量子场论

联系( xi, t )和( xi , t )并保持 关系（2.1 ）的线性变换称 Lorentz变换。
(2.1)
所有Lorentz变换形成一个群，称Lorentz群
引入时空坐标 4矢量标记 x ( x 0 , x i )(i 1,2,3) (t , x )
则
S 2 x 0 x 0 x i x i g x x x0 x0 xi xi g x x
K-G方程 不宜解释为单粒子运动方程 对于K-G方程，有平面波解 代入K-G方程，有
Dirac方程
（有负能解）
J 0 t
由K-G方程，可导出几率守恒方程 i * * 其中，J ( ) 2m t t i * * ( ) （有负几率密度） 2m t t
属于L
属于L
可视为空间反射和时间反演的乘积
若L属于L ,则
只需研究L
3、正LT 正LT包含3个转动，3个平动，由6个参数描写 转动：三个空间坐标之间的线性变换； 平动：空间和时间坐标之间的线性变换。 考虑无穷小LT， g g ( )( ) g g g g
正则量子化：量子力学中坐标-动量算符化方法向无穷多自由度 系统——场的推广。 路径积分量子化：规范场论中广泛应用 定域场：
( x, t ),是时空坐标的连续函数 ，满足微分方程。
第二章：经典场

2.1作用量
作用量的重要性： 经典物理中：1、对作用量取极值可导出运动方程； 2、作用量在某种变换下的不变性对应经典运动过程中的 守恒量。 量子物理中：1、正则量子化，可通过作用量将理论纳入 哈密顿正则形式； 2、路径积分量子化，自始至终使用作用量。
例：L=g，improper LT，
两边取00分量， 故：
可按这两个性质对Lorentz变换进行分类，
一些LT的例子，
00 1, det L det a 1
分别属于L 和 L
用平动坐标系速度表示 ， 1 cosh , 2 1 v v sinh 1 v2
L d L 0(i 1,, N ) i qi dt q
二、守恒量
若作用量在某种变换下不变,即对变换
经典运动方程
经典路径由运动方程和初始条件及边界条件决定。
qi (t ) qi (t ) qi (t )
I
t2 t1 t2 L d L d L dt qi dt qi 0 q dt q t1 i i dt q i
一、Lorentz变换
1、Lorentz变换的概念： 两惯性系，初始时刻 t t 0, 原点重合 一光信号由原点发出，一段时间后， 光信号在一惯性系中传播至时空点 ( xi , t ) 另一惯性系中传播至时刻点 ( xi, t ) 由光速不变，
2 S t xi xi t xixi 2 2
第一章：引言
粒子物理：高速、微观 狭义相对论 量子力学 量子场论
统计物理、核物理、凝聚态、天体物理、…
自然单位制：
c 1
量子力学描述的局限性
考虑一速度 v 1 自由粒子，其运动由如 下薛定谔方程描述，
算符化并作用到波函数上，有
(1.2)
（K-G方程）
对（1.2）式做形式上开方，保持算符线性化，有
t2
dqi d i 其中：q qi dt dt
若路径形变时两端点固定，即 qi (t1 ) qi (t2 ) 0 则
I
t2
t1
L d L dt qi q dt q i i
若I对任意路径变分 qi为0，则
d j q jq i ) lij 0, lij m(qi q dt
利用 ij ji ,
轨道角动量
作用量在三维空间转动不变对应轨道角动量守恒。 Noether定理 总结：1、经典运动方程可由作用量取极值得到； 2、边界条件、初始条件必须外加； 3、作用量的对称性与守恒量相应，反映了物理系统 的基本对称性。
考虑一经典粒子系统， 广义坐标为 qi (i 1, N )， 系统的作用量
i ) I dtL(qi , q
t1
t2
dqi i 其中： q dt
i )为拉氏量 L L(qi , q
一、由作用量导出运动方程
设路径qi (t )有一小的形变， qi (t ) qi (t ) qi (t )

A A
A为经典场
对经典场，A 量子化 量子场论
A 量子化：光子
量子化：电子、正电子
场的激发产生相应的 粒子、反粒子； 场的退激湮灭相应的 粒子、反粒子。
在量子场论的框架内，不存在负能解和负几率的问题：
场量子化后，理论中自动 包含粒子和反粒子，反 粒子与 负能解相联系； 几率密度为正反粒子数 目之差的密度，故取值 可正可负。
可通过物理系统的对称性对作用量的形式加以限制，构造出 系统的作用量。 对高速微观系统，满足狭义相对论的对称性，即在Poincare 变换下不变。（Poincare变换=Lorentz变换+时空平移变换）
构造出满足Poincare不变性的作用量 研究各种场的Poincare变换性质

2.2Poincare变换
则作用量的改变
L L i I dt qi q t1 q q i i t2 t2 L d L d L dt qi dt qi t1 t1 q dt q dt q i i i
x 2 g x x
于是
采用矩阵写法
S 2 g x x
x x g g
2、Lorentz变换的分类
两边取行列式 有
det L 1 ：proper LT det L 1 ：improper LT
量子场论
2012.2
参考教材



周邦融 《量子场论》，高等教育出版社 徐建军《量子场论》，复旦大学出版社 卢里《粒子和场》，科学出版社 M.E.Peskin, D.V.Schroeder《An Introduction to Quantum Field Theory》 S.Weinberg 《The Quantum Theory of Fields》 C.Ttzykson, J.B.Zuber 《Quantum Field Theory》
g 为度规张量，
表示时空的性质，也可用来升降指标

2 x g x (t , x ), S g x x x x , g g
变换后S 2不变，有
S 2 x2 g x x g x x
定义： 可以证明：
故：

为反对称张量，有6个独立分量
LT由6个独立参数描写
可以证明：
共6个独立生成元，满足
称为 生成元的最一般表示为： 自旋
S 厄米，反对称且与 L 对易
M : 6个独立生成元 M ij : 3个，形成M 一个子代数
定义：
其中：
角动量算符，为转动生成元
M 0i为平动生成元，
(1.3)

3
其中， i i , i (i 1,2,3), 是矩阵, 满足
i ,
i
i 1
i2 2 1 i , j i j j i （对 0 i j）
i , 0
K-G方程描述了无自旋相对论性粒子； Dirac方程描述自旋1/2的相对论性粒子
由经典运动方程：
L d L 0 i qi dt q
有
若t2 t1 , 则
守恒量
例：三维空间运动一点粒子，拉氏量
L和I对三维空间转动具有不变性，
无穷小转动参数
于是
d d L i ij q j ) 0 qi (mq i dt q dt
另，K-G方程作为单粒子方程也不能解释粒子-反粒子产生、 湮灭现象。
对于Dirac方程
基于Pauli不相容原理的空穴理论可解释负能解及粒子-反粒子 产生、湮灭现象，但该解释已超出单粒子理论范围。
量子场论
经典场方程 为经典场
Maxwell方程： F 其中：F


~ J , F 0