同时渗流； 不考虑毛管力和重力作用；岩 石和液体均不可压缩；渗流服 从线性渗流规律；等温渗流过 程。
a
11
油水两相稳定渗流过程，液体饱和度不随时间变化，即
r
P r
1 r
2P
2
2P z 2
2P
1 r2
P r
r
2
P r
r2
1
sin2
•
sin
P
1
r 2 sin2
2P
2
一维问题
2P
d2P dx2
2P
1 r
P r
r
P r
2P
1 r2
P r
r
2
P r
a
4
二、弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定渗流综合微分方程
假设：单相微可压缩液体线性渗流，地层岩石均质微可压 缩，等温弹性不稳定渗流。模型由运动方程、状态方程和 连续性方程组成。
要从许多解中得到所需要的具体情况的解，就需要补充方程中 没有包括的数据，要确定一个具体问题需要包括的条件有：
发生这个物理现象的区域和几何形状； 影响这个物理现象的物理参数和系数； 描述所研究系统的初始状况的条件； 问题区域的边界条件
完整的数学模型必须包括微分方程(组)和它的初始条件、边界 条件，使数学模型具体化，从定性研究提升到定量研究
C
L
(
P
P0
)
P x
0K
e C L ( P P 0 )
x
x
CL
0K CL
2 x2
1
C
L (P
P0 )
0K
2P x2
a
7
同理可得：
vy
y
0K
2P y2
由此可得：
vz
z
0K2zP2
div(v)0K 2 xP 2 2 yP 2 2 zP 2
(6)
a
8
t
0Ct
粘 系度数μæ单的位单为位m为Pcam.s2，/s，综其合物压理缩意系义数为Ct单单位位时为间10内-1M压P力a-1波时传，播导的压
地层面积。
a
9
三、油水两相渗流综合微分方程
运动方程 对于油相：
v0
Ko
o
gradP
对于水相：
vw
Kw
w
gradP
油水两相渗流的连续性方程
对于油相：
vxox
voy y
第2章 油气渗流的数学模型
建立数学模型的原则 运动方程 状态方程 质量守恒方程 典型油气渗流数综学合模微型分建方立程建立 数学模型的初边值条件
a
1
第五节 典型油气渗流综合微分方程建立
单相不可压缩液体稳定渗流综合微分方程 弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定渗 流微分方程 油水两相渗流综合微分方程a2a15
二、边界条件
指渗流区域边界上的已知条件。
1.给出势函数的边界条件——第一类边界条件
待求的势函数Φ(x,y,z,t)在边界上已知。
(4)
t
01 C L (P P 0)• 0 C f(P P 0) 000(C f0 C L )(P P 0)0 C L C f(P P 0)2
因为CL、Cf都是很小的数，可略去含CL×Cf项得： 0 0 0 ( C f 0 C L ) ( P P 0 ) 0 0 0 C t ( P P 0 )
式中 Ct Cf 0CL
综合压缩系数，单位岩石体积在降低单位压力时,由孔隙收 缩和液体膨胀共排挤出来的液体体积,可看成是常数 。
故
t
0Ct
P t
(5)
a
6
(4)式第二项由三部分组成:
()div(v)0
(4)
t
vx、 vy、 vz
x y z
xvx x0eCL(PP 0)K P x
0K
x
e
P t
(5)、(6)代入(4)式
div(v)0K 2 xP 2 2 yP 2 2 zP 2
()div(v)0
t
K2P 2P 2P P
Ct x2 y2 z2 t
2xP2 2yP2 2zP2 æ 1Pt
二阶抛物线型偏微
分方程(或称热传导 方程)
导压系数: æ K Ct
它表征了地层压力波传导的速率。当渗透率K单位为µm2，液体
So Sw 0 t t
此时两相稳定渗流数学模型为
K
o o
P
0
K
w w
P
0
Sw So 1
a
12
第2章 油气渗流的数学模型
建立数学模型的原则 运动方程 状态方程 质量守恒方程 典型油气渗流数学模型建立 数学模型的初边值条件
a
13
第六节 数学模型的边界条件和初始条件
数学模型是对同类物理现象作的一般定性描述，它本身并不包 括涉及描述一个具体情况下的定量数据。所以任何一个方程都 可能有无穷多个解。
0
x2 y2 z2
a
3
上式是一个二阶椭圆形微分方程，又称Laplace方程。除用 直角坐标表示外，也可以转换为圆柱坐标系或球坐标系。
Laplace算子
坐标系 直角坐标 (x，y，z) 圆柱坐标
(r，θ，z)
球坐标
(r，θ， )
三维问题
2P 2P 2P 2P x2 y2 z2
2P
1 r
P r